Теріс екімүшелік таралым

Кіріспе

Ықтималдық үлестірімі

Ықтималдық теориясы мен статистикада теріс биномдық үлестірімі – тәуелсіз және бірдей таралған Бернулли сынақтарының тізбегінде белгілі бір (көптеген жағдайда өзгермейтін) табыс санына (r деп белгіленеді) жеткенше болатын сәтсіздіктер санын модельдейтін дискретті ықтималдық үлестірімі. Мысалы, бір түрлі текшеде 6 түсуін табыс деп, қалғандарын сәтсіздік деп анықтап, үшінші табысқа дейін қанша сәтсіздік түсетінін сұрай аламыз. Мұндай жағдайда, пайда болған сәтсіздіктер санының ықтималдық үлестірімі теріс биномдық үлестірімі болады. Баламалы түсіндіру бойынша, сәтсіздіктер санының орнына, сынақтардың жалпы санын модельдеуге болады. Шындығында, белгілі бір (көптеген жағдайда өзгермейтін) табыс саны (r) үшін, сәтсіздіктер саны (n – r) кездейсоқ, себебі сынақтардың жалпы саны (n) кездейсоқ. Мысалы, теріс биномдық үлестірімін белгілі бір машинаның (r арқылы анықталған) жұмыс істейтін n (көптеген жағдайда өзгермейтін) күндер санын модельдеу үшін қолдануға болады. Паскаль таралымы (Блез Паскальдің есімімен) және Поля таралымы (Джордж Поляның есімімен) – теріс биномдық таралымының ерекше жағдайлары. Инженерлер, климаттанушылар және басқа мамандар арасында, тоқтату уақыты параметрі бүтін санмен белгіленген жағдайда «теріс биномдық» немесе «Паскаль» терминдерін, ал нақты санмен белгіленген жағдайда «Поля» терминін қолдану қабылданған. Торнадолар сияқты байланысты дискретті оқиғалардың пайда болуын модельдеу үшін Поля таралымдарын қолдануға болады, олар Пуассон таралымына қарағанда дәлірек модельдерді ұсынады, себебі олар орташа және дисперсияның мәндерінің әртүрлі болуына мүмкіндік береді. Теріс биномдық үлестірімінің дисперсиясы тең, ал таралым белгілі бір орташа мәнге жақындағанда Пуассон таралымымен бірдей болады (яғни, сәтсіздіктер азая түседі). Бұл таралымды Пуассон таралымына қарағанда артық дисперсияланған балама ретінде пайдалануға болады, мысалы, Пуассон регрессиясының тұрақты модификациясы үшін. Эпидемиологияда, инфекциялық аурулардың таралуын модельдеу үшін қолданылады, онда инфекцияның ықтимал саны жеке адамдар мен жағдайлар бойынша айтарлықтай өзгеруі мүмкін. Жалпырақ айтқанда, оқиғалардың орын алғанда өзара байланысы бар болса, олардың дисперсиясы тәуелсіз оқиғаларға қарағанда жоғары болады, себебі оң ковариация шарттары бар. «Теріс биномдық» терминінің пайда болуы, таралымның ықтималдық массалық функциясының формуласындағы белгілі бір биномдық коэффициентті теріс сандармен жазуға болады деген фактісімен байланысты болуы мүмкін.

