Введение
Алгебра, основанная на векторном пространстве с квадратичной формой, – ортогональная алгебра Клиффорда.
the orthogonal Clifford algebra
В математике алгебра Клиффорда – это алгебра, порожденная векторным пространством с квадратичной формой, являющаяся унитальной ассоциативной алгеброй с дополнительной структурой выделенного подпространства. Как K-алгебры, они обобщают действительные числа, комплексные числа, кватернионы и ряд других гиперкомплексных систем чисел. Теория алгебр Клиффорда тесно связана с теорией квадратичных форм и ортогональных преобразований. Алгебры Клиффорда имеют важные применения в различных областях, включая геометрию, теоретическую физику и цифровую обработку изображений. Они названы в честь английского математика Уильяма Кингдона Клиффорда (1845–1879). Наиболее известные алгебры Клиффорда, ортогональные алгебры Клиффорда, также называются (псевдо)римановыми алгебрами Клиффорда, в отличие от симплектических алгебр Клиффорда.
Как квантование внешней алгебры
Алгебры Клиффорда тесно связаны с внешними алгебрами. Действительно, если Q = 0, то алгебра Клиффорда Cl(V, Q) является просто внешней алгеброй ⋀V. Всякий раз, когда 2 обратимо в базовом поле K, существует канонический линейный изоморфизм между ⋀V и Cl(V, Q). То есть, они естественно изоморфны как векторные пространства, но с разными умножениями (в случае поля характеристики два, они по-прежнему изоморфны как векторные пространства, но не естественным образом). Умножение Клиффорда вместе с выделенным подпространством существенно богаче, чем внешнее произведение, поскольку оно использует дополнительную информацию, задаваемую Q. Алгебра Клиффорда является фильтрованной алгеброй; ассоциированная градуированная алгебра является внешней алгеброй. Более точно, алгебры Клиффорда можно рассматривать как квантования (ср. квантовую группу) внешней алгебры, подобно тому, как алгебра Вейля является квантованием симметричной алгебры. Алгебры Вейля и алгебры Клиффорда допускают дополнительную структуру * -алгебры и могут быть объединены как чётные и нечётные члены супералгебры, как обсуждается в алгебрах CCR и CAR.
Примеры: реальные и сложные алгебры Клиффорда
Наиболее важными алгебрами Клиффорда являются те, которые определены над вещественными и комплексными векторными пространствами, снабженными вырожденными квадратичными формами. Каждая из алгебр и изоморфна A или A ⊕ A, где A — полное кольцо матриц с элементами из R, C или H. Полную классификацию этих алгебр можно найти в статье «Классификация алгебр Клиффорда».
Примеры: в небольших размерах
Пусть K — любое поле характеристики, не равной 2.
Размер 1
Для 1=dim V = 1, если Q имеет диагонализацию diag(a), то есть существует ненулевой вектор x такой, что 1=Q(x) = a, то Cl(V, Q) является алгеброй, изоморфной K-алгебре, порожденной элементом x, удовлетворяющим 1=x² = a, – квадратичной алгебре K[X] / (X² − a). В частности, если 1=a = 0 (то есть Q является нулевой квадратичной формой), то Cl(V, Q) изоморфна алгебре двойных чисел над K. Если a является ненулевым квадратом в K, то Cl(V, Q) ≃ K ⊕ K. В противном случае Cl(V, Q) изоморфна квадратичному расширению поля K.
If a is a non zero square in K, then Cl(V, Q) ≃ K ⊕ K.
Otherwise, Cl(V, Q) is isomorphic to the quadratic field extension of K.
Размер 2
Для dim V = 2, если Q имеет диагонализацию diag(a, b) с ненулевыми a и b (которые всегда существуют, если Q невырожден), то Cl(V, Q) изоморфна K-алгебре, порожденной элементами x и y, удовлетворяющими x² = a, y² = b и xy = −yx. Таким образом, Cl(V, Q) изоморфна (обобщенной) кватернионной алгебре (a, b) над K. Мы получаем кватернионы Гамильтона, когда a = b = −1, поскольку H = (−1, −1) над R. В качестве частного случая, если для некоторого x из V выполняется Q(x) = 1, то Cl(V, Q) ≃ M₂(K).
