Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Определяет операцию с конечным числом аргументов.
Qualifies an operation with a finite number of arguments
В математике и логике операция называется финитарной, если она имеет конечную арность, то есть конечное число входных значений. Соответственно, операция с бесконечным числом входных значений называется инфинитарной. В стандартной математике операция по умолчанию считается финитарной. Поэтому эти термины обычно используются только в контексте инфинитарной логики.
In mathematics and logic, an operation is finitary if it has finite arity, i. e. if it has a finite number of input values. Similarly, an infinitary operation is one with an infinite number of input values. In standard mathematics, an operation is finitary by definition. Therefore, these terms are usually only used in the context of infinitary logic.
Окончательный аргумент
Конечный аргумент – это аргумент, который можно представить в виде конечного набора символических высказываний, исходя из конечного набора аксиом. Иными словами, это доказательство (включая все предположения), которое можно записать на достаточно большом листе бумаги. В отличие от этого, инфинитарная логика изучает логики, допускающие бесконечно длинные утверждения и доказательства. В такой логике, например, можно рассматривать квантор существования как производный от инфинитарной дизъюнкции.
A finitary argument is one which can be translated into a finite set of symbolic propositions starting from a finite set of axioms. In other words, it is a proof (including all assumptions) that can be written on a large enough sheet of paper. By contrast, infinitary logic studies logics that allow infinitely long statements and proofs. In such a logic, one can regard the existential quantifier, for instance, as derived from an infinitary disjunction.
История
Логики начала XX века стремились решить проблему обоснования, например, "Каков истинный фундамент математики?". Программа заключалась в возможности переписать всю математику, используя исключительно синтаксический язык, лишенный семантики. По словам Давида Гильберта (имея в виду геометрию), "неважно, как мы называем объекты – стульями, столами и пивными кружками или точками, линиями и плоскостями". Акцент на конечности исходил из представления о том, что человеческое математическое мышление базируется на конечном числе принципов, и все рассуждения по сути подчиняются единственному правилу: modus ponens. Проект предполагал фиксацию конечного набора символов (в основном цифр 1, 2, 3, букв алфавита и некоторых специальных символов, таких как "+", "⇒", "(", ")", и т.д.), определение конечного числа утверждений, выраженных этими символами, которые должны были приниматься как "основы" (аксиомы), и установление правил вывода, моделирующих способ, которым люди приходят к заключениям. Из этих основ, независимо от семантической интерпретации символов, все остальные теоремы должны были следовать формально, исключительно посредством установленных правил (что превращало математику скорее в игру с символами, чем в науку), без необходимости проявлять изобретательность. Надежда заключалась в доказательстве того, что все теоремы математики могут быть выведены из этих аксиом и правил. Эта цель известна как логицизм.
Logicians in the early 20th century aimed to solve the problem of foundations, such as, "What is the true base of mathematics?" The program was to be able to rewrite all mathematics using an entirely syntactical language without semantics. In the words of David Hilbert (referring to geometry), "it does not matter if we call the things chairs, tables and beer mugs or points, lines and planes." The stress on finiteness came from the idea that human mathematical thought is based on a finite number of principles and all the reasonings follow essentially one rule: the modus ponens. The project was to fix a finite number of symbols (essentially the numerals 1, 2, 3, the letters of alphabet and some special symbols like "+", "⇒", "(", ")", etc. ), give a finite number of propositions expressed in those symbols, which were to be taken as "foundations" (the axioms), and some rules of inference which would model the way humans make conclusions. From these, regardless of the semantic interpretation of the symbols the remaining theorems should follow formally using only the stated rules (which make mathematics look like a game with symbols more than a science) without the need to rely on ingenuity. The hope was to prove that from these axioms and rules all the theorems of mathematics could be deduced. That aim is known as logicism.