Кіріспе
Клиффорд алгебрасы — квадраттық формасы бар векторлық кеңістік арқылы құрылатын алгебра. Бұл ерекшеленген ішкі кеңістіктің қосымша құрылымына ие, бірлік ассоциативтік алгебра. K-алгебралар ретінде, олар нақты сандарды, кешенді сандарды, кватерниондарды және басқа да гиперкешенді сандар жүйелерін жалпылайды. Клиффорд алгебраларының теориясы квадраттық формалар мен ортогоналды түрлендірулер теориясымен тығыз байланысты. Клиффорд алгебралары геометрия, теориялық физика және цифрлық кескіндерді өңдеу сияқты әртүрлі салаларда маңызды қолданысқа ие. Олар ағылшын математигі Уильям Кингдон Клиффордтың (1845–1879) құрметіне аталған. Ең көп танымал Клиффорд алгебрасы, ортогоналды Клиффорд алгебрасы, симплектикалық Клиффорд алгебраларынан өзгешелігі ретінде (псевдо)Риман Клиффорд алгебрасы деп те аталады.
the orthogonal Clifford algebra
In mathematics, a Clifford algebra is an algebra generated by a vector space with a quadratic form, and is a unital associative algebra with the additional structure of a distinguished subspace. As K algebras, they generalize the real numbers, complex numbers, quaternions and several other hypercomplex number systems. The theory of Clifford algebras is intimately connected with the theory of quadratic forms and orthogonal transformations. Clifford algebras have important applications in a variety of fields including geometry, theoretical physics and digital image processing. They are named after the English mathematician William Kingdon Clifford (1845–1879). The most familiar Clifford algebras, the orthogonal Clifford algebras, are also referred to as (pseudo )Riemannian Clifford algebras, as distinct from symplectic Clifford algebras.
Сыртқы алгебраның квантталуы ретінде
Клиффорд алгебралары сыртқы алгебралармен тығыз байланысты. Шындығында, егер 1=Q = 0 болса, онда Клиффорд алгебрасы Cl(V, Q) – бұл сыртқы алгебра ⋀V. K негізгі өрісінде 2 инвертті болған кезде, ⋀V және Cl(V, Q) арасында канондық сызықтық изоморфизм болады. Яғни, олар векторлық кеңістіктер ретінде табиғи түрде изоморфты, бірақ әртүрлі көбейтулермен (екінің сипаттамасында, олар векторлық кеңістіктер ретінде де изоморфты, бірақ табиғи түрде емес). Клиффорд көбейтуі, ерекшеленген ішкі кеңістікпен бірге, сыртқы көбейтіндіге қарағанда әлдеқайда бай, себебі ол Q ұсынған қосымша ақпаратты пайдаланады. Клиффорд алгебрасы – сүзгіленген алгебра; оған сәйкес келетін сыныпталған алгебра – сыртқы алгебра. Нақтырақ айтқанда, Клиффорд алгебраларын сыртқы алгебраның квантталуы ретінде қарастыруға болады (қ. кванттық топ), Вейль алгебрасы симметриялық алгебраның квантталуы сияқты. Вейль алгебралары мен Клиффорд алгебралары * алгебраның қосымша құрылымын қабылдайды және оларды CCR және CAR алгебраларында талқыланғандай, супералгебраның жұп және тақ мүшелері ретінде біріктіруге болады.
Мысалдар: нақты және күрделі Клиффорд алгебралары
Клиффордтың ең маңызды алгебралары — нақты және кешендік векторлық кеңістіктердегі дегенерацияланбаған квадраттық формалармен жабдықталған алгебралар болып табылады. Әрбір алгебра және A немесе A ⊕ A-ға изоморфты, мұнда A — "R", "C" немесе "H" элементтерінен құралған толық матрицалық сақина. Бұл алгебралардың толық жіктелуі үшін «Клиффорд алгебраларының жіктелуі» деген мақаланы қараңыз.