Отношение к внешней алгебре
При заданном векторном пространстве V можно построить внешнюю алгебру ⋀V, определение которой не зависит от какой-либо квадратичной формы на V. Оказывается, что если поле K не имеет характеристики 2, то существует естественный изоморфизм между ⋀V и Cl(V, Q), рассматриваемыми как векторные пространства (и существует изоморфизм в характеристике два, который может быть не естественным). Это изоморфизм алгебр тогда и только тогда, когда Q = 0. Таким образом, алгебру Клиффорда Cl(V, Q) можно рассматривать как обогащение (или, точнее, квантование, см. Введение) внешней алгебры на V с умножением, зависящим от Q (внешнее произведение все равно можно определить независимо от Q). Самый простой способ установить изоморфизм — выбрать ортогональный базис {e₁, …, eₙ} для V и расширить его до базиса для Cl(V, Q), как описано выше. Отображение Cl(V, Q) → ⋀V определяется тем, что это работает только в том случае, если базис {e₁, …, eₙ} является ортогональным. Можно показать, что это отображение не зависит от выбора ортогонального базиса и, следовательно, дает естественный изоморфизм. Если характеристика поля K равна 0, то изоморфизм можно установить также посредством антисимметризации. Определим функции fₖ : V × … × V → Cl(V, Q) как
Note that this only works if the basis {e1, , en} is orthogonal. One can show that this map is independent of the choice of orthogonal basis and so gives a natural isomorphism. If the characteristic of K is 0, one can also establish the isomorphism by antisymmetrizing. Define functions 1=fk : V × ⋯ × V → Cl(V, Q) by
where the sum is taken over the symmetric group on k elements, Sk. Since fk is alternating, it induces a unique linear map 1=⋀^(k) V → Cl(V, Q). The direct sum of these maps gives a linear map between ⋀V and Cl(V, Q). This map can be shown to be a linear isomorphism, and it is natural. A more sophisticated way to view the relationship is to construct a filtration on Cl(V, Q). Recall that the tensor algebra T(V) has a natural filtration: 1=F^(0) ⊂ F^(1) ⊂ F^(2) ⊂ ⋯, where F^(k) contains sums of tensors with order ≤ k. Projecting this down to the Clifford algebra gives a filtration on Cl(V, Q). The associated graded algebra
is naturally isomorphic to the exterior algebra ⋀V. Since the associated graded algebra of a filtered algebra is always isomorphic to the filtered algebra as filtered vector spaces (by choosing complements of F^(k) in F^(k+1) for all k), this provides an isomorphism (although not a natural one) in any characteristic, even two.
где суммирование ведется по симметрической группе на k элементах, Sₖ. Поскольку fₖ является антисимметричной, она индуцирует единственное линейное отображение ⋀ᵏV → Cl(V, Q). Прямая сумма этих отображений дает линейное отображение между ⋀V и Cl(V, Q). Можно показать, что это отображение является линейным изоморфизмом и является естественным. Более сложный способ рассмотрения этой связи — построить фильтрацию на Cl(V, Q). Напомним, что тензорная алгебра T(V) имеет естественную фильтрацию: F⁰ ⊂ F¹ ⊂ F² ⊂ …, где Fᵏ содержит суммы тензоров ранга ≤ k. Проецируя это на алгебру Клиффорда, получаем фильтрацию на Cl(V, Q). Ассоциированная алгебра градуировок
Note that this only works if the basis {e1, , en} is orthogonal. One can show that this map is independent of the choice of orthogonal basis and so gives a natural isomorphism. If the characteristic of K is 0, one can also establish the isomorphism by antisymmetrizing. Define functions 1=fk : V × ⋯ × V → Cl(V, Q) by
where the sum is taken over the symmetric group on k elements, Sk. Since fk is alternating, it induces a unique linear map 1=⋀^(k) V → Cl(V, Q). The direct sum of these maps gives a linear map between ⋀V and Cl(V, Q). This map can be shown to be a linear isomorphism, and it is natural. A more sophisticated way to view the relationship is to construct a filtration on Cl(V, Q). Recall that the tensor algebra T(V) has a natural filtration: 1=F^(0) ⊂ F^(1) ⊂ F^(2) ⊂ ⋯, where F^(k) contains sums of tensors with order ≤ k. Projecting this down to the Clifford algebra gives a filtration on Cl(V, Q). The associated graded algebra
is naturally isomorphic to the exterior algebra ⋀V. Since the associated graded algebra of a filtered algebra is always isomorphic to the filtered algebra as filtered vector spaces (by choosing complements of F^(k) in F^(k+1) for all k), this provides an isomorphism (although not a natural one) in any characteristic, even two.
