Кіріспе

Ықтималдық үлестірімі

Ықтималдық теориясы мен статистикада қалыпты үлестірім немесе Гаусс үлестірімі — нақты бағаланған кездейсоқ айнымалы үшін үздіксіз ықтималдық үлестірімі. Оның ықтималдық тығыздық функциясының жалпы түрі:

Параметр таралудың орташа мәні немесе күтімі (сонымен қатар оның медианасы және модасы) болып табылады, ал параметрі — стандартты ауытқуы. Таралудың дисперсиясы . Гаусс таралымы бар кездейсоқ айнымалы қалыпты таралған деп есептеледі және қалыпты ауытқу деп аталады. Қалыпты үлестірулер статистикада маңызды және көбінесе табиғи және әлеуметтік ғылымдарда олардың үлестірулері белгісіз нақты бағаланған кездейсоқ айнымалыларды бейнелеу үшін қолданылады. Олардың маңыздылығы, ішінара, орталық шек теоремасына байланысты. Ол белгілі бір жағдайларда, шекті орташа және дисперсиясы бар кездейсоқ айнымалының көптеген үлгілерінің (байқауларының) орташасы өзі кездейсоқ айнымалы болып табылады — оның үлестірімі үлгілер санының артуымен қалыпты үлестіріміне жақындайды. Сондықтан, көптеген тәуелсіз процестердің қосындысы болып күтілетін физикалық шамалар, мысалы, өлшеу қателері, көбінесе қалыпты үлестіріміне жақын болады. Сонымен қатар, Гаусс үлестірімдері аналитикалық зерттеулерде құнды ерекше қасиеттерге ие. Мысалы, тәуелсіз қалыпты ауытқулардың белгілі бір жиынтығының кез келген сызықтық комбинациясы қалыпты ауытқу болып табылады. Көптеген нәтижелер мен әдістер, мысалы, белгісіздіктің таралуы және ең кіші квадраттар параметрін табу, тиісті айнымалылар қалыпты таралған кезде, нақты түрде аналитикалық түрде шығарылуы мүмкін. Қалыпты үлестірім кейде бейресми түрде қоңырау қисығы деп аталады. Дегенмен, көптеген басқа үлестірулер де қоңырау тәрізді болады (мысалы, Коши, Стьюдент t және логистикалық үлестірулер). Басқа атаулар үшін «Атаулар» бөлімін қараңыз. Бірөлшемді ықтималдық үлестірімі көпөлшемді нормальді үлестірімде векторлар үшін және матрицалық нормальді үлестірімде матрицалар үшін жалпыланады.

Нөмірлік

Стандартты Гаусс үлестірімі (стандартты қалыпты үлестірімі, нөлдік орташа және бірлік дисперсиясы) ықтималдық тығыздығы көбінесе грек әрпі φ (фи) арқылы белгіленеді. Грек әрпі фи-нің басқа түрі, φ, де жиі қолданылады. Қалыпты үлестірімді көбінесе немесе деп атайды. Осылайша, егер кездейсоқ шама μ орташа және σ стандартты ауытқумен қалыпты үлестірімге ие болса, оны былай жазуға болады:

Қасиеттері

Нормальды үлестірім – алғашқы екеуден басқа (яғни, орташа және дисперсиядан өзге) кумулянттары нөлге тең болатын жалғыз үлестірім. Сондай-ақ, ол белгілі бір орташа және дисперсия үшін максимальды энтропияға ие үздіксіз үлестірім. Гери, орташа және дисперсия шекті деп есептегенде, нормальды үлестірім – тәуелсіз сынамалар жиынтығынан есептелген орташа және дисперсия бір-біріне тәуелсіз болатын жалғыз үлестірім екенін көрсетті. Нормальды үлестірім – эллипстік үлестірімдердің кіші тобы. Нормальды үлестірім өзінің орташа мәніне қатысты симметриялы және бүкіл нақты сан осында нөлдік емес. Осы себепті, адам салмағы немесе акция бағасы сияқты, өзінен-өзі оң немесе күшті қиылысқа ие айнымалылар үшін ол тиімді модель болмауы мүмкін. Мұндай айнымалыларды логнормальды немесе Парето үлестірімі сияқты басқа үлестірімдер арқылы жақсы сипаттауға болады. Нормальды үлестірімнің мәні, орташа мәннен бірнеше стандартты ауытқудан асып кеткенде, практикалық түрде нөлге жақындайды (мысалы, үш стандартты ауытқудың диапазоны жалпы үлестірімнің 0,27%-нан аспайды). Сондықтан, егер орташа мәннен көптеген стандартты ауытқуларға ие айнымалылардың маңызды үлесі күтілсе, бұл модель сәйкес болмауы мүмкін. Ең кішкентай квадраттар және басқа да статистикалық қорытындылау әдістері, нормальды үлестірілген айнымалылар үшін оңтайлы болса, мұндай деректерге қолданғанда өте сенімсіз болуы мүмкін. Мұндай жағдайларда, ауыр құйрықты үлестірімді қабылдап, тиісті робастты статистикалық қорытындылау әдістерін қолдану керек. Гаусс үлестірімі – тұрақты үлестірімдер отбасының құрамына кіреді, олар тәуелсіз, бірдей үлестірілген үлестірімдердің қосындысының лимиті болып табылады, орташа немесе дисперсия шекті болсын, болмасын. Гаусс жағдайын қоспағанда, барлық тұрақты үлестірімдерде ауыр құйрықтар және шексіз дисперсия бар. Бұл тұрақты және ықтималдық тығыздық функциялары аналитикалық түрде өрнектелетін сирек үлестірімдердің бірі, ал қалғандары – Коши және Леви үлестірімдері.

