Ең аз әрекет принципі негізіндегі механикаға шолу

Кіріспе

Ең аз әрекет принципіне негізделген механиканың шолуы

Теориялық және математикалық физикада аналитикалық механика немесе теориялық механика – классикалық механиканың өте байланысты формулаларының жиынтығы. Аналитикалық механика жүйеге қатысты, әдетте оның кинетикалық және потенциалдық энергиясын көрсететін қозғалыстың скалярлық қасиеттерін пайдаланады. Қозғалыс теңдеулері скалярлық шамадан, скалярдың өзгеруіне қатысты негізгі принциптер арқылы туындайды. Аналитикалық механиканы көптеген ғалымдар мен математиктер Ньютон механикасынан кейін, 18-шы ғасырдан бастап дамытты. Ньютон механикасы жүйенің құраушы бөліктерінің үдеулері, импульстары, күштері сияқты қозғалыстың векторлық шамаларын қарастырады; оны векторлық механика деп те атайды. Скаляр – бұл сан, ал вектор – сан және бағытпен сипатталады. Бұл екі тәсілдің нәтижелері эквивалентті, бірақ аналитикалық механика күрделі мәселелерді шешуде көптеген артықшылықтарға ие. Аналитикалық механика мәселелерді шешу үшін жүйенің шектеулерін пайдаланады. Шектеулер жүйенің еркіндік дәрежесін шектейді және қозғалыстың теңдеуін табу үшін қажетті координаттар санын азайтуға мүмкіндік береді. Бұл формализм координаттардың кездейсоқ таңдалуына ыңғайлы, олар контексте жалпыланған координаттар деп белгілі. Жүйенің кинетикалық және потенциалдық энергиясы осы жалпыланған координаттар немесе импульстар арқылы өрнектеледі, ал қозғалыс теңдеулерін оңай құруға болады, осылайша аналитикалық механика көптеген механикалық мәселелерді толық векторлық әдістерге қарағанда тиімдірек шешуге мүмкіндік береді. Бұл консервацияланбаған күштер немесе үйкеліс сияқты диссипативті күштер үшін әрқашан жұмыс істемейді, мұндай жағдайда Ньютон механикасына қайта оралуға болады. Аналитикалық механиканың екі маңызды саласы – Лагранж механикасы (конфигурация кеңістігіндегі жалпыланған координаттар мен сәйкес жалпыланған жылдамдықтарды пайдалану) және Гамильтон механикасы (фазалық кеңістіктегі координаттар мен сәйкес импульстарды пайдалану). Екі формула да жалпыланған координаттар, жылдамдықтар және импульстар бойынша Лежандр түрлендіруі арқылы эквивалентті; сондықтан екеуі де жүйенің динамикасын сипаттау үшін бірдей ақпаратты қамтиды. Гамильтон-Жакоби теориясы, Рутиан механикасы және Аппеллдің қозғалыс теңдеуі сияқты басқа да формулалар бар. Кез келген формализмдегі бөлшектер мен өрістердің барлық қозғалыс теңдеулерін ең аз әрекет принципі деп аталатын кеңінен қолданылатын нәтижеден туындатуға болады. Бұл нәтижелердің бірі – Нётер теоремасы, консервация заңдары мен олардың симметриялары арасындағы байланысты көрсететін мәлімдеме. Аналитикалық механика жаңа физиканы енгізбейді және Ньютон механикасынан артық емес. Керісінше, бұл кең қолданылатын эквивалентті формализмдердің жиынтығы. Шындығында, осы принциптер мен формализмдерді релятивистік механикада және жалпы салыстырмалылық теориясында, сондай-ақ кванттық механикада және кванттық өріс теориясында да қолдануға болады (кейбір өзгерістермен). Аналитикалық механика фундаменталды физикадан қолданбалы математикаға дейін, әсіресе хаос теориясына дейін кеңінен қолданылады. Аналитикалық механика әдістері дискретті бөлшектерге қолданылады, олардың әрқайсысы шектеулі сандағы еркіндік дәрежесіне ие. Оларды үздіксіз өрістерді немесе сұйықтықтарды сипаттау үшін өзгертуге болады, олар шексіз еркіндік дәрежесіне ие. Анықтамалар мен теңдеулер механикадағыларға ұқсас.