естественно изоморфна внешней алгебре ⋀V. Поскольку ассоциированная алгебра градуировок фильтрованной алгебры всегда изоморфна фильтрованной алгебре как фильтрованным векторным пространствам (путем выбора дополнений к Fᵏ в Fᵏ⁺¹ для всех k), это обеспечивает изоморфизм (хотя и не естественный) в любой характеристике, в том числе и в характеристике два.
Note that this only works if the basis {e1, , en} is orthogonal. One can show that this map is independent of the choice of orthogonal basis and so gives a natural isomorphism. If the characteristic of K is 0, one can also establish the isomorphism by antisymmetrizing. Define functions 1=fk : V × ⋯ × V → Cl(V, Q) by
where the sum is taken over the symmetric group on k elements, Sk. Since fk is alternating, it induces a unique linear map 1=⋀^(k) V → Cl(V, Q). The direct sum of these maps gives a linear map between ⋀V and Cl(V, Q). This map can be shown to be a linear isomorphism, and it is natural. A more sophisticated way to view the relationship is to construct a filtration on Cl(V, Q). Recall that the tensor algebra T(V) has a natural filtration: 1=F^(0) ⊂ F^(1) ⊂ F^(2) ⊂ ⋯, where F^(k) contains sums of tensors with order ≤ k. Projecting this down to the Clifford algebra gives a filtration on Cl(V, Q). The associated graded algebra
is naturally isomorphic to the exterior algebra ⋀V. Since the associated graded algebra of a filtered algebra is always isomorphic to the filtered algebra as filtered vector spaces (by choosing complements of F^(k) in F^(k+1) for all k), this provides an isomorphism (although not a natural one) in any characteristic, even two.
Структура алгебры Клиффорда
В этом разделе мы предполагаем, что характеристика не равна 2, векторное пространство V конечномерно и что связанная симметричная двулинейная форма Q является невырожденной. Центральная простая алгебра над K – это матричная алгебра над (конечномерной) алгеброй делений с центром K. Например, центральные простые алгебры над действительными числами являются матричными алгебрами над действительными числами или кватернионами. Если V имеет четную размерность, то Cl(V, Q) является центральной простой алгеброй над K. Если V имеет четную размерность, то четная субальгебра является центральной простой алгеброй над квадратичным расширением K или суммой двух изоморфных центральных простых алгебр над K. Если V имеет нечетную размерность, то Cl(V, Q) является центральной простой алгеброй над квадратичным расширением K или суммой двух изоморфных центральных простых алгебр над K. Если V имеет нечетную размерность, то четная субальгебра является центральной простой алгеброй над K. Структура алгебр Клиффорда может быть вычислена явно с использованием следующего результата. Пусть U имеет четную размерность и невырожденную двулинейную форму с дискриминантом d, и пусть V – другое векторное пространство с квадратичной формой. Тогда алгебра Клиффорда U + V изоморфна тензорному произведению алгебр Клиффорда U и (−1)^(dim(U)/2)dV, которое представляет собой пространство V с его квадратичной формой, умноженной на (−1)^(dim(U)/2)d. В частности, над действительными числами это означает, что
If V has even dimension then the even subalgebra is a central simple algebra over a quadratic extension of K or a sum of two isomorphic central simple algebras over K.
If V has odd dimension then Cl(V, Q) is a central simple algebra over a quadratic extension of K or a sum of two isomorphic central simple algebras over K.
If V has odd dimension then the even subalgebra is a central simple algebra over K.
The structure of Clifford algebras can be worked out explicitly using the following result. Suppose that U has even dimension and a non singular bilinear form with discriminant d, and suppose that V is another vector space with a quadratic form. The Clifford algebra of U + V is isomorphic to the tensor product of the Clifford algebras of U and (−1)^(dim(U)/2)dV, which is the space V with its quadratic form multiplied by (−1)^(dim(U)/2)d. Over the reals, this implies in particular that
These formulas can be used to find the structure of all real Clifford algebras and all complex Clifford algebras; see the classification of Clifford algebras. Notably, the Morita equivalence class of a Clifford algebra (its representation theory: the equivalence class of the category of modules over it) depends only on the signature (p − q) mod 8. This is an algebraic form of Bott periodicity.
Эти формулы могут быть использованы для определения структуры всех вещественных алгебр Клиффорда и всех комплексных алгебр Клиффорда; см. классификацию алгебр Клиффорда. Важно отметить, что класс эквивалентности Мориты алгебры Клиффорда (её теория представлений, то есть класс эквивалентности категории модулей над ней) зависит только от сигнатуры (p − q) по модулю 8. Это алгебраическая форма периодичности Ботта.
