Кіріспе
Дифференциалдық топологиядағы теорема. Алгебралық топологияның түкті шар теоремасы (кейде Еуропада кірпік теоремасы деп аталады) жұп өлшемді n сфераларында жоғалып кетпейтін үздіксіз жанама векторлық өріс болмайды дестейді. Егер f функциясы сферадағы әрбір p нүктесіне R3 кеңістігіндегі векторды тағайындайтын болса және f(p) әрқашан p нүктесінде сфераға жанасатын болса, онда өріс жоғалатын кем дегенде бір полюс болады (яғни f(p) = 0 болатын p нүктесі). Бұл теореманы алғаш 1885 жылы Анри Пуанкаре 2 сфера үшін дәлелдеген, ал 1912 жылы Луитцен Эгбертус Ян Брауэр оны жоғары жұп өлшемдерге дейін кеңейтті. Теореманы әдетте "түкті шарды тегістеуге тырыссаң, міндетті түрде шашыраңқы орын пайда болады" немесе "кокостың түктерін тегістеу мүмкін емес" деп түсіндіреді.
The hairy ball theorem of algebraic topology (sometimes called the hedgehog theorem in Europe) states that there is no nonvanishing continuous tangent vector field on even dimensional n spheres. For the ordinary sphere, or 2‑sphere, if f is a continuous function that assigns a vector in R3 to every point p on a sphere such that f(p) is always tangent to the sphere at p, then there is at least one pole, a point where the field vanishes (a p such that f(p) = 0). The theorem was first proved by Henri Poincaré for the 2 sphere in 1885, and extended to higher even dimensions in 1912 by Luitzen Egbertus Jan Brouwer. The theorem has been expressed colloquially as "you can't comb a hairy ball flat without creating a cowlick" or "you can't comb the hair on a coconut".
Нөлдерді санау
Векторлық өрістің әрбір нөлінің (нөл емес) "индексі" болады, және барлық нөлдердегі барлық индекстердің қосындысы екіге тең болуы мүмкін екенін көрсетуге болады, себебі 2 сфераның Эйлер сипаттамасы екіге тең. Сондықтан, кем дегенде бір нөл болуы керек. Бұл Понкаре-Хопф теоремасының салдары. Торус жағдайында Эйлер сипаттамасы 0-ге тең; және "құйрықты донатты тегістеу" мүмкін. Осыған байланысты, нөлдік емес Эйлер сипаттамасы бар кез келген тығыз, реттелген 2 өлшемді манифольд үшін, кез келген үздіксіз жанама векторлық өрісте кем дегенде бір нөл болады.
Компьютерлік графикаға қолдану
Компьютерлік графикадағы жиі кездесетін мәселе – R3 кеңістігінде берілген нөлдік емес векторға ортогональды нөлдік емес векторды жасау. Барлық нөлдік емес векторлар үшін мұны істей алатын жалғыз үздіксіз функция жоқ. Бұл – «түкті шар» теоремасының салдары. Мұны түсіну үшін берілген векторды шардың радиусы ретінде қарастырып, берілген векторға ортогональды нөлдік емес векторды табу, радиусымен жанасатын шардың бетіне жанасатын нөлдік емес векторды табуға тең екенін ескеру қажет. Алайда, «түкті шар» теоремасы шардың кез келген нүктесінде (яғни, кез келген берілген вектор үшін) мұны істей алатын үздіксіз функцияның жоқтығын көрсетеді.
Лефшец байланысы
Алгебралық топологиядан Лефшецтің тұрақты нүкте теоремасын қолдана отырып, тығыз байланысты аргумент бар. 2 сфераның Бетти сандары 1, 0, 1, 0, 0 болғандықтан, сәйкестік бейнелеуінің Лефшец саны (гомология бойынша жалпы із) 2-ге тең. Векторлық өрісті интегралдау арқылы сферадағы диффеоморфизмдердің бір параметрлік тобын (кем дегенде шағын бөлігін) аламыз; және оның барлық бейнелеулері сәйкестікке гомотопты. Сондықтан олардың барлығында да Лефшец саны 2-ге тең. Демек, олардың тұрақты нүктелері бар (өйткені Лефшец саны нөлден өзгеше). Бұл векторлық өрістің нөлге ие болуын көрсетеді. Бұл сондай-ақ, жалпы Поанкаре-Хопф индексі теоремасының дұрыс тұжырымын ұсынады.
Қорытынды
Шашты шар теоремасының салдары ретінде, тіпті өлшемді сфераны өзіне үздіксіз бейнелейтін кез келген функция, не тұрақты нүктеге, не өзінің антиподальді нүктесіне бейнеленетін нүктеге ие болады. Бұл функцияны келесідей тангенциалды векторлық өріс ретінде түрлендіру арқылы көруге болады. s функциясы сфераны өзіне бейнелейді дейік, ал v – құрастырылатын тангенциалды векторлық функция. Әрбір p нүктесі үшін s(p)-нің стереографиялық проекциясын p нүктесіндегі жанамалық нүкте ретінде құрастырыңыз. Содан кейін v(p) – бұл проекцияланған нүктенің p нүктесіне қатысты орын ауыстыру векторы. Шашты шар теоремасына сәйкес, v(p) = 0 болатын p нүктесі бар, сондықтан s(p) = p.