In theoretical physics and mathematical physics, analytical mechanics, or theoretical mechanics is a collection of closely related formulations of classical mechanics. Analytical mechanics uses scalar properties of motion representing the system as a whole—usually its kinetic energy and potential energy. The equations of motion are derived from the scalar quantity by some underlying principle about the scalar's variation. Analytical mechanics was developed by many scientists and mathematicians during the 18th century and onward, after Newtonian mechanics. Newtonian mechanics considers vector quantities of motion, particularly accelerations, momenta, forces, of the constituents of the system; it can also be called vectorial mechanics. A scalar is a quantity, whereas a vector is represented by quantity and direction. The results of these two different approaches are equivalent, but the analytical mechanics approach has many advantages for complex problems. Analytical mechanics takes advantage of a system's constraints to solve problems. The constraints limit the degrees of freedom the system can have, and can be used to reduce the number of coordinates needed to solve for the motion. The formalism is well suited to arbitrary choices of coordinates, known in the context as generalized coordinates. The kinetic and potential energies of the system are expressed using these generalized coordinates or momenta, and the equations of motion can be readily set up, thus analytical mechanics allows numerous mechanical problems to be solved with greater efficiency than fully vectorial methods. It does not always work for non conservative forces or dissipative forces like friction, in which case one may revert to Newtonian mechanics. Two dominant branches of analytical mechanics are Lagrangian mechanics (using generalized coordinates and corresponding generalized velocities in configuration space) and Hamiltonian mechanics (using coordinates and corresponding momenta in phase space). Both formulations are equivalent by a Legendre transformation on the generalized coordinates, velocities and momenta; therefore, both contain the same information for describing the dynamics of a system. There are other formulations such as Hamilton–Jacobi theory, Routhian mechanics, and Appell's equation of motion. All equations of motion for particles and fields, in any formalism, can be derived from the widely applicable result called the principle of least action. One result is Noether's theorem, a statement which connects conservation laws to their associated symmetries. Analytical mechanics does not introduce new physics and is not more general than Newtonian mechanics. Rather it is a collection of equivalent formalisms which have broad application. In fact the same principles and formalisms can be used in relativistic mechanics and general relativity, and with some modifications, quantum mechanics and quantum field theory. Analytical mechanics is used widely, from fundamental physics to applied mathematics, particularly chaos theory. The methods of analytical mechanics apply to discrete particles, each with a finite number of degrees of freedom. They can be modified to describe continuous fields or fluids, which have infinite degrees of freedom. The definitions and equations have a close analogy with those of mechanics.

