Введение

Теорема в дифференциальной топологии

Теорема о волосатом шаре алгебраической топологии (иногда называемая теоремой о еже в Европе) утверждает, что на n-сферах четной размерности не существует неисчезающего непрерывного тангентного векторного поля. Для обычной сферы, или 2-сферы, если f — непрерывная функция, которая сопоставляет каждой точке p на сфере вектор в R3 таким образом, что f(p) всегда является касательным к сфере в точке p, то существует по крайней мере один полюс — точка, в которой векторное поле обращается в нуль (то есть существует p, такое что f(p) = 0). Теорема была впервые доказана Анри Пуанкаре для 2-сферы в 1885 году и расширена на более высокие четные размерности в 1912 году Луитценом Эгбертусом Яном Брауэром. В разговорной форме теорему часто выражают так: "невозможно гладко расчесать волосатый шар, не создав вихрь" или "невозможно гладко расчесать волосы на кокосе".

Считаю нули

Каждый ноль векторного поля имеет (ненулевой) "индекс", и можно показать, что сумма всех индексов во всех нулях должна быть равна двум, поскольку характеристика Эйлера двумерной сферы равна двум. Следовательно, должен существовать хотя бы один ноль. Это является следствием теоремы Пуанкаре — Хопфа. В случае тора характеристика Эйлера равна 0, и можно "расчесать волосатый бублик". В связи с этим следует, что для любого компактного регулярного двумерного многообразия с ненулевой характеристикой Эйлера любое непрерывное тангенциальное векторное поле имеет по крайней мере один ноль.

Применение в компьютерной графике

Общая проблема в компьютерной графике — генерация ненулевого вектора в R3, ортогонального заданному ненулевому вектору. Не существует единой непрерывной функции, способной выполнить это для всех ненулевых входных векторов. Это следствие теоремы о волосатом шаре. Чтобы понять это, представим заданный вектор как радиус сферы и заметим, что поиск ненулевого вектора, ортогонального заданному, эквивалентен поиску ненулевого вектора, касательного к поверхности этой сферы в точке касания с радиусом. Однако теорема о волосатом шаре утверждает, что не существует непрерывной функции, способной выполнить это для каждой точки на сфере (что эквивалентно каждому заданному вектору).

Лефшецское соединение

Существует тесно связанный аргумент из алгебраической топологии, использующий теорему Лефшеца о неподвижной точке. Поскольку числа Бетти двумерной сферы равны 1, 0, 1, 0, 0, число Лефшеца (общий след по гомологии) тождественного отображения равно 2. Интегрируя векторное поле, мы получаем (по крайней мере, некоторую часть) однопараметрической группы диффеоморфизмов на сфере; и все отображения в этой группе гомотопны тождественному. Следовательно, у всех них число Лефшеца также равно 2. Таким образом, у них есть неподвижные точки (поскольку число Лефшеца отлично от нуля). Для того чтобы показать, что это влечет за собой существование нуля векторного поля, потребуется дополнительная работа. Это, однако, наводит на правильную формулировку более общей теоремы Пуанкаре — Хопфа об индексе.

Следующее

Последствием теоремы о волосатом шаре является то, что любая непрерывная функция, отображающая равномерную сферу в себя, имеет либо фиксированную точку, либо точку, которая отображается в свою антиподальную точку. Это можно увидеть, преобразовав функцию в тангенциальное векторное поле следующим образом. Пусть s – функция, отображающая сферу в себя, а v – тангенциальная векторная функция, которую необходимо построить. Для каждой точки p построим стереографическую проекцию s(p), используя p в качестве точки касания. Тогда v(p) – вектор смещения этой спроецированной точки относительно p. Согласно теореме о волосатом шаре, существует точка p, такая что v(p) = 0, следовательно, s(p) = p.

Этот аргумент не верен только в том случае, если существует точка p, для которой s(p) является антиподальной точкой к p, поскольку такая точка – единственная, которую нельзя стереографически спроецировать на тангенциальную плоскость в точке p.

Дальнейшим следствием является то, что любое проективное пространство четной размерности обладает свойством фиксированной точки. Это следует из предыдущего результата, перенося непрерывные функции из себя в функции из себя.

Более высокие размеры

Связь с характеристикой Эйлера χ наводит на мысль о правильном обобщении: сфера 2n не имеет не исчезающего векторного поля при n ≥ 1. Различие между четными и нечетными размерностями заключается в том, что поскольку единственными ненулевыми числами Бетти m-сферы являются b0 и bm, их знакопеременная сумма χ равна 2 для четных m и 0 для нечетных m. Действительно, легко показать, что нечетномерная сфера допускает не исчезающее тангенциальное векторное поле, рассматривая координаты окружающего четномерного евклидова пространства попарно. А именно, можно определить тангенциальное векторное поле к , задав векторное поле, выраженное как

Для того чтобы это векторное поле ограничивалось тангенциальным векторным полем к единичной сфере , достаточно проверить, что скалярное произведение с единичным вектором вида , удовлетворяющим , равно нулю. Благодаря объединению координат можно заметить, что для сферы 2n окружающее евклидово пространство имеет нечетную размерность, и поэтому этот простой процесс объединения координат невозможен. Хотя это не исключает возможности существования не исчезающего тангенциального векторного поля для четномерной сферы, теорема о волосатом шаре показывает, что построить такое векторное поле невозможно.

Физические примеры

Теорема о волосатом шаре имеет многочисленные физические иллюстрации. Например, вращение жёсткого шара вокруг его фиксированной оси порождает непрерывное тангенциальное векторное поле скоростей точек, расположенных на его поверхности. Это поле имеет две точки нулевой скорости, которые исчезают после просверливания шара насквозь по его центру, тем самым превращая шар в топологический эквивалент тора, тела, к которому теорема о "волосатом шаре" неприменима. Теорема о волосатом шаре может быть успешно применена для анализа распространения электромагнитных волн, в случае, когда волновой фронт образует поверхность, топологически эквивалентную сфере (поверхность, обладающая характеристикой Эйлера χ = 2). По крайней мере одна точка на поверхности, в которой векторы электрического и магнитного полей равны нулю, обязательно появится. На некоторых 2-сферах параметрического пространства для электромагнитных волн в плазме (или других сложных средах) также появляются подобные "вихри" или "лысые точки", что указывает на наличие топологического возбуждения, то есть устойчивых волн, не подверженных рассеянию и отражению в системе. Если идеализировать ветер в атмосфере Земли как тангенциальное векторное поле, то теорема о волосатом шаре подразумевает, что при любом ветре на поверхности Земли где-то всегда должен быть циклон. Однако следует отметить, что ветер может перемещаться вертикально в атмосфере, поэтому идеализированная модель не является метеорологически корректной. (Истина в том, что для каждой "оболочки" атмосферы вокруг Земли должна существовать точка на оболочке, где ветер не движется горизонтально.) Теорема также имеет применение в компьютерном моделировании (включая разработку видеоигр), где распространённой задачей является вычисление ненулевого 3D-вектора, ортогонального (то есть перпендикулярного) заданному; теорема о волосатом шаре подразумевает, что не существует единой непрерывной функции, способной выполнить эту задачу.