Бұл аргумент тек s(p) нүктесі p нүктесінің антиподальді нүктесі болатын p нүктесі болған жағдайда ғана бұзылады, себебі мұндай нүкте p нүктесінің жанама жазықтығына стереографиялық түрде проекциялана алмайтын жалғыз нүкте болып табылады.
Тағы бір салдары – кез келген тіпті өлшемді проективтік кеңістік тұрақты нүктеге ие. Бұл алдыңғы нәтижеден функцияларды өзіне проекциялау арқылы туындайды.
Жоғары өлшемдер
Ойлер сипаты χ байланысы дұрыс жалпылауды ұсынады: 2n сферасында n ≥ 1 үшін нөлдік емес векторлық өріс жоқ. Жұп және тақ өлшемдер арасындағы айырмашылық, себебі m сферасының ғана b0 және bm нөлдік емес Бетти сандары бар, олардың кезектесіп қосылуы χ, m жұп болғанда 2-ге, ал m тақ болғанда 0-ге тең. Шындығында, тақ өлшемді сфера қоршаған жұп өлшемді Евклид кеңістігінің координаттарын қарастырудың қарапайым процесі арқылы нөлдік емес жанама векторлық өріске ие екенін көру оңай. Яғни, координаталарды жұптастыру арқылы анықталған векторлық өріс арқылы анықтауға болады.
In order for this vector field to restrict to a tangent vector field to the unit sphere it is enough to verify that the dot product with a unit vector of the form satisfying vanishes. Due to the pairing of coordinates, one sees
For a 2n sphere, the ambient Euclidean space is which is odd dimensional, and so this simple process of pairing coordinates is not possible. Whilst this does not preclude the possibility that there may still exist a tangent vector field to the even dimensional sphere which does not vanish, the hairy ball theorem demonstrates that in fact there is no way of constructing such a vector field.
Бұл векторлық өріс бірлік сферасына шектелуі үшін, оның бірлік вектормен скалярлық көбейтіндісі, яғни шарты орындалатынына көз жеткізу жеткілікті. Координаталардың жұптасуының нәтижесінде, 2n сферасы үшін қоршаған Евклид кеңістігі тақ өлшемді болып табылады, сондықтан координаталарды жұптастырудың бұл қарапайым процесі мүмкін емес. Бұл, әрине, жұп өлшемді сфераға нөлдік емес жанама векторлық өріс болуы мүмкін екенін жоққа шығармайды, бірақ «шашты шар» теоремасы мұндай векторлық өріс құрудың жолы жоқ екенін көрсетеді.
In order for this vector field to restrict to a tangent vector field to the unit sphere it is enough to verify that the dot product with a unit vector of the form satisfying vanishes. Due to the pairing of coordinates, one sees
For a 2n sphere, the ambient Euclidean space is which is odd dimensional, and so this simple process of pairing coordinates is not possible. Whilst this does not preclude the possibility that there may still exist a tangent vector field to the even dimensional sphere which does not vanish, the hairy ball theorem demonstrates that in fact there is no way of constructing such a vector field.
Физикалық мысалдар
Шашты шар теоремасының көптеген физикалық мысалдары бар. Мысалы, қатты шардың өзінің бекітілген осінің айналасында айналуы, оның бетінде орналасқан нүктелердің жылдамдықтарының үздіксіз жанама векторлық өрісін тудырады. Бұл өріс екі нөлдік жылдамдық нүктесіне ие, олар шардың ортасы арқылы толыққанды бұрғыланғаннан кейін жоғалады, осылайша шар топологиялық түрде торға теңдес болады – бұл теоремаға қолданбалы емес дене. Электромагниттік толқындардың таралуын талдау үшін шашты шар теоремасын сәтті қолдануға болады, егер толқын фронты сфераға топологиялық түрде тең болатын бет құраса (беттің Эйлер сипаттамасы χ = 2). Бетте электр және магнит өрістерінің векторлары нөлге тең болатын кем дегенде бір нүкте міндетті түрде пайда болады. Плазмадағы (немесе басқа күрделі ортадағы) электромагниттік толқындар үшін параметрлік кеңістіктің белгілі бір 2 сфераларында осы типтегі «қойшақтар» немесе «соқпақтар» да пайда болады, бұл жүйеде топологиялық тұрақтандырудың бар екенін көрсетеді, яғни шашырау мен шағылысқа төзімді толқындар бар. Егер Жер атмосферасындағы желді жанама векторлық өріс ретінде қарастырсақ, онда шашты шар теоремасы Жер бетіндегі кез келген жел үшін әрқашан бір жерде циклон болуы керек екенін көрсетеді. Дегенмен, жел атмосферада тік бағытта да қозғалатынын ескеру керек, сондықтан идеалданған жағдай метеорологиялық тұрғыдан толыққанды емес. (Бірақ Жердің айналасындағы атмосфераның әрбір «қабығы» үшін желдің көлденең қозғалмайтын нүктесі болуы керек.) Теорема компьютерлік модельдеуде де (видео ойын дизайнының ішінде) маңызға ие, онда жиі кездесетін мәселе – берілген векторға ортогональ (яғни перпендикуляр) нөлдік емес 3D векторды есептеу болып табылады; шашты шар теоремасы мұндай міндетті орындайтын жалғыз үздіксіз функцияның жоқтығын көрсетеді.