In probability theory and statistics, the negative binomial distribution is a discrete probability distribution that models the number of failures in a sequence of independent and identically distributed Bernoulli trials before a specified (non random) number of successes (denoted ) occurs. For example, we can define rolling a 6 on some dice as a success, and rolling any other number as a failure, and ask how many failure rolls will occur before we see the third success In such a case, the probability distribution of the number of failures that appear will be a negative binomial distribution. An alternative formulation is to model the number of total trials (instead of the number of failures). In fact, for a specified (non random) number of successes (r), the number of failures (n − r) are random because the total trials (n) are random. For example, we could use the negative binomial distribution to model the number of days n (random) a certain machine works (specified by r) before it breaks down. The Pascal distribution (after Blaise Pascal) and Polya distribution (for George Pólya) are special cases of the negative binomial distribution. A convention among engineers, climatologists, and others is to use "negative binomial" or "Pascal" for the case of an integer valued stopping time parameter and use "Polya" for the real valued case. For occurrences of associated discrete events, like tornado outbreaks, the Polya distributions can be used to give more accurate models than the Poisson distribution by allowing the mean and variance to be different, unlike the Poisson. The negative binomial distribution has a variance , with the distribution becoming identical to Poisson in the limit for a given mean (i. e. when the failures are increasingly rare). This can make the distribution a useful overdispersed alternative to the Poisson distribution, for example for a robust modification of Poisson regression. In epidemiology, it has been used to model disease transmission for infectious diseases where the likely number of onward infections may vary considerably from individual to individual and from setting to setting. More generally, it may be appropriate where events have positively correlated occurrences causing a larger variance than if the occurrences were independent, due to a positive covariance term. The term "negative binomial" is likely due to the fact that a certain binomial coefficient that appears in the formula for the probability mass function of the distribution can be written more simply with negative numbers.

Анықтамалар

Бернуллидің тәуелсіз сынақтарының тізбегін көзге елестетіңіз: әр сынақтың "жетістік" және "сәтсіздік" деп аталатын екі мүмкін нәтижесі бар. Әр сынақта жетістікке жету ықтималдығы ал, сәтсіздік ықтималдығы . Біз осы тізбекті, алдын ала белгіленген саны жетістікке жеткенше бақылаймыз. Содан кейін байқалған сәтсіздіктердің кездейсоқ саны , теріс биномдық (немесе Паскаль) үлестіріміне сәйкес келеді:

Күту

r табысқа жету үшін қажетті жалпы сынақтар саны – осылай. Сондықтан, күтілетін сәтсіздіктер саны – бұл мәннен табыстарды шегеру арқылы есептеледі:

Ауыспалылық

r-ші сәттілікке дейінгі сәтсіздіктер санын есептегенде, дисперсия r(1 − p) / p² тең болады. r-ші сәтсіздікке дейінгі сәттіліктер санын есептегенде, жоғарыдағы (3) формуласында көрсетілгендей, дисперсия rp / (1 − p)² тең болады.

Байланысты үлестірулер

Геометриялық таралу { 0, 1, 2, 3, } – теріс биномдық таралудың ерекше жағдайы. Теріс биномдық таралу дискретті фазалық таралудың ерекше жағдайы, ал теріс биномдық таралу дискретті құрама Пуассон таралуының ерекше жағдайы.

GammaPoisson қоспасы

Теріс биномдық үлестірім сонымен қатар Пуассон үлестірімдерінің үздіксіз қоспасы ретінде туындайды (яғни, құрама ықтималдық үлестірімі), онда Пуассон шамасының араластыру үлестірімі гамма-тарату болып табылады. Яғни, теріс биномды Пуассон(λ) үлестірімі ретінде қарастыруға болады, мұнда λ өзі кездейсоқ шама, пішін параметрі r және масштаб параметрі θ = (1 − p)/p немесе тиісінше жылдамдығы β = p/(1 − p) болатын гамма-үлестірімі бойынша таралады. Бұл тұжырымның түйсігін көрсету үшін, екі тәуелсіз Пуассон процесін – «Сәттілік» және «Сәтсіздік» – қарастырайық, олардың қарқындылығы p және 1 − p шамаларына тең. «Сәттілік» және «Сәтсіздік» процестері бірге алғанда, қарқындылығы 1-ге тең бір Пуассон процесіне баламалы, онда процестің оқиғасы сәттілік болып есептеледі, егер сәйкес тәуелсіз тиыскенде бас көтеріп, ықтималдығы p болса; әйтпесе, ол сәтсіздік болады. Егер r – санау саны болса, тиыскендер көрсеткендей, r-інші сәтсіздікке дейінгі сәттіліктердің саны r және p параметрлерімен теріс биномдық үлестірілімге сәйкес келеді. Алайда, бұл сан сәтсіздік Пуассон процесіндегі r-інші оқиғаның кездейсоқ уақыты T-дағы «Сәттілік» Пуассон процесінің санауымен де өрнектеледі. «Сәттілік» санауы pT орташа мәнімен Пуассон үлестірілімін қанағаттандырады, мұнда T – қарқындылығы 1 − p Пуассон процесінде r оқиға күту уақыты, яғни T пішін параметрі r және қарқындылығы 1 − p болатын гамма-үлестірімі бойынша таралады. Осылайша, теріс биномдық үлестірілім pT орташа мәнімен Пуассон үлестіріліміне тең, мұнда кездейсоқ шама T пішін параметрі r және қарқындылығы (1 − p) болатын гамма-үлестірімі бойынша таралады. Алдыңғы абзац мына себепті келеді, өйткені λ = pT пішін параметрі r және қарқындылығы (1 − p)/p болатын гамма-үлестірімі бойынша таралады. Келесі формальды туынды (r санау саны болуына байланысты емес) бұл тұжырымды растайды. Осыған байланысты, теріс биномдық үлестірілім гамма-Пуассон (қоспа) үлестірілімі деп те аталады. Теріс биномдық үлестірілім бастапқыда гамма-Пуассон үлестірілімінің шекті жағдайы ретінде алынған.