Мысалдар: шағын өлшемде
K - 2 емес сипаттамасы бар кез келген салада болсын.
1-өлшем
1=dim V = 1 үшін, егер Q диагональдалуға болып, diag(a) түрінде жазылатын болса, яғни 1=Q(x) = a шартын қанағаттандыратын нөлдік емес x векторы болса, онда Cl(V, Q) алгебрасы 1=x^2 = a теңдеуін қанағаттандыратын x элементімен құрылған K алгебрасына изоморфты, яғни K[X] / (X^2 − a) квадраттық алгебрасына изоморфты. Атап айтқанда, егер 1=a = 0 болса (яғни Q нөлдік квадраттық форма болса), онда Cl(V, Q) алгебрасы К-дегі қос сандар алгебрасына изоморфты.
Егер a К-дегі нөлдік емес квадрат болса, онда Cl(V, Q) ≃ K ⊕ K.
Әйтпесе, Cl(V, Q) K-нің квадраттық кеңейтуіне изоморфты.
2-өлшем
1=dim V = 2 үшін, егер Q диагональдық түрге келтірілгенде diag(a, b) түрінде берілсе, мұнда a және b нөлден өзгеше (Q егер дегенерацияланбаған болса, мұндай түрге келтіру әрқашан мүмкін), онда Cl(V, Q) x және y элементтері арқылы жасалған K алгебрасына изоморфты болады, бұл 1=x² = a, 1=y² = b және 1=xy = −yx шартын қанағаттандырады. Осылайша Cl(V, Q) (жалпыланған) кватернион алгебрасына (a, b)K изоморфты. 1=a = b = −1 болғанда Гамильтон кватерниондарын аламыз, себебі 1='H' = (−1, −1)'R'. Ерекше жағдай ретінде, егер V-дегі кейбір x үшін 1=Q(x) = 1 орындалса, онда 1=Cl(V, Q) ≃ M2(K).
Сыртқы алгебраға қатынасы
V векторлық кеңістігі берілгенде, V сыртқы алгебрасын құруға болады, оның анықтамасы V-дегі кез келген квадраттық формадан тәуелсіз. Егер K-ның сипаттамасы 2 болмаса, онда V және Cl(V, Q) арасында векторлық кеңістіктер ретінде қаралатын табиғи изоморфизм бар (және екі сипаттамада изоморфизм бар, ол табиғи болмауы мүмкін). Бұл алгебралық изоморфизм, егер және тек қана 1=Q = 0 болса. Осылайша Клиффорд алгебрасы Cl(V, Q) сыртқы алгебраның V-ге Q-ға тәуелді көбейтумен байытылуы (немесе нақтырақ, квантталуы, қараңыз кіріспе) болып қарастырылады (сыртқы көбейтіндіні Q-дан тәуелсіз түрде анықтауға болады). Изоморфизмді орнатудың ең оңай жолы – V үшін ортогональды базаны {e1, ..., en} таңдап, оны жоғарыда сипатталғандай Cl(V, Q) үшін базаға кеңейту. 1=Cl(V, Q) → ⋀V картасы арқылы анықталады. Бұл база {e1, ..., en} ортогональ болса ғана жұмыс істейтінін ескеріңіз. Бұл картаның ортогональды базаны таңдауға тәуелсіз екенін және сондықтан табиғи изоморфизм беретінін көрсетуге болады. Егер K-ның сипаттамасы 0 болса, антисимметриялау арқылы да изоморфизмді орнатуға болады. 1=fk функцияларын V × ... × V → Cl(V, Q) ретінде анықтаңыз, мұнда қосынды k элементтеріндегі симметриялық топ бойынша Sk алынады. fk кезектесетін болғандықтан, ол бірегей сызықтық картаны ⋀^(k) V → Cl(V, Q) тудырады. Бұл карталардың тікелей қосындысы ⋀V және Cl(V, Q) арасындағы сызықтық картаны береді. Бұл карта сызықтық изоморфизм екенін көрсетуге болады және ол табиғи. Қатынасты қарастырудың тағы бір жолы – Cl(V, Q) бойынша сүзгілеуді құру. Тензорлық алгебра T(V) табиғи сүзгілеуге ие екенін еске түсірейік: 1=F^(0) ⊂ F^(1) ⊂ F^(2) ⊂ ..., мұнда F^(k) ≤ k реттік тензорлардың қосындыларын қамтиды. Бұл сүзгілеуді Клиффорд алгебрасына проекциялау Cl(V, Q) бойынша сүзгілеуді береді. Қатысқан дәрежелі алгебра