Stein операторы мен класы

Штайн әдісінде кездейсоқ айнымалының Штайн операторы және класы – абсолютті түрде үздіксіз функциялардың барлық класы болып табылады.

Қалыпты айнымалылардың операциялары мен функциялары

[[Файл:Нормаль векторлардың функцияларының ықтималдықтары.png|thumb|right|a: Нормаль айнымалының функциясының ықтималдық тығыздығы және b: Екі нормаль айнымалының функциясының ықтималдық тығыздығы , мұнда , , , , және c: Корреляцияланған екі нормаль айнымалының функцияларының бірлескен ықтималдық тығыздығының жылу картасы , мұнда , , , , және d: 4 тәуелсіз стандартты нормаль айнымалының функциясының ықтималдық тығыздығы. Бұл сандық әдіспен (Matlab коды) есептеледі. Келесі бөлімдерде кейбір ерекше жағдайлар қарастырылады.

Екі тәуелсіз қалыпты айнымалыға операциялар

Егер және – екі тәуелсіз қалыпты кездейсоқ шамалар болса, олардың математикалық күтілімдері және , ал стандартты қателіктері және болса, онда олардың қосындысы да қалыпты таралымға ие болады, математикалық күтілімі және дисперсиясы . Атап айтқанда, егер және тәуелсіз қалыпты шамалар болса, математикалық күтілімі нөлге тең және дисперсиясы болса, онда және де тәуелсіз және қалыпты таралымға ие болады, математикалық күтілімі нөлге тең және дисперсиясы . Бұл поляризациялық тепе-теңдіктің ерекше жағдайы. Егер және – екі тәуелсіз қалыпты шамалар болса, математикалық күтілімі және қателігі , ал және – кез келген нақты сандар болса, онда айнымалы да қалыпты таралымға ие болады, математикалық күтілімі және қателігі . Осыдан қалыпты таралым тұрақты болады (көрсеткіші ). Егер және қалыпты үлестірімдер болса, онда олардың нормаланған геометриялық орташасы да қалыпты үлестірім болып табылады, математикалық күтілімі және дисперсиясы (көрнекілеу үшін мына жерге қараңыз).

Бірнеше өзара байланысты қалыпты айнымалыларға операциялар

Нормальдық вектордың квадраттық формасы, яғни көптеген тәуелсіз немесе байланысты нормальдық айнымалылардың квадраттық функциясы, жалпыланған хи-квадрат айнымалысы болып табылады.

Тығыздық функциясының операциялары

Бөлінетін қалыпты үлестіру ең тікелей түрде әртүрлі қалыпты үлестірулердің тығыздық функцияларының масштабталған бөліктерін қосып, тығыздықтың интегралы бірге тең болуы үшін қайта масштабтау арқылы анықталады. Қысқартылған қалыпты үлестіру бір тығыздық функциясының бір бөлігін қайта масштабтау нәтижесінде пайда болады.