The negative binomial distribution also arises as a continuous mixture of Poisson distributions (i. e. a compound probability distribution) where the mixing distribution of the Poisson rate is a gamma distribution. That is, we can view the negative binomial as a Poisson(λ) distribution, where λ is itself a random variable, distributed as a gamma distribution with shape r and scale θ = (1 − p)/p or correspondingly rate β = p/(1 − p). To display the intuition behind this statement, consider two independent Poisson processes, "Success" and "Failure", with intensities p and 1 − p. Together, the Success and Failure processes are equivalent to a single Poisson process of intensity 1, where an occurrence of the process is a success if a corresponding independent coin toss comes up heads with probability p; otherwise, it is a failure. If r is a counting number, the coin tosses show that the count of successes before the rth failure follows a negative binomial distribution with parameters r and p. The count is also, however, the count of the Success Poisson process at the random time T of the rth occurrence in the Failure Poisson process. The Success count follows a Poisson distribution with mean pT, where T is the waiting time for r occurrences in a Poisson process of intensity 1 − p, i. e., T is gamma distributed with shape parameter r and intensity 1 − p. Thus, the negative binomial distribution is equivalent to a Poisson distribution with mean pT, where the random variate T is gamma distributed with shape parameter r and intensity (1 − p). The preceding paragraph follows, because λ = pT is gamma distributed with shape parameter r and intensity (1 − p)/p. The following formal derivation (which does not depend on r being a counting number) confirms the intuition. Because of this, the negative binomial distribution is also known as the gamma–Poisson (mixture) distribution. The negative binomial distribution was originally derived as a limiting case of the gamma Poisson distribution.

(a,b,0) үлестірудің класы

Теріс бином, Пуассон және биномдық үлестірілімдер (a,b,0) үлестірілімдер класының мүшелері болып табылады. Бұл үш үлестірілімнің барлығы да Панжер үлестірілімінің ерекше жағдайлары. Олар сондай-ақ табиғи экспоненциалдық отбасының мүшелері.