Аналитикалық механиканың мотивациясы

Механикалық теорияның мақсаты физика және инженерия салаларында туындайтын механикалық мәселелерді шешу болып табылады. Физикалық жүйеден – механизмнен немесе жұлдыздық жүйеден – басталып, дифференциалдық теңдеу түрінде математикалық модель құрастырылады. Модельді сандық немесе аналитикалық түрде шешу арқылы жүйенің қозғалысын анықтауға болады. Ньютонның механикаға векторлық тәсілі күш, жылдамдық, үдеу сияқты векторлық шамалардың көмегімен қозғалысты сипаттайды. Бұл шамалар "массалық нүкте" немесе "бөлшек" ретінде идеалданған дененің қозғалысын сипаттайды, ол массасы бар бір нүкте ретінде түсініледі. Ньютонның әдісі физикалық мәселелердің кең ауқымына сәтті қолданылған, соның ішінде Жердің гравитациялық өрісіндегі бөлшектің қозғалысына және Күнді айналатын планеталардың қозғалысына. Бұл тәсілде Ньютонның заңдары қозғалысты дифференциалдық теңдеу арқылы сипаттайды, содан кейін мәселе сол теңдеуді шешуге дейін тоғытылады. Алайда, егер механикалық жүйе көптеген бөлшектерден тұрса (мысалы, күрделі механизм немесе сұйықтық), Ньютонның тәсілін қолдану қиынға түседі. Ньютондық тәсілді қолдануға болады, бірақ бұл үшін тиісті сақтық шараларын қабылдау қажет, атап айтқанда, әрбір бөлшекті басқалардан оқшаулап, оған әсер ететін барлық күштерді анықтау керек. Мұндай талдау тіпті салыстырмалы түрде қарапайым жүйелерде де қиындық тудырады. Ньютон өзінің үшінші заңы "әрекетке тең әсер" барлық қиындықтарды шешеді деп ойлаған. Бірақ бұл тіпті қатты дененің айналуы сияқты қарапайым жүйе үшін де дұрыс емес. Күрделі жүйелерде векторлық тәсіл жеткілікті сипаттама бере алмайды. Аналитикалық тәсіл механикалық жүйелерді бір-бірімен өзара әрекеттесетін бөлшектердің жиынтығы ретінде қарастырады, әр бөлшекті оқшауланған бірлік ретінде қарастырудың орнына. Векторлық тәсілде күштерді әрбір бөлшек үшін жеке анықтау қажет, ал аналитикалық тәсілде жүйеге әсер ететін барлық күштерді қамтитын бір ғана функцияны білу жеткілікті. Мұндай оңайлату көбінесе априорлы айтылған белгілі бір кинематикалық шарттарды пайдалану арқылы жасалады. Алайда, аналитикалық қарастыру осы күштерді білуді қажет етпейді және осы кинематикалық шарттарды берілгендей қабылдайды. Дегенмен, күрделі механикалық жүйенің қозғалыс теңдеулерін шығару үшін олардан туындайтын біріктіретін негіз қажет. Бұл әртүрлі вариациялық принциптермен қамтамасыз етіледі: теңдеулердің әрбір жиынтығының артында бүкіл жиынның мәнін білдіретін принцип жатыр. Іс-әрекет деп аталатын негізгі және әмбебап шама берілген жағдайда, бұл іс-әрекеттің басқа механикалық шаманың кішкентай өзгеруі кезінде тұрақты болуы принципі қажетті дифференциалдық теңдеулер жиынтығын тудырады. Принципті тұжырымдау үшін ерекше координаттар жүйесі қажет емес, ал барлық нәтижелер жалпыланған координаттармен беріледі. Бұл аналитикалық қозғалыс теңдеулері координаттардың өзгеруіне байланысты өзгермейді дегенді білдіреді, бұл векторлық қозғалыс теңдеулерінде жоқ инварианттылық қасиеті. Дифференциалдық теңдеулер жиынтығын "шешу" дегеннің мағынасы толыққанды түсініксіз. Егер t уақытындағы бөлшектердің координаттары t және бастапқы позициялар мен жылдамдықтарды анықтайтын параметрлердің қарапайым функциялары ретінде берілсе, мәселе шешілген деп есептеледі. Алайда, "қарапайым функция" нақты анықталмаған ұғым: қазіргі уақытта f(t) функциясы Ньютон заманындағыдай t-ге формальды өрнек (элементарлық функция) ретінде қарастырылмайды, бірақ көбінесе t арқылы анықталатын шама ретінде қарастырылады, ал "қарапайым" және "қарапайым емес" функциялар арасында нақты шекараны жүргізу мүмкін емес. Егер тек "функциялар" туралы сөз болса, онда әрбір механикалық мәселе дифференциалдық теңдеулерде дұрыс тұжырымдалған кезде шешілген болып есептеледі, өйткені бастапқы шарттар мен t берілгенде t уақытындағы координаттар анықталады. Бұл, әсіресе қазіргі заманғы компьютерлік модельдеу әдістерінің арқасында, механикалық мәселелерді кез келген қажетті дәлдікпен арифметикалық түрде шешуге мүмкіндік береді, дифференциалдық теңдеулер айырмашылық теңдеулерімен алмастырылады. Дегенмен, нақты анықтамалардың болмауына қарамастан, екі дене мәселесінің қарапайым шешімі бар екені, ал үш дене мәселесінің шешімі жоқ екені анық. Екі дене мәселесі параметрлерді қамтитын формулалармен шешіледі; олардың мәндерін барлық шешімдер класын, яғни мәселенің математикалық құрылымын зерттеу үшін өзгертуге болады. Сонымен қатар, екі дененің қозғалысы туралы нақты ойдағы немесе суреттелген сурет жасауға болады, және ол қозғалатын және өзара әрекеттесетін нақты денелер сияқты нақты және дәл болуы мүмкін. Үш дене мәселесінде параметрлерге де нақты мәндер берілуі мүмкін; алайда, осы берілген мәндердегі шешім немесе мұндай шешімдер жиынтығы мәселенің математикалық құрылымын ашпайды. Көптеген басқа мәселелердегідей, математикалық құрылымды дифференциалдық теңдеулерді қарастыру арқылы ғана анықтауға болады. Аналитикалық механика одан да әрі мақсат қояды: жеке механикалық мәселенің математикалық құрылымын түсіну ғана емес, сонымен қатар механиканың көп бөлігін қамтитын мәселелер класының математикалық құрылымын түсіну. Ол Лагранж немесе Гамильтон қозғалыс теңдеулеріне қолданылатын және өте кең мәселелер ауқымын қамтитын жүйелерге назар аударады. Аналитикалық механиканың дамуының екі мақсаты бар: (i) кең қолданылатын стандартты әдістерді әзірлеу арқылы шешілетін мәселелер ауқымын ұлғайту және (ii) механиканың математикалық құрылымын түсіну. Алайда, ұзақ мерзімді перспективада (ii) (i) мақсатына, әсіресе әдістері әзірленген нақты мәселелерге назар аударудан гөрі көбірек көмектесе алады.