Note that this only works if the basis {e1, , en} is orthogonal. One can show that this map is independent of the choice of orthogonal basis and so gives a natural isomorphism. If the characteristic of K is 0, one can also establish the isomorphism by antisymmetrizing. Define functions 1=fk : V × ⋯ × V → Cl(V, Q) by
where the sum is taken over the symmetric group on k elements, Sk. Since fk is alternating, it induces a unique linear map 1=⋀^(k) V → Cl(V, Q). The direct sum of these maps gives a linear map between ⋀V and Cl(V, Q). This map can be shown to be a linear isomorphism, and it is natural. A more sophisticated way to view the relationship is to construct a filtration on Cl(V, Q). Recall that the tensor algebra T(V) has a natural filtration: 1=F^(0) ⊂ F^(1) ⊂ F^(2) ⊂ ⋯, where F^(k) contains sums of tensors with order ≤ k. Projecting this down to the Clifford algebra gives a filtration on Cl(V, Q). The associated graded algebra
is naturally isomorphic to the exterior algebra ⋀V. Since the associated graded algebra of a filtered algebra is always isomorphic to the filtered algebra as filtered vector spaces (by choosing complements of F^(k) in F^(k+1) for all k), this provides an isomorphism (although not a natural one) in any characteristic, even two.
табиғи түрде сыртқы алгебраға ⋀V изоморфты. Сүзгіленген алгебраның қатысқан дәрежелі алгебрасы сүзгіленген алгебраға әрқашан фильтрленген векторлық кеңістіктер ретінде изоморфты болғандықтан (барлық k үшін F^(k) толықтыруларын F^(k+1) ішінде таңдап), бұл кез келген сипаттамаларда, тіпті екіде де изоморфизмді (табиғи болмаса да) қамтамасыз етеді.
Note that this only works if the basis {e1, , en} is orthogonal. One can show that this map is independent of the choice of orthogonal basis and so gives a natural isomorphism. If the characteristic of K is 0, one can also establish the isomorphism by antisymmetrizing. Define functions 1=fk : V × ⋯ × V → Cl(V, Q) by
where the sum is taken over the symmetric group on k elements, Sk. Since fk is alternating, it induces a unique linear map 1=⋀^(k) V → Cl(V, Q). The direct sum of these maps gives a linear map between ⋀V and Cl(V, Q). This map can be shown to be a linear isomorphism, and it is natural. A more sophisticated way to view the relationship is to construct a filtration on Cl(V, Q). Recall that the tensor algebra T(V) has a natural filtration: 1=F^(0) ⊂ F^(1) ⊂ F^(2) ⊂ ⋯, where F^(k) contains sums of tensors with order ≤ k. Projecting this down to the Clifford algebra gives a filtration on Cl(V, Q). The associated graded algebra
is naturally isomorphic to the exterior algebra ⋀V. Since the associated graded algebra of a filtered algebra is always isomorphic to the filtered algebra as filtered vector spaces (by choosing complements of F^(k) in F^(k+1) for all k), this provides an isomorphism (although not a natural one) in any characteristic, even two.