Шексіз бөлінбестік және Крамер теоремасы

Кез келген оң бүтін сан үшін, орташасы және дисперсиясы бар кез келген қалыпты үлестіру, орташасы және дисперсиясы бар тәуелсіз қалыпты ауытқулардың қосындысының үлестірілуі болып табылады. Бұл қасиет шексіз бөлінгіштік деп аталады. Керісінше, егер және тәуелсіз кездейсоқ шамалар болса және олардың қосындысы қалыпты үлестірілімге ие болса, онда екеуі де қалыпты ауытқулар болуы керек. Бұл нәтиже Крэмердің ыдырау теоремасы деп аталады және екі үлестірілімнің конволюциясы екеуі де қалыпты болған жағдайда ғана қалыпты болады дегенмен тең. Крэмер теоремасы тәуелсіз Гаусс емес шамалардың сызықтық комбинациясының дәл қалыпты үлестірілімі болмайды, бірақ ол оған кез келген дәрежеде жақындауы мүмкін.

Бернштейн теоремасы

Бернштейн теоремасы егер және тәуелсіз болса, және тәуелсіз болса, онда X және Y-дің екеуі де қалыпты үлестірілуге ие болуы керек. Көбірек айтқанда, егер тәуелсіз кездейсоқ шамалар болса, онда екі түрлі сызықтық комбинация және егер барлық шамалар қалыпты болса және ғана тәуелсіз болады, мұндағы – дисперсияны білдіреді.

E(X), V(X) және T(X) сәйкесінше орташа, дисперсия және үшінші орталық момент. Гаусс заңының негізгі қолданыстарының бірі – практикада кездесетін көптеген кездейсоқ шамалардың эмпирикалық үлестірілімдерін модельдеу. Мұндай жағдайда, мүмкін кеңейтім – екі параметрден артық параметрі бар, демек эмпирикалық үлестірілімге дәлірек сәйкес келетін үлестірілімдердің бай отбасы болуы мүмкін. Мұндай кеңейтімдердің мысалдары: Пирсон үлестірімі – әр түрлі қисықтық және куртоз мәндерін қосу арқылы қалыпты заңды кеңейтетін төрт параметрлі ықтималдық үлестірімі отбасы. Сонымен қатар, экспоненциалдық қуатты үлестірілім деп те аталатын жалпыланған қалыпты үлестірілім, таралудың қалың немесе жұқа асимптотикалық қасиеттері бар құйрықтарын жасауға мүмкіндік береді.

Үлгі орташа

Эстиматор үлгідегі орташа деп аталады, себебі ол барлық байқаулардың арифметикалық орташасы болып табылады. Статистика , үшін толық және жеткілікті, сондықтан Леманн-Шеффе теоремасы бойынша, – біркелкі ең аз дисперсиялы (UMVU) бағалаушы. Шектелген үлгілерде ол қалыпты үлестірімге ие:

Бұл эстиматордың дисперсиясы кері Фишер ақпараттық матрицасының μμ элементіне тең. Бұл эстиматордың шектелген үлгіде тиімді екенін көрсетеді. Практикалық тұрғыдан маңыздысы, эстиматордың стандартты қателігі пропорционалды , яғни, егер стандартты қателікті 10 есеге азайту қажет болса, үлгідегі бақылаулар санын 100 есеге арттыру керек. Бұл факт көпшілік пікірін зерттеу үшін үлгі көлемін және Монте-Карло симуляцияларындағы тәжірибелер санын анықтауда кеңінен қолданылады. Асимптотикалық теория бойынша, эстиматор консистентті, яғни ол нөлге жақындайды, және асимптотикалық түрде қалыпты болады, бұл шектелген үлгілердегі қалыптылығының тікелей салдары болып табылады:

Скалярлық пішін

Келесі қосалқы формула, кері жаңарту теңдеулерін оңайлатуға көмектеседі, әйтпесе олар тым күрделі болып кетеді. Бұл теңдеу x-тегі екі квадраттың қосындысын квадраттарды ашу, x-тің мүшелерін топтастыру және толық квадрат құру арқылы жазады. Кейбір мүшелерге жалғанған күрделі тұрақты факторларға назар аударыңыз: фактор y және z-дің салмақталған орташасы түрінде келеді. Бұл фактор a және b шамаларының кері шамалары тікелей қосылған жағдайда туындайды, сондықтан a және b-ні біріктіру үшін кері шамаларын алу, қосу және нәтиженің кері шамасын алу қажет, содан кейін бастапқы өлшем бірліктеріне қайта оралуға болады. Бұл гармониялық орташаны есептеу кезінде орындалатын операцияның өзі, сондықтан фактор a және b гармониялық орташасының жартысына тең екеніне таңқалудың қажеті жоқ.