If V has even dimension then the even subalgebra is a central simple algebra over a quadratic extension of K or a sum of two isomorphic central simple algebras over K.
If V has odd dimension then Cl(V, Q) is a central simple algebra over a quadratic extension of K or a sum of two isomorphic central simple algebras over K.
If V has odd dimension then the even subalgebra is a central simple algebra over K.
The structure of Clifford algebras can be worked out explicitly using the following result. Suppose that U has even dimension and a non singular bilinear form with discriminant d, and suppose that V is another vector space with a quadratic form. The Clifford algebra of U + V is isomorphic to the tensor product of the Clifford algebras of U and (−1)^(dim(U)/2)dV, which is the space V with its quadratic form multiplied by (−1)^(dim(U)/2)d. Over the reals, this implies in particular that
These formulas can be used to find the structure of all real Clifford algebras and all complex Clifford algebras; see the classification of Clifford algebras. Notably, the Morita equivalence class of a Clifford algebra (its representation theory: the equivalence class of the category of modules over it) depends only on the signature (p − q) mod 8. This is an algebraic form of Bott periodicity.
Спин и пин группы
В этом разделе мы предполагаем, что V конечномерно, а его билинейная форма невырождена. Группа пин PinV(K) является подгруппой группы Липшица Γ, состоящей из элементов спинорной нормы 1, и аналогично спиновая группа SpinV(K) является подгруппой PinV(K), состоящей из элементов инварианта Диксона 0. Когда характеристика не равна 2, это элементы детерминанта 1. Спиновая группа обычно имеет индекс 2 в группе пин. Вспомним из предыдущего раздела, что существует гомоморфизм из группы Липшица в ортогональную группу. Мы определяем специальную ортогональную группу как образ Γ^(0). Если K не имеет характеристику 2, то это просто группа элементов ортогональной группы с детерминантом 1. Если K имеет характеристику 2, то все элементы ортогональной группы имеют детерминант 1, а специальная ортогональная группа – это множество элементов инварианта Диксона 0. Существует гомоморфизм из группы пин в ортогональную группу. Его образ состоит из элементов спинорной нормы. Ядро состоит из элементов +1 и −1 и имеет порядок 2, если только характеристика K не равна 2. Аналогично, существует гомоморфизм из спиновой группы в специальную ортогональную группу V.
В общем случае, когда V – положительно или отрицательно определенное пространство над действительными числами, спиновая группа отображается на специальную ортогональную группу и является простосвязной, когда размерность V не меньше 3. Кроме того, ядро этого гомоморфизма состоит из 1 и −1. Таким образом, в этом случае спиновая группа Spin(n) является двойственным покрытием SO(n). Однако следует отметить, что простосвязность спиновой группы не всегда верна: если V = R^(p,q) для p и q, оба не меньше 2, то спиновая группа не является простосвязной. В этом случае алгебраическая группа Spinp,q является простосвязной как алгебраическая группа, хотя ее группа вещественнозначных точек Spinp,q(R) не является простосвязной. Это довольно тонкий момент, который полностью сбил с толку авторов по крайней мере одной стандартной книги о спиновых группах.
Спинеры
Алгебры Клиффорда, с 1 = p + q = 2n четным, являются матричными алгебрами, имеющими комплексное представление размерности 2^(n). Ограничивая рассмотрение группой Pinp,q('R'), мы получаем комплексное представление группы Pin той же размерности, называемое спиновым представлением. Если мы ограничим это спиновой группой Spinp,q('R'), то оно расщепляется как сумма двух полуспиновых (или представлений Вейля) представлений размерности 2^(n−1). Если 1 = p + q = 2n + 1 нечетно, то алгебра Клиффорда является суммой двух матричных алгебр, каждая из которых имеет представление размерности 2^(n), и эти представления также являются представлениями группы Pinp,q('R'). При ограничении спиновой группой Spinp,q('R') они становятся изоморфными, поэтому спиновая группа имеет комплексное спинорное представление размерности 2^(n). В более общем случае, спинорные и pin-группы над любым полем имеют подобные представления, точная структура которых зависит от структуры соответствующих алгебр Клиффорда: всякий раз, когда алгебра Клиффорда имеет фактор, являющийся матричной алгеброй над некоторой алгеброй с делением, мы получаем соответствующее представление групп pin и spin над этой алгеброй с делением. Примеры для действительных чисел см. в статье о спинорах.