Клиффорд алгебрасының құрылымы
Бұл бөлімде сипаттама 2-ге тең емес деп есептейміз, V векторлық кеңістік шекті өлшемді және Q-ның байланысты симметриялық билинейрлік формасы дегенерацияланбаған. K-ге қатысты орталық қарапайым алгебра – ортасы K болатын (шекті өлшемді) бөліну алгебрасы үстіндегі матрицалық алгебра. Мысалы, нақты сандарға қатысты орталық қарапайым алгебралар нақты сандарға немесе кватерниондарға қатысты матрицалық алгебралар болып табылады. Егер V-нің өлшемі жұп болса, онда Cl(V, Q) K-ге қатысты орталық қарапайым алгебра болады. Егер V-нің өлшемі жұп болса, онда жұп субалгебра K-нің квадраттық кеңейтуі үстіндегі орталық қарапайым алгебра немесе K-ге қатысты екі изоморфтық орталық қарапайым алгебраның қосындысы болады. Егер V-нің өлшемі тақ болса, онда Cl(V, Q) K-нің квадраттық кеңейтуі үстіндегі орталық қарапайым алгебра немесе K-ге қатысты екі изоморфтық орталық қарапайым алгебраның қосындысы болады. Егер V-нің өлшемі тақ болса, онда жұп субалгебра K-ге қатысты орталық қарапайым алгебра болады. Клиффорд алгебраларының құрылымын келесі нәтиже арқылы нақты түрде анықтауға болады. U-дың өлшемі жұп болсын және дискриминанты d болатын біртұтас емес билинейрлік формасы болсын, сондай-ақ V – квадраттық формасы бар басқа векторлық кеңістік болсын. U + V-ның Клиффорд алгебрасы U және (−1)^(dim(U)/2)dV Клиффорд алгебраларының тензорлық көбейтіндісіне изоморфты, мұндағы dV – V кеңістігі, оның квадраттық формасы (−1)^(dim(U)/2)d-ге көбейтілген. Нақты сандар бойынша бұл, атап айтқанда, мынаны білдіреді:
If V has even dimension then the even subalgebra is a central simple algebra over a quadratic extension of K or a sum of two isomorphic central simple algebras over K.
If V has odd dimension then Cl(V, Q) is a central simple algebra over a quadratic extension of K or a sum of two isomorphic central simple algebras over K.
If V has odd dimension then the even subalgebra is a central simple algebra over K.
The structure of Clifford algebras can be worked out explicitly using the following result. Suppose that U has even dimension and a non singular bilinear form with discriminant d, and suppose that V is another vector space with a quadratic form. The Clifford algebra of U + V is isomorphic to the tensor product of the Clifford algebras of U and (−1)^(dim(U)/2)dV, which is the space V with its quadratic form multiplied by (−1)^(dim(U)/2)d. Over the reals, this implies in particular that
These formulas can be used to find the structure of all real Clifford algebras and all complex Clifford algebras; see the classification of Clifford algebras. Notably, the Morita equivalence class of a Clifford algebra (its representation theory: the equivalence class of the category of modules over it) depends only on the signature (p − q) mod 8. This is an algebraic form of Bott periodicity.
Бұл формулаларды барлық нақты Клиффорд алгебраларының және барлық кешенді Клиффорд алгебраларының құрылымын табу үшін қолдануға болады; Клиффорд алгебраларының жіктелуін қараңыз. Ерекше айта кетелік, Клиффорд алгебрасының Морита эквиваленттік класы (оның өкілдік теориясы: оның үстіндегі модульдер санатының эквиваленттік класы) тек (p − q) mod 8 қолтаңбасына ғана тәуелді. Бұл Ботт кезеңділігінің алгебралық түрі.
If V has even dimension then the even subalgebra is a central simple algebra over a quadratic extension of K or a sum of two isomorphic central simple algebras over K.
If V has odd dimension then Cl(V, Q) is a central simple algebra over a quadratic extension of K or a sum of two isomorphic central simple algebras over K.
If V has odd dimension then the even subalgebra is a central simple algebra over K.
