Введение

Обзор механики, основанной на принципе наименьшего действия

В теоретической физике и математической физике аналитическая механика, или теоретическая механика, представляет собой совокупность тесно связанных формулировок классической механики. Аналитическая механика использует скалярные свойства движения, описывающие систему в целом — обычно её кинетическую и потенциальную энергии. Уравнения движения выводятся из скалярной величины на основе некоторого фундаментального принципа, касающегося изменения этой величины. Аналитическая механика была разработана многими учеными и математиками в XVIII веке и позднее, после создания ньютоновской механики. Ньютоновская механика рассматривает векторные величины движения, в частности ускорения, импульсы и силы, действующие на составляющие системы; её также можно назвать векторной механикой. Скаляр — это величина, а вектор характеризуется величиной и направлением. Результаты этих двух различных подходов эквивалентны, но подход аналитической механики имеет множество преимуществ при решении сложных задач. Аналитическая механика использует ограничения, накладываемые на систему, для упрощения решения задач. Эти ограничения уменьшают число степеней свободы системы и позволяют сократить количество координат, необходимых для определения движения. Формализм хорошо подходит для произвольного выбора координат, известных как обобщённые координаты. Кинетическая и потенциальная энергии системы выражаются через эти обобщённые координаты или импульсы, и уравнения движения могут быть легко сформулированы, что позволяет аналитической механике решать множество механических задач более эффективно, чем чисто векторные методы. Она не всегда применима к неконсервативным или диссипативным силам, таким как трение, в этом случае можно вернуться к ньютоновской механике. Двумя основными направлениями аналитической механики являются лагранжева механика (использующая обобщённые координаты и соответствующие обобщённые скорости в конфигурационном пространстве) и гамильтонова механика (использующая координаты и соответствующие импульсы в фазовом пространстве). Обе формулировки эквивалентны посредством преобразования Лежандра, применяемого к обобщённым координатам, скоростям и импульсам; следовательно, обе содержат одинаковую информацию для описания динамики системы. Существуют и другие формулировки, такие как теория Гамильтона — Якоби, механика Рутиана и уравнение движения Аппеля. Все уравнения движения для частиц и полей, в любом формализме, могут быть выведены из широко применимого результата, известного как принцип наименьшего действия. Одним из следствий этого принципа является теорема Нётер, устанавливающая связь между законами сохранения и соответствующими симметриями. Аналитическая механика не вводит новой физики и не является более общей, чем ньютоновская механика. Скорее, это совокупность эквивалентных формализмов, имеющих широкое применение. Фактически, те же принципы и формализмы могут использоваться в релятивистской механике и общей теории относительности, а с некоторыми модификациями — в квантовой механике и квантовой теории поля. Аналитическая механика широко используется как в фундаментальной физике, так и в прикладной математике, особенно в теории хаоса. Методы аналитической механики применимы к дискретным частицам, каждая из которых имеет конечное число степеней свободы. Их можно модифицировать для описания непрерывных полей или жидкостей, обладающих бесконечным числом степеней свободы. Определения и уравнения имеют тесную аналогию с уравнениями классической механики.