The goal of mechanical theory is to solve mechanical problems, such as arise in physics and engineering. Starting from a physical system—such as a mechanism or a star system—a mathematical model is developed in the form of a differential equation. The model can be solved numerically or analytically to determine the motion of the system. Newton's vectorial approach to mechanics describes motion with the help of vector quantities such as force, velocity, acceleration. These quantities characterise the motion of a body idealised as a "mass point" or a "particle" understood as a single point to which a mass is attached. Newton's method has been successfully applied to a wide range of physical problems, including the motion of a particle in Earth's gravitational field and the motion of planets around the Sun. In this approach, Newton's laws describe the motion by a differential equation and then the problem is reduced to the solving of that equation. When a mechanical system contains many particles, however (such as a complex mechanism or a fluid), Newton's approach is difficult to apply. Using a Newtonian approach is possible, under proper precautions, namely isolating each single particle from the others, and determining all the forces acting on it. Such analysis is cumbersome even in relatively simple systems. Newton thought that his third law "action equals reaction" would take care of all complications. This is false even for such simple system as rotations of a solid body. In more complicated systems, the vectorial approach cannot give an adequate description. The analytical approach simplifies problems by treating mechanical systems as ensembles of particles that interact with each other, rather considering each particle as an isolated unit. In the vectorial approach, forces must be determined individually for each particle, whereas in the analytical approach it is enough to know one single function which contains implicitly all the forces acting on and in the system. Such simplification is often done using certain kinematic conditions which are stated a priori. However, the analytical treatment does not require the knowledge of these forces and takes these kinematic conditions for granted. Still, deriving the equations of motion of a complicated mechanical system requires a unifying basis from which they follow. This is provided by various variational principles: behind each set of equations there is a principle that expresses the meaning of the entire set. Given a fundamental and universal quantity called action, the principle that this action be stationary under small variation of some other mechanical quantity generates the required set of differential equations. The statement of the principle does not require any special coordinate system, and all results are expressed in generalized coordinates. This means that the analytical equations of motion do not change upon a coordinate transformation, an invariance property that is lacking in the vectorial equations of motion. It is not altogether clear what is meant by 'solving' a set of differential equations. A problem is regarded as solved when the particles coordinates at time t are expressed as simple functions of t and of parameters defining the initial positions and velocities. However, 'simple function' is not a well defined concept: nowadays, a function f(t) is not regarded as a formal expression in t (elementary function) as in the time of Newton but most generally as a quantity determined by t, and it is not possible to draw a sharp line between 'simple' and 'not simple' functions. If one speaks merely of 'functions', then every mechanical problem is solved as soon as it has been well stated in differential equations, because given the initial conditions and t determine the coordinates at t. This is a fact especially at present with the modern methods of computer modelling which provide arithmetical solutions to mechanical problems to any desired degree of accuracy, the differential equations being replaced by difference equations. Still, though lacking precise definitions, it is obvious that the two body problem has a simple solution, whereas the three body problem has not. The two body problem is solved by formulas involving parameters; their values can be changed to study the class of all solutions, that is, the mathematical structure of the problem. Moreover, an accurate mental or drawn picture can be made for the motion of two bodies, and it can be as real and accurate as the real bodies moving and interacting. In the three body problem, parameters can also be assigned specific values; however, the solution at these assigned values or a collection of such solutions does not reveal the mathematical structure of the problem. As in many other problems, the mathematical structure can be elucidated only by examining the differential equations themselves. Analytical mechanics aims at even more: not at understanding the mathematical structure of a single mechanical problem, but that of a class of problems so wide that they encompass most of mechanics. It concentrates on systems to which Lagrangian or Hamiltonian equations of motion are applicable and that include a very wide range of problems indeed. Development of analytical mechanics has two objectives: (i) increase the range of solvable problems by developing standard techniques with a wide range of applicability, and (ii) understand the mathematical structure of mechanics. In the long run, however, (ii) can help (i) more than a concentration on specific problems for which methods have already been designed.

Жалпыланған координаттар мен шектеулер

Ньютон механикасында дененің қозғалысы кезінде оның орнын анықтау үшін әдетте барлық үш Декарт координатасы немесе басқа 3D координаттар жүйесі қолданылады. Бірақ физикалық жүйелерде кейбір құрылымдар немесе басқа жүйелер дене қозғалысын белгілі бір бағыттар мен траекториялар бойынша жүргізуден шектейді. Сондықтан, Декарт координаталарының толық жиынтығы көбінесе қажет емес, себебі шектеулер координаттар арасындағы байланысты анықтайды, ал осы байланыстар шектеулерге сәйкес келетін теңдеулер арқылы модельделуі мүмкін. Лагранж және Гамильтон формализмдерінде шектеулер қозғалыстың геометриясына енгізіліп, қозғалысты модельдеу үшін қажетті координаттар санын ең аз мәнге дейін азайтады. Бұлар жалпыланған координаттар деп аталады, және qi (i = 1, 2, 3) арқылы белгіленеді.