The structure of Clifford algebras can be worked out explicitly using the following result. Suppose that U has even dimension and a non singular bilinear form with discriminant d, and suppose that V is another vector space with a quadratic form. The Clifford algebra of U + V is isomorphic to the tensor product of the Clifford algebras of U and (−1)^(dim(U)/2)dV, which is the space V with its quadratic form multiplied by (−1)^(dim(U)/2)d. Over the reals, this implies in particular that
These formulas can be used to find the structure of all real Clifford algebras and all complex Clifford algebras; see the classification of Clifford algebras. Notably, the Morita equivalence class of a Clifford algebra (its representation theory: the equivalence class of the category of modules over it) depends only on the signature (p − q) mod 8. This is an algebraic form of Bott periodicity.
Спин және шыналы топтар
Бұл бөлімде V шекті өлшемді және оның билинейлік пішіні сингуляр емес деп есептейміз. PinV(K) пин тобы – спинор нормасы 1-ге тең элементтердің Липшиц тобы Γ-ның кіші тобы, ал SpinV(K) спин тобы – PinV(K-дегі Диксон инварианты 0-ге тең элементтердің кіші тобы. Егер сипаттамасы 2-ге тең болмаса, бұл 1-детерминантты элементтер болады. Спин тобының, әдетте, пин тобында 2-индексі болады. Алдыңғы бөлімнен Липшиц тобының ортогоналды топқа гомоморфизмі бар екенін еске түсірейік. Арнайы ортогоналды топты Γ^(0) бейнесі деп анықтаймыз. Егер K-ның сипаттамасы 2-ге тең болмаса, онда бұл 1-детерминантты ортогоналды топтың элементтерінің тобы ғана. Егер K-ның сипаттамасы 2-ге тең болса, онда ортогоналды топтың барлық элементтерінің детерминанты 1-ге тең болады, ал арнайы ортогоналды топ – Диксон инварианты 0-ге тең элементтердің жиыны. Пин тобынан ортогоналды топқа гомоморфизм бар. Бейне спинор нормасының элементтерінен тұрады. Ядро +1 және -1 элементтерінен тұрады және K-ның сипаттамасы 2-ге тең болмаса, 2-ретті болады. Сол сияқты, Spin тобынан V-тың арнайы ортогоналды тобына гомоморфизм бар.
Жалпы жағдайда, егер V нақты сандар үстіндегі оң немесе теріс анықталған кеңістік болса, спин тобы арнайы ортогоналды топқа бейнеленеді және V-тың өлшемі кем дегенде 3-ке тең болғанда, жай ғана байланысқан болады. Бұдан әрі, осы гомоморфизмнің ядросы 1 және -1-ден тұрады. Сондықтан, бұл жағдайда спин тобы, Spin(n), SO(n)-ның екі еселі жабыны болады. Дегенмен, спин тобының жай байланысқандығы жалпы жағдайда дұрыс емес екенін ескеріңіз: егер V = R^(p,q) болса, және p және q екеуі де кем дегенде 2-ге тең болса, онда спин тобы жай ғана байланысқан емес. Бұл жағдайда Spinp,q алгебралық тобы, оның нақты бағаланған нүктелер тобы Spinp,q(R) жай ғана байланысқан болмаса да, алгебралық топ ретінде байланысқан болады. Бұл өте нәзік мәселе, ол спин топтары туралы кем дегенде бір стандартты кітаптың авторларын толығымен шатастырды.