Қалыптылық

Кванттық гармоникалық осциллятордың негізгі күйі Гаусс таралымына ие. Физикадағы кейбір шамалар, алғаш рет Джеймс Клерк Максвелл көрсеткендей, қалыпты үлестірілімге сәйкес келеді. Мұндай шамалардың мысалдары: кванттық гармоникалық осциллятордағы негізгі күйдің ықтималдық тығыздық функциясы. Диффузияға ұшыраған бөлшектің орны. Егер бастапқыда бөлшек белгілі бір нүктеде орналасса (яғни оның ықтималдық таралымы Дирак дельта функциясы болса), онда t уақытынан кейін оның орналасуы t дисперсиясы бар қалыпты таралыммен сипатталады, бұл диффузия теңдеуін қанағаттандырады. Егер бастапқы орналасу белгілі бір тығыздық функциясымен берілсе, онда t уақытындағы тығыздық g және қалыпты ықтималдық тығыздық функциясының конволюциясы болады.

Әдістемелік мәселелер мен әріптестердің сараптамасы

Джон Иоаннидис зерттеу нәтижелерін растау үшін қалыпты таратылған стандартты ауытқуларды стандарт ретінде пайдалану, қалыпты таратылмаған құбылыстар туралы тексерілмейтін жалған болжамдарға әкеп соқтырады деп мәлімдеді. Мысалы, барлық қажетті шарттар орындалғанда ғана пайда болатын, біреуін екіншісімен қосып алмастыруға болмайтын және кездейсоқ таратылмаған құбылыстар осыған жатады. Иоаннидис стандартты ауытқуға негізделген растаудың, кейбір, бірақ барлық жалған болжамдары қалыпты таратылмаған гипотезалар мен теорияларға қате жарамдылық сезімін сыйлайтынын айтады. Себебі, жалған болжамдарға қарсы дәлелдер бар және олардың кейбір жағдайлары жалған болжамдардың қалыпты таратылмаған бөлігінде кездеседі. Сондай-ақ, жалған болжамдарының ешқайсысы қалыпты таратылмаған гипотезаларды негізсіз жоққа шығарады, оларды тексеруге болмайтын сияқты қарастырады, ал шындығында олар жалған болжамдар жасауға қабілетті. Иоаннидис пікірінше, ғылыми журналдардың өзара ерекшеленетін теорияларды расталған деп қабылдауының көптеген жағдайлары, журналдардың қалыпты таратылмаған болжамдардың эмпирикалық жолмен жоққа шығарылуын қабылдамауынан туындайды. Бірақ өзара ерекшеленетін теориялар бір уақытта дұрыс бола алмайды, алайда екі өзара ерекшеленетін теория да қате болуы мүмкін, ал үшіншісі дұрыс болады.

Атау беру

Бүгінгі таңда бұл ұғым әдетте ағылшын тілінде қалыпты таралу немесе Гаусс таралуы деп аталады. Басқа, сирек қолданылатын атауларға Гаусс үлестірімі, Лаплас-Гаусс үлестірімі, қателік заңы, қателіктердің оңайлату заңы, Лапластың екінші заңы және Гаусс заңы жатады. Гаусс өзі бұл ұғымның қолданылуына қатысты "нормальды теңдеулерге" сілтеме жасай отырып, терминнің техникалық мағынасын ортогональды деп түсіндірген, яғни әдеттегіден ерекшеленетін. Алайда, 19-шы ғасырдың соңында кейбір авторлар "нормальды" сөзін атау ретінде қолдана бастады. Бұл термин осы таралуды типтік, жиі кездесетін және демек, қалыпты деп қарастыруды білдірді. Пирс (осы авторлардың бірі) "нормальды" ұғымын былай анықтады: " 'нормальды' дегеніміз – нақты оқиғалардың орташа көрсеткіші (немесе кез келген басқа орташа емес), ал белгілі бір жағдайларда ұзақ мерзімде болатын нәрсе". 20-шы ғасырдың басында Пирсон осы таралуды белгілеу үшін "нормальды" терминін кеңінен пайдаланды. Сондай-ақ, Пирсон алғаш рет таралуды қазіргі заманғы нотациядағыдай σ стандартты ауытқу арқылы жазды. Одан көп ұзамай, 1915 жылы Фишер қалыпты таралу формуласына орналасу параметрін қосты, осыны қазіргі күнгі түрінде бейнеледі.

"Стандартты қалыпты" термині, нөлдік орташа және бірлік дисперсиясы бар қалыпты таралуды білдіретін бұл термин, 1950-ші жылдар шамасында кеңінен қолданысқа енді. Ол П.Г. Хоелдің (1947) "Математикалық статистикаға кіріспе" және А.М. Мудтың (1950) "Статистика теориясына кіріспе" атты танымал оқулықтарында пайда болды.