Введение
Базельская задача — задача математического анализа, имеющая отношение к теории чисел, касающаяся бесконечной суммы обратных квадратов натуральных чисел. Впервые она была поставлена Пьетро Менголи в 1650 году и решена Леонардом Эйлером в 1734 году, а 5 декабря 1735 года была представлена в Санкт-Петербургской академии наук. Поскольку задача не поддавалась ведущим математикам того времени, решение Эйлера принесло ему мгновенную известность в возрасте двадцати восьми лет. Эйлер значительно обобщил задачу, и его идеи более чем столетие спустя были подхвачены Бернардом Риманом в его основополагающей работе 1859 года «О числе простых чисел, меньших данной величины», где он определил свою дзета-функцию и доказал её основные свойства. Задача названа в честь Базеля, родного города Эйлера и семьи Бернулли, которые безуспешно пытались её решить. Базельская задача требует точного вычисления суммы обратных квадратов натуральных чисел, то есть точного значения бесконечного ряда:
The Basel problem is a problem in mathematical analysis with relevance to number theory, concerning an infinite sum of inverse squares. It was first posed by Pietro Mengoli in 1650 and solved by Leonhard Euler in 1734, and read on 5 December 1735 in The Saint Petersburg Academy of Sciences. Since the problem had withstood the attacks of the leading mathematicians of the day, Euler's solution brought him immediate fame when he was twenty eight. Euler generalised the problem considerably, and his ideas were taken up more than a century later by Bernhard Riemann in his seminal 1859 paper "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude", in which he defined his zeta function and proved its basic properties. The problem is named after Basel, hometown of Euler as well as of the Bernoulli family who unsuccessfully attacked the problem. The Basel problem asks for the precise summation of the reciprocals of the squares of the natural numbers, i. e. the precise sum of the infinite series:
The sum of the series is approximately equal to 1.644934. The Basel problem asks for the exact sum of this series (in closed form), as well as a proof that this sum is correct. Euler found the exact sum to be and announced this discovery in 1735. His arguments were based on manipulations that were not justified at the time, although he was later proven correct. He produced an accepted proof in 1741. The solution to this problem can be used to estimate the probability that two large random numbers are coprime. Two random integers in the range from 1 to , in the limit as goes to infinity, are relatively prime with a probability that approaches , the reciprocal of the solution to the Basel problem.
Сумма ряда приблизительно равна 1,644934. Базельская задача заключается в нахождении точного значения этой суммы (в замкнутой форме), а также доказательства её правильности. Эйлер нашёл точное значение суммы — и объявил об этом открытии в 1735 году. Его аргументы основывались на манипуляциях, которые в то время не были достаточно обоснованы, хотя впоследствии его правота была доказана. В 1741 году он представил общепринятое доказательство. Решение этой задачи может быть использовано для оценки вероятности того, что два больших случайных числа взаимно просты. Два случайных целых числа в диапазоне от 1 до *n*, при стремлении *n* к бесконечности, являются взаимно простыми с вероятностью, приближающейся к , обратно пропорциональной решению Базельской задачи.
The Basel problem is a problem in mathematical analysis with relevance to number theory, concerning an infinite sum of inverse squares. It was first posed by Pietro Mengoli in 1650 and solved by Leonhard Euler in 1734, and read on 5 December 1735 in The Saint Petersburg Academy of Sciences. Since the problem had withstood the attacks of the leading mathematicians of the day, Euler's solution brought him immediate fame when he was twenty eight. Euler generalised the problem considerably, and his ideas were taken up more than a century later by Bernhard Riemann in his seminal 1859 paper "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude", in which he defined his zeta function and proved its basic properties. The problem is named after Basel, hometown of Euler as well as of the Bernoulli family who unsuccessfully attacked the problem. The Basel problem asks for the precise summation of the reciprocals of the squares of the natural numbers, i. e. the precise sum of the infinite series:
The sum of the series is approximately equal to 1.644934. The Basel problem asks for the exact sum of