Спиннерлер
Клиффорд алгебралары, 1=p + q = 2n жұп болғанда, 2^(n) өлшеміндегі күрделі бейнелеуі бар матрицалық алгебралар болып табылады. Pinp,q('R') тобына шектелу арқылы, бірдей өлшемдегі Pin тобының күрделі бейнелеуін, спиндік бейнелеу деп атаймыз. Егер оны спин тобымен шектейтін болсақ Spinp,q('R'), онда ол 2^(n-1) өлшемді екі жарты спиндік (немесе Вейль) бейнелеулердің қосындысы ретінде бөлінеді. Егер 1=p + q = 2n + 1 тақ болса, Клиффорд алгебрасы екі матрицалық алгебраның қосындысы болады, олардың әрқайсысы 2^(n) өлшемді бейнелеуге ие, және бұл екеуі де Pinp,q('R') тірек тобының бейнелеулері болып табылады. Спин тобына шектелу кезінде Spinp,q('R') олар изоморфты болады, сондықтан спин тобы 2^(n) өлшемді күрделі спинорлық бейнелеуге ие. Кез келген өрістегі спинорлық және шпиндек топтардың ұқсас бейнелеулері бар, олардың нақты құрылымы сәйкес Клиффорд алгебраларының құрылымына байланысты: егер Клиффорд алгебрасының факторы кейбір бөліну алгебрасының үстіндегі матрицалық алгебра болса, онда біз осы бөліну алгебрасының үстіндегі шпиндек және спиндек топтардың сәйкес бейнелеуін аламыз. Нақты сандардағы мысалдар үшін спинорлар туралы мақаланы қараңыз.
Нағыз спинерлер
Шынайы спинді сипаттау үшін спин тобының Клиффорд алгебрасының ішінде қалай орналасқанын білу керек. Pinp,q – бұл бірлік векторлардың көбейтіндісі түрінде жазылатын инверттендік элементтер жиыны:
Comparing with the above concrete realizations of the Clifford algebras, the pin group corresponds to the products of arbitrarily many reflections: it is a cover of the full orthogonal group O(p, q). The spin group consists of those elements of Pinp,q that are products of an even number of unit vectors. Thus by the Cartan–Dieudonné theorem Spin is a cover of the group of proper rotations SO(p, q). Let α : Cl → Cl be the automorphism that is given by the mapping v ↦ −v acting on pure vectors. Then in particular, Spinp,q is the subgroup of Pinp,q whose elements are fixed by α. Let
(These are precisely the elements of even degree in .) Then the spin group lies within
The irreducible representations of restrict to give representations of the pin group. Conversely, since the pin group is generated by unit vectors, all of its irreducible representation are induced in this manner. Thus the two representations coincide. For the same reasons, the irreducible representations of the spin coincide with the irreducible representations of
To classify the pin representations, one need only appeal to the classification of Clifford algebras. To find the spin representations (which are representations of the even subalgebra), one can first make use of either of the isomorphisms (see above)
and realize a spin representation in signature (p, q) as a pin representation in either signature (p, q − 1) or (q, p − 1).
Клиффорд алгебрасының жоғарыдағы нақты іске асырылуымен салыстырғанда, pin тобы кез келген көптеген көрістің көбейтінділеріне сәйкес келеді: ол толық ортогональды топтың O(p, q) қаптамасы болып табылады. Спин тобы Pinp,q элементтерінен тұрады, олар бірлік векторлардың жұп санының көбейтіндісі болып табылады. Осылайша, Картан–Диодонне теоремасы бойынша Spin – SO(p, q) меншікті айналымдар тобының қаптамасы. α : Cl → Cl автоморфизмін қарастырайық, ол таза векторларға v ↦ −v бейнелеуі арқылы берілген. Онда Spinp,q – Pinp,q кіші тобы болып табылады, оның элементтері α арқылы бекітіледі. Атап айтқанда,
Comparing with the above concrete realizations of the Clifford algebras, the pin group corresponds to the products of arbitrarily many reflections: it is a cover of the full orthogonal group O(p, q). The spin group consists of those elements of Pinp,q that are products of an even number of unit vectors. Thus by the Cartan–Dieudonné theorem Spin is a cover of the group of proper rotations SO(p, q). Let α : Cl → Cl be the automorphism that is given by the mapping v ↦ −v acting on pure vectors. Then in particular, Spinp,q is the subgroup of Pinp,q whose elements are fixed by α. Let
(These are precisely the elements of even degree in .) Then the spin group lies within
The irreducible representations of restrict to give representations of the pin group. Conversely, since the pin group is generated by unit vectors, all of its irreducible representation are induced in this manner. Thus the two representations coincide. For the same reasons, the irreducible representations of the spin coincide with the irreducible representations of
To classify the pin representations, one need only appeal to the classification of Clifford algebras. To find the spin representations (which are representations of the even subalgebra), one can first make use of either of the isomorphisms (see above)
and realize a spin representation in signature (p, q) as a pin representation in either signature (p, q − 1) or (q, p − 1).
(Бұл – . элементтерінің жұп дәрежелі элементтері.) Одан кейін спин тобы ішінде жатыр. -нің азайтылмайтын бейнелеулері pin тобының бейнелеулерін беру үшін шектеледі. Керісінше, pin тобы бірлік векторлармен туындағандықтан, оның барлық азайтылмайтын бейнелеулері осылайша индукцияланады. Осылайша, екі бейнелеу де сәйкес келеді. Сол себепті, спиннің азайтылмайтын бейнелеулері -нің азайтылмайтын бейнелеулерімен сәйкес келеді. Pin бейнелеулерін жіктеу үшін Клиффорд алгебраларының жіктелуіне жүгіну жеткілікті. Спин бейнелеулерін табу үшін (бұл жұп субальгебраның бейнелеулері), алдымен изоморфизмдердің бірін (жоғарыда қараңыз) пайдаланып, (p, q) қолтаңбасындағы спин бейнелеуін (p, q − 1) немесе (q, p − 1) қолтаңбасындағы pin бейнелеуі ретінде іске асыруға болады.
Comparing with the above concrete realizations of the Clifford algebras, the pin group corresponds to the products of arbitrarily many reflections: it is a cover of the full orthogonal group O(p, q). The spin group consists of those elements of Pinp,q that are products of an even number of unit vectors. Thus by the Cartan–Dieudonné theorem Spin is a cover of the group of proper rotations SO(p, q). Let α : Cl → Cl be the automorphism that is given by the mapping v ↦ −v acting on pure vectors. Then in particular, Spinp,q is the subgroup of Pinp,q whose elements are fixed by α. Let
(These are precisely the elements of even degree in .) Then the spin group lies within
The irreducible representations of restrict to give representations of the pin group. Conversely, since the pin group is generated by unit vectors, all of its irreducible representation are induced in this manner. Thus the two representations coincide. For the same reasons, the irreducible representations of the spin coincide with the irreducible representations of
To classify the pin representations, one need only appeal to the classification of Clifford algebras. To find the spin representations (which are representations of the even subalgebra), one can first make use of either of the isomorphisms (see above)
and realize a spin representation in signature (p, q) as a pin representation in either signature (p, q − 1) or (q, p − 1).
Дифференциалдық геометрия
Сыртқы алгебраның маңызды қолданыстарының бірі – дифференциалдық геометрияда, онда ол тегіс көпқырлыдағы дифференциалдық формалар жиынын анықтау үшін қолданылады. (Псевдо)Риманн көпқырлысының жағдайында, жанама кеңістіктер метрика арқылы шақырылған табиғи квадраттық формамен жабдықталады. Осылайша, сыртқы жиынмен салыстыра, Клиффорд жиынын анықтауға болады. Бұл Риманн геометриясында көптеген маңызды қолданыстарға ие. Әлдеқайда маңыздысы – спиндік көпқырлымен, оның спинорлық жиынымен және спин^(c) көпқырлысымен байланысы.