Настоящие спинеры
Чтобы описать действительные спинорные представления, необходимо знать, как спиновая группа вложена в свою алгебру Клиффорда. Группа пин, Pin(p,q), – это множество обратимых элементов в алгебре Клиффорда, которые могут быть записаны в виде произведения единичных векторов:
В сравнении с вышеуказанными конкретными реализациями алгебр Клиффорда, группа пин соответствует произведениям произвольного числа отражений: она является накрытием полной ортогональной группы O(p, q). Спиновая группа состоит из тех элементов Pin(p,q), которые являются произведениями чётного числа единичных векторов. Таким образом, согласно теореме Картана — Диодонне, Spin является накрытием группы собственных вращений SO(p, q). Пусть α : Cl → Cl – это автоморфизм, заданный отображением v ↦ −v, действующим на чистые векторы. Тогда, в частности, Spin(p,q) является подгруппой Pin(p,q), элементы которой инвариантны относительно α. Пусть
(это элементы чётной степени в Cl(p,q)). Тогда спиновая группа лежит в пределах . Неприводимые представления Cl(p,q) ограничиваются до представлений группы пин. И наоборот, поскольку группа пин порождается единичными векторами, все её неприводимые представления индуцируются таким образом. Следовательно, эти два набора представлений совпадают. По тем же причинам, неприводимые представления спиновой группы совпадают с неприводимыми представлениями . Для классификации представлений пин достаточно обратиться к классификации алгебр Клиффорда. Чтобы найти спинорные представления (которые являются представлениями чётной субальгебры), можно сначала воспользоваться одним из изоморфизмов (см. выше)
The irreducible representations of restrict to give representations of the pin group. Conversely, since the pin group is generated by unit vectors, all of its irreducible representation are induced in this manner. Thus the two representations coincide. For the same reasons, the irreducible representations of the spin coincide with the irreducible representations of
To classify the pin representations, one need only appeal to the classification of Clifford algebras. To find the spin representations (which are representations of the even subalgebra), one can first make use of either of the isomorphisms (see above)
и реализовать спинорное представление в сигнатуре (p, q) как представление пин в сигнатуре (p, q − 1) или (q, p − 1).
Дифференциальная геометрия
Одно из основных применений внешней алгебры — в дифференциальной геометрии, где она используется для определения пучка дифференциальных форм на гладком многообразии. В случае (псевдо)риманова многообразия, касательные пространства снабжены естественной квадратичной формой, индуцированной метрикой. Таким образом, можно определить пучок Клиффорда по аналогии с пучком внешней алгебры. Это имеет ряд важных применений в римановой геометрии. Однако, возможно, более важной является связь со спиновым многообразием, его ассоциированным спинорным пучком и спиновыми^(c) многообразиями.
Физика
Алгебры Клиффорда имеют многочисленные важные применения в физике. Физики обычно рассматривают алгебру Клиффорда как алгебру, имеющую базис, порождаемый матрицами γ₀, γ₁, γ₂, γ₃, называемыми матрицами Дирака, которые обладают свойством, что где η — матрица квадратичной формы с сигнатурой (1, 3) (или (3, 1), соответствующей двум эквивалентным вариантам выбора метрической сигнатуры). Это как раз определяющие соотношения для алгебры Клиффорда Cl₁₃, комплексификация которой составляет Cl₁₃(ℂ), которая, согласно классификации алгебр Клиффорда, изоморфна алгебре 4 × 4 комплексных матриц. Однако лучше сохранять обозначение Cl₁₃, поскольку любое преобразование, приводящее двулинейную форму к каноническому виду, не является преобразованием Лоренца, действующим в пространстве-времени. Таким образом, алгебра Клиффорда пространства-времени, используемая в физике, имеет структуру богаче, чем Cl₄(ℂ). Она также включает в себя набор предпочтительных преобразований – преобразований Лоренца. Необходимость комплексификации в начале зависит отчасти от принятых соглашений и отчасти от того, насколько прямолинейно требуется включить определенные элементы, но комплексификация чаще всего необходима в квантовой механике, где спинорное представление алгебры Ли so(1, 3), содержащейся в алгебре Клиффорда, обычно требует комплексной алгебры Клиффорда. Для справки спинорная алгебра Ли задается выражением
where η is the matrix of a quadratic form of signature (1, 3) (or (3, 1) corresponding to the two equivalent choices of metric signature). These are exactly the defining relations for the Clifford algebra , whose complexification is , which, by the classification of Clifford algebras, is isomorphic to the algebra of 4 × 4 complex matrices However, it is best to retain the notation , since any transformation that takes the bilinear form to the canonical form is not a Lorentz transformation of the underlying spacetime. The Clifford algebra of spacetime used in physics thus has more structure than Cl4('C'). It has in addition a set of preferred transformations – Lorentz transformations. Whether complexification is necessary to begin with depends in part on conventions used and in part on how much one wants to incorporate straightforwardly, but complexification is most often necessary in quantum mechanics where the spin representation of the Lie algebra 'so'(1, 3) sitting inside the Clifford algebra conventionally requires a complex Clifford algebra. For reference, the spin Lie algebra is given by
This is in the (3, 1) convention, hence fits in
The Dirac matrices were first written down by Paul Dirac when he was trying to write a relativistic first order wave equation for the electron, and give an explicit isomorphism from the Clifford algebra to the algebra of complex matrices. The result was used to define the Dirac equation and introduce the Dirac operator. The entire Clifford algebra shows up in quantum field theory in the form of Dirac field bilinears. The use of Clifford algebras to describe quantum theory has been advanced among others by Mario Schönberg, by David Hestenes in terms of geometric calculus, by David Bohm and Basil Hiley and co workers in form of a hierarchy of Clifford algebras, and by Elio Conte et al.