Мотивация для аналитической механики

Целью механической теории является решение механических задач, возникающих в физике и инженерии. Начиная с физической системы – например, механизма или звездной системы – разрабатывается математическая модель в виде дифференциального уравнения. Модель может быть решена численно или аналитически для определения движения системы. Векторный подход Ньютона к механике описывает движение с помощью векторных величин, таких как сила, скорость, ускорение. Эти величины характеризуют движение тела, идеализированного как «материальная точка» или «частица», понимаемая как единичная точка, к которой приложена масса. Метод Ньютона успешно применяется к широкому кругу физических задач, включая движение частицы в гравитационном поле Земли и движение планет вокруг Солнца. В этом подходе законы Ньютона описывают движение дифференциальным уравнением, после чего задача сводится к решению этого уравнения. Однако, когда механическая система содержит множество частиц (например, сложный механизм или жидкость), подход Ньютона трудно применить. Использование ньютоновского подхода возможно при соблюдении определенных мер предосторожности, а именно – при изолировании каждой отдельной частицы от остальных и определении всех сил, действующих на нее. Такой анализ становится громоздким даже в относительно простых системах. Ньютон полагал, что его третий закон – «действие равно противодействию» – позаботится обо всех осложнениях. Это неверно даже для такой простой системы, как вращение твердого тела. В более сложных системах векторный подход не может дать адекватного описания. Аналитический подход упрощает задачи, рассматривая механические системы как совокупности частиц, взаимодействующих друг с другом, а не рассматривая каждую частицу как изолированный объект. В векторном подходе силы необходимо определять индивидуально для каждой частицы, в то время как в аналитическом подходе достаточно знать единственную функцию, которая неявно содержит все силы, действующие на систему и внутри нее. Такое упрощение часто достигается с использованием определенных кинематических условий, задаваемых априори. Однако аналитическое рассмотрение не требует знания этих сил и принимает эти кинематические условия как данность. Тем не менее, для вывода уравнений движения сложной механической системы необходима объединяющая основа, из которой они следуют. Эту основу предоставляют различные вариационные принципы: за каждым набором уравнений стоит принцип, выражающий смысл всего набора. При наличии фундаментальной и универсальной величины, называемой действием, принцип, согласно которому это действие стационарно при малом изменении некоторой другой механической величины, порождает требуемый набор дифференциальных уравнений. Формулировка принципа не требует какой-либо специальной системы координат, и все результаты выражаются в обобщенных координатах. Это означает, что аналитические уравнения движения не изменяются при преобразовании координат, что является свойством инвариантности, отсутствующим в векторных уравнениях движения. Не совсем ясно, что подразумевается под «решением» набора дифференциальных уравнений. Задача считается решенной, когда координаты частиц в момент времени t выражены в виде простых функций t и параметров, определяющих начальные положения и скорости. Однако понятие «простая функция» не имеет четкого определения: в настоящее время функция f(t) рассматривается не как формальное выражение относительно t (элементарная функция), как во времена Ньютона, а в целом как величина, определяемая t, и невозможно провести четкую границу между «простыми» и «непростыми» функциями. Если говорить лишь о «функциях», то любая механическая задача считается решенной, как только она корректно сформулирована в виде дифференциальных уравнений, поскольку, задав начальные условия и t, можно определить координаты в t. Это особенно актуально в настоящее время, с появлением современных методов компьютерного моделирования, которые обеспечивают арифметические решения механических задач с любой желаемой степенью точности, при этом дифференциальные уравнения заменяются разностными уравнениями. Тем не менее, несмотря на отсутствие точных определений, очевидно, что задача двух тел имеет простое решение, а задача трех тел – нет. Задача двух тел решается с помощью формул, включающих параметры; их значения можно изменять для изучения класса всех решений, то есть математической структуры задачи. Кроме того, для движения двух тел можно построить точную ментальную или графическую картину, которая может быть столь же реальной и точной, как движение и взаимодействие реальных тел. В задаче трех тел параметрам также можно присваивать конкретные значения; однако решение при этих присвоенных значениях или набор таких решений не раскрывает математическую структуру задачи. Как и во многих других задачах, математическую структуру можно прояснить только путем изучения самих дифференциальных уравнений. Аналитическая механика нацелена на большее: не на понимание математической структуры отдельной механической задачи, а на понимание математической структуры класса задач, настолько широкого, что он охватывает большую часть механики. Она сосредотачивается на системах, к которым применимы уравнения Лагранжа или Гамильтона, и которые включают в себя очень широкий спектр задач. Развитие аналитической механики преследует две цели: (i) расширить круг решаемых задач путем разработки стандартных методов с широким спектром применения и (ii) понять математическую структуру механики. В долгосрочной перспективе, однако, (ii) может помочь (i) больше, чем концентрация на конкретных задачах, для которых уже разработаны методы.

Обобщенные координаты и ограничения

В ньютоновской механике обычно используют все три декартовы координаты или другую трехмерную систему координат для определения положения тела в процессе его движения. Однако в физических системах какая-либо структура или другая система обычно ограничивает движение тела, исключая определенные направления и траектории. Поэтому полный набор декартовых координат часто избыточен, поскольку эти ограничения определяют взаимосвязь между координатами, которую можно описать уравнениями, соответствующими этим ограничениям. В лагранжевой и гамильтоновой формализмах ограничения включаются в геометрию движения, уменьшая число координат до минимально необходимого для описания движения. Эти координаты называются обобщенными координатами и обозначаются как qi (i = 1, 2, 3).