Физика
Клиффорд алгебралары физикада көптеген маңызды қолданыстарға ие. Физиктер Клиффорд алгебрасын γ0, γ1, γ2, γ3 матрицалары арқылы құрылған негізге ие алгебра деп қарастырады, бұл матрицалар Дирак матрицалары деп аталады және мына қасиетке ие:
мұнда η – (1, 3) (немесе (3, 1) екі эквивалентті метрикалық қолтаңба таңдауына сәйкес) қолтаңбасы бар квадраттық форманың матрицасы. Бұл Клиффорд алгебрасы Cl3,0(ℝ) үшін анықтамалық қатынастар, оның кешенділендірілуі Cl3,0(ℂ), Клиффорд алгебраларының жіктелуі бойынша 4 × 4 кешенді матрицалар алгебрасына изоморфты. Дегенмен, Cl3,0(ℝ) белгісін сақтаған дұрыс, өйткені билинейлік пішінді канондық пішінге айналдыратын кез келген түрлендіру негізгі кеңістік-уақыттың Лоренц түрлендіруі емес. Сондықтан физикада қолданылатын кеңістік-уақыттың Клиффорд алгебрасы Cl4(ℝ) Cl4(ℂ)-дан көбірек құрылымға ие. Оған қоса, ол Лоренц түрлендірулерінен артықшылықты түрлендірулер жиынтығына ие. Кешенділендірудің қажеттілігі қолданылатын конвенцияларға және тікелей енгізуге деген ұмтылыс деңгейіне байланысты, бірақ кванттық механикада кешенділендіру көбінесе қажет, себебі Клиффорд алгебрасының ішінде орналасқан Lie алгебрасы so(1, 3)-тің спиндік өкілдігіне кешенді Клиффорд алгебрасы қажет. Анықтама үшін спиндік Lie алгебрасы мына түрде берілген:
Бұл (3, 1) конвенциясында, демек, Дирак матрицаларына сәйкес келеді. Дирак матрицаларын алғаш рет Пол Дирак электрон үшін релятивистік бірінші реттік толқын теңдеуін құруға тырысқанда жазған, және ол Клиффорд алгебрасынан кешенді матрицалар алгебрасына нақты изоморфизмді көрсеткен. Осы нәтиже Дирак теңдеуін анықтауға және Дирак операторын енгізуге пайдаланылды. Клиффорд алгебрасының толығымен кванттық өріс теориясында Дирак өрісінің билинейрлік формасында көрінеді. Кванттық теорияны сипаттау үшін Клиффорд алгебрасын қолдануды Марио Шёнберг, Дэвид Хестенес геометриялық есептеу тұрғысынан, Дэвид Бом және Базил Хайли және олардың әріптестері Клиффорд алгебраларының иерархиясы түрінде, сондай-ақ Элио Конте және басқалар қолдаған.
The Dirac matrices were first written down by Paul Dirac when he was trying to write a relativistic first order wave equation for the electron, and give an explicit isomorphism from the Clifford algebra to the algebra of complex matrices. The result was used to define the Dirac equation and introduce the Dirac operator. The entire Clifford algebra shows up in quantum field theory in the form of Dirac field bilinears. The use of Clifford algebras to describe quantum theory has been advanced among others by Mario Schönberg, by David Hestenes in terms of geometric calculus, by David Bohm and Basil Hiley and co workers in form of a hierarchy of Clifford algebras, and by Elio Conte et al.
Компьютерлік көру
Клиффорд алгебралары компьютерлік көрудегі іс-әрекетті тану және жіктеу мәселесінде қолданылған. Родригес және авторлар дәстүрлі MACH сүзгілерін бейнеге (үшөлшемді кеңістіктік көлемге) және оптикалық ағын сияқты векторлық деректерге жалпылау үшін Клиффорд енгізуін ұсынады. Векторлық деректер Клиффорд Фурье түрлендіруі арқылы талданады. Осы векторлар негізінде қимыл сүзгілері Клиффорд Фурье доменінде синтезделеді және қимылдарды тану Клиффорд корреляциясы көмегімен жүзеге асырылады. Авторлар Клиффорд енгізуінің тиімділігін классикалық көркем фильмдерде және спорттық телеарналарда кездесетін іс-әрекеттерді тану арқылы көрсетеді.
Жалпылау
Бұл мақала өріс үстіндегі векторлық кеңістіктің Клиффорд алгебрасына назар аударса да, анықтамасы кез келген унитальді, ассоциативтік, коммутативтік сақина үстіндегі модульге де өзгеріссіз қолданылады. Клиффорд алгебралары векторлық кеңістікте квадраттықтан артық дәрежелі формаларға да жалпылауға болады.