Это в соглашении (3, 1), поэтому соответствует. Матрицы Дирака были впервые записаны Полем Дираком, когда он пытался получить релятивистское волновое уравнение первого порядка для электрона и установить явный изоморфизм между алгеброй Клиффорда и алгеброй комплексных матриц. Полученный результат был использован для определения уравнения Дирака и введения оператора Дирака. Вся алгебра Клиффорда проявляется в квантовой теории поля в виде билинейных форм поля Дирака. Использование алгебр Клиффорда для описания квантовой теории было развито, среди прочих, Марио Шёнбергом, Дэвидом Хестеном в терминах геометрического исчисления, Дэвидом Бомом и Базилом Хайли с соавторами в форме иерархии алгебр Клиффорда, а также Элио Конте и др.
where η is the matrix of a quadratic form of signature (1, 3) (or (3, 1) corresponding to the two equivalent choices of metric signature). These are exactly the defining relations for the Clifford algebra , whose complexification is , which, by the classification of Clifford algebras, is isomorphic to the algebra of 4 × 4 complex matrices However, it is best to retain the notation , since any transformation that takes the bilinear form to the canonical form is not a Lorentz transformation of the underlying spacetime. The Clifford algebra of spacetime used in physics thus has more structure than Cl4('C'). It has in addition a set of preferred transformations – Lorentz transformations. Whether complexification is necessary to begin with depends in part on conventions used and in part on how much one wants to incorporate straightforwardly, but complexification is most often necessary in quantum mechanics where the spin representation of the Lie algebra 'so'(1, 3) sitting inside the Clifford algebra conventionally requires a complex Clifford algebra. For reference, the spin Lie algebra is given by
This is in the (3, 1) convention, hence fits in
The Dirac matrices were first written down by Paul Dirac when he was trying to write a relativistic first order wave equation for the electron, and give an explicit isomorphism from the Clifford algebra to the algebra of complex matrices. The result was used to define the Dirac equation and introduce the Dirac operator. The entire Clifford algebra shows up in quantum field theory in the form of Dirac field bilinears. The use of Clifford algebras to describe quantum theory has been advanced among others by Mario Schönberg, by David Hestenes in terms of geometric calculus, by David Bohm and Basil Hiley and co workers in form of a hierarchy of Clifford algebras, and by Elio Conte et al.
Компьютерное зрение
Алгебры Клиффорда нашли применение в задаче распознавания и классификации действий в компьютерном зрении. Родригес и др. предлагают клиффордовское вложение для обобщения традиционных MACH-фильтров на видео (трехмерный пространственно-временной объем) и векторные данные, такие как оптический поток. Векторные данные анализируются с использованием клиффордовского преобразования Фурье. На основе этих векторов синтезируются фильтры действий в клиффордовском пространстве Фурье, а распознавание действий осуществляется с помощью клиффордовской корреляции. Авторы демонстрируют эффективность клиффордовского вложения, распознавая действия, типичные для классических художественных фильмов и спортивных телепередач.
Обобщения
Хотя в данной статье рассматривается клиффордова алгебра векторного пространства над полем, определение без изменений распространяется и на модуль над любым унитальным, ассоциативным, коммутативным кольцом. Клиффордовы алгебры могут быть обобщены на формы степени выше квадратичной над векторным пространством.