Ашықтан шашыраған Poisson

Теріс биномдық үлестіру, әсіресе жоғарыда сипатталған балама параметрлеуде, Пуассон үлестіруіне балама ретінде қолданылуы мүмкін. Ол әсіресе, үлгілік дисперсиясы үлгілік орташадан жоғары болатын, шексіз оң диапазонды дискретті деректер үшін тиімді. Мұндай жағдайларда, байқаулар Пуассон үлестіруіне қатысты шамадан тыс шашыраңқы болады, онда орташа дисперсияға тең. Сондықтан Пуассон үлестіруі тиімді модель емес. Теріс биномдық үлестіруде Пуассоннан бір параметр артық болғандықтан, екінші параметрді орташадан тәуелсіз дисперсияны реттеу үшін пайдалануға болады. Кейбір дискретті ықтималдық үлестірулерінің кумулянттарын қараңыз. Бұл тәсіл Солтүстік Атлантикадағы тропикалық циклонның жылдық санын немесе Еуропадағы қысқы экстратропикалық циклонның айлық немесе 6 айлық санын талдау үшін қолданылады, онда дисперсия орташадан жоғары. Шамадан тыс дисперсия шағын болған жағдайда, бұл шамадан тыс дисперсиялы Пуассон үлестіруімен салыстырылатын нәтижелерді беруі мүмкін. Теріс биномдық модельдеу экология және биоәртүрлілік зерттеулерінде шамадан тыс дисперсияның жиі кездесетін санау деректерін талдау үшін кеңінен қолданылады. Себебі шамадан тыс дисперсия биологиялық кластерленудің белгісі, мысалы, түрлердің немесе қоғамдастықтардың топтасуы. Шамадан тыс дисперсияны ескермеу модель параметрлерінің қате бағалануына және осыған байланысты статистикалық қорытындылардың бұрмалануына әкелуі мүмкін. Теріс биномдық үлестіру шамадан тыс шашыраңқы санауларды тиімді түрде шешеді, өйткені дисперсияның орташамен квадраттық байланысына мүмкіндік береді. Қосымша дисперсия параметрі квадраттық терминнің еңістігін анықтайды, бұл шамадан тыс дисперсияның деңгейін көрсетеді. Модельдің квадраттық орташа-дисперсиялық қатынасы көптеген зерттеулерде алынған эмпирикалық деректермен расталған, шамадан тыс дисперсияны басқарудың сенімді тәсілі болып табылады. Жалпы алғанда, NB моделі екі маңызды артықшылықты ұсынады: 1) дисперсия параметрін кластерлену немесе топтасу индексі ретінде түсіндірудің қарапайымдылығы және 2) ықтималдық массалық функциясының жабық түрінің болуы. Генетикада теріс биномдық үлестіру жоғары өнімді РНК және ДНК тізбектеу эксперименттерінен алынған дискретті тізбек оқу санын модельдеу үшін жиі қолданылады. Жұқпалы аурулар эпидемиологиясында теріс биномдық үлестіру Пуассон үлестіруіне қарағанда, бір инфекциялық жағдайдан туындаған екіншік инфекциялардың шамадан тыс шашыраңқы санын модельдеу үшін тиімдірек опция болып табылады (супертаралу оқиғалары).

The negative binomial distribution, especially in its alternative parameterization described above, can be used as an alternative to the Poisson distribution. It is especially useful for discrete data over an unbounded positive range whose sample variance exceeds the sample mean. In such cases, the observations are overdispersed with respect to a Poisson distribution, for which the mean is equal to the variance. Hence a Poisson distribution is not an appropriate model. Since the negative binomial distribution has one more parameter than the Poisson, the second parameter can be used to adjust the variance independently of the mean. See Cumulants of some discrete probability distributions. An application of this is to annual counts of tropical cyclones in the North Atlantic or to monthly to 6 monthly counts of wintertime extratropical cyclones over Europe, for which the variance is greater than the mean. In the case of modest overdispersion, this may produce substantially similar results to an overdispersed Poisson distribution. Negative binomial modeling is widely employed in ecology and biodiversity research for analyzing count data where overdispersion is very common. This is because overdispersion is indicative of biological aggregation, such as species or communities forming clusters. Ignoring overdispersion can lead to significantly inflated model parameters, resulting in misleading statistical inferences. The negative binomial distribution effectively addresses overdispersed counts by permitting the variance to vary quadratically with the mean. An additional dispersion parameter governs the slope of the quadratic term, determining the severity of overdispersion. The model's quadratic mean variance relationship proves to be a realistic approach for handling overdispersion, as supported by empirical evidence from many studies. Overall, the NB model offers two attractive features: (1) the convenient interpretation of the dispersion parameter as an index of clustering or aggregation, and (2) its tractable form, featuring a closed expression for the probability mass function. In genetics, the negative binomial distribution is commonly used to model data in the form of discrete sequence read counts from high throughput RNA and DNA sequencing experiments. In epidemiology of infectious diseases, the negative binomial has been used as a better option than the Poisson distribution to model overdispersed counts of secondary infections from one infected case (super spreading events).