Кіріспе
Базель проблемасы – сандар теориясына қатысты математикалық талдаудағы мәселе, ол табиғи сандардың кері квадраттарының шексіз қосындысына байланысты. Оны алғаш рет 1650 жылы Пьетро Менголи қойды, ал 1734 жылы Леонард Эйлер шешті. 1735 жылғы 5 желтоқсанда Санкт-Петербург Ғылым академиясында оқылды. Бұл мәселе сол кездегі жетекші математиктердің күшін сынағандықтан, Эйлердің шешімі оған жиырма сегіз жасында бірден әйгілік әкелді. Эйлер мәселенің жалпылама түрін кеңейтті, ал оның идеяларын бір ғасырдан астам уақыттан кейін Бернхард Риман 1859 жылғы «Берілген шамадан кіші жай сандардың саны туралы» атты мақаласында пайдаланды. Онда ол өзінің дзета-функциясын анықтады және оның негізгі қасиеттерін дәлелдеді. Мәселе Базель қаласының атымен аталады, себебі Базель – Эйлердің де, Бернулли отбасының да туған жері, олар бұл мәселені шеше алмады. Базель проблемасы табиғи сандардың квадраттарының өзара сандарының нақты қосындысын, яғни шексіз қатардың нақты сомасын табуды сұрайды:
The Basel problem is a problem in mathematical analysis with relevance to number theory, concerning an infinite sum of inverse squares. It was first posed by Pietro Mengoli in 1650 and solved by Leonhard Euler in 1734, and read on 5 December 1735 in The Saint Petersburg Academy of Sciences. Since the problem had withstood the attacks of the leading mathematicians of the day, Euler's solution brought him immediate fame when he was twenty eight. Euler generalised the problem considerably, and his ideas were taken up more than a century later by Bernhard Riemann in his seminal 1859 paper "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude", in which he defined his zeta function and proved its basic properties. The problem is named after Basel, hometown of Euler as well as of the Bernoulli family who unsuccessfully attacked the problem. The Basel problem asks for the precise summation of the reciprocals of the squares of the natural numbers, i. e. the precise sum of the infinite series:
The sum of the series is approximately equal to 1.644934. The Basel problem asks for the exact sum of this series (in closed form), as well as a proof that this sum is correct. Euler found the exact sum to be and announced this discovery in 1735. His arguments were based on manipulations that were not justified at the time, although he was later proven correct. He produced an accepted proof in 1741. The solution to this problem can be used to estimate the probability that two large random numbers are coprime. Two random integers in the range from 1 to , in the limit as goes to infinity, are relatively prime with a probability that approaches , the reciprocal of the solution to the Basel problem.
Қатардың сомасы шамамен 1.644934-ке тең. Базель проблемасы осы қатардың нақты сомасын (жабық түрде) және осы соманың дұрыс екенін дәлелдеуді талап етеді. Эйлер осы соманың нақты мәнін тапты және 1735 жылы осы жайлы хабарлады. Оның аргументтері сол кезде негізделмеген манипуляцияларға құрылған, бірақ кейін ол дұрыс екені дәлелденді. Ол 1741 жылы қабылданған дәлел ұсынды. Бұл мәселенің шешімі екі үлкен кездейсоқ санның өзара жай болу ықтималдығын бағалау үшін қолданылуы мүмкін. 1 мен аралығындағы екі кездейсоқ бүтін сан, шексізке жақындағанда, Базель проблемасының шешіміне тең болатын , өзара жай сан болу ықтималдығына ие.
The Basel problem is a problem in mathematical analysis with relevance to number theory, concerning an infinite sum of inverse squares. It was first posed by Pietro Mengoli in 1650 and solved by Leonhard Euler in 1734, and read on 5 December 1735 in The Saint Petersburg Academy of Sciences. Since the problem had withstood the attacks of the leading mathematicians of the day, Euler's solution brought him immediate fame when he was twenty eight. Euler generalised the problem considerably, and his ideas were taken up more than a century later by Bernhard Riemann in his seminal 1859 paper "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude", in which he defined his zeta function and proved its basic properties. The problem is named after Basel, hometown of Euler as well as of the Bernoulli family who unsuccessfully attacked the problem. The Basel problem asks for the precise summation of the reciprocals of the squares of the natural numbers, i. e. the precise sum of the infinite series:
The sum of the series is approximately equal to 1.644934. The Basel problem asks for the exact sum of this series (in closed form), as well as a proof that this sum is correct. Euler found the exact sum to be and announced this discovery in 1735. His arguments were based on manipulations that were not justified at the time, although he was later proven correct. He produced an accepted proof in 1741. The solution to this problem can be used to estimate the probability that two large random numbers are coprime. Two random integers in the range from 1 to , in the limit as goes to infinity, are relatively prime with a probability that approaches , the reciprocal of the solution to the Basel problem.
Ойлер дәлелінің салдары
Жоғарыда келтірілген нәтижелерге сүйене отырып, біз оның әрқашан рационал санның еселігі екенін қорыта аламыз. Атап айтқанда, оның бүтін дәрежелері және оның бүтін күштері трансцендентті болғандықтан, осы сәтте барлық үшін иррационал және одан да нақтырақ трансцендентті екенін қорыта аламыз. Ал, тақ индекстелген зетта тұрақтыларының қасиеттері, Апери тұрақтысы сияқты, көбінесе толыққанды белгісіз болып қалады.
Коши дәлелі
Көптеген дәлелдемелер Фурье талдауы, комплекс сараптамасы және көп айнымалы есептеу сияқты жоғары математиканың нәтижелерін пайдаланса, төмендегісі тіпті бір айнымалы есептеуді қажет етпейді (соңында бір ғана лимит есептелуі керек). Қалдық теоремасын қолданатын дәлелдеме үшін мына жерді қараңыз.
Осы дәлелдеменің тарихы
Дәлел Августин Луи Кошиге (Cours d'Analyse, 1821, VIII жазба) дейін жетеді. 1954 жылы бұл дәлел Акива мен Исаак Ягломның "Элементар түсіндірудегі элементар емес есептер" кітабында жарияланды. Кейін, 1982 жылы ол "Еврика" журналында Джон Скоулз есімімен келді, бірақ Скоулз бұл дәлелді Питер Суиннертон-Дайерден білгенін мәлімдейді, және ол кез келген жағдайда бұл дәлелдің "1960 жылдардың соңында Кембриджде баршаға мәлім болғанын" айтады.
Басқа сәйкестендірулер
Риманның зетта функциясы үшін ерекше жағдайлардағы сәйкестіктерді қараңыз, егер төмендегі бөлімдерде осы тұрақтының тағы да ерекше сәйкестіктері мен түрленулері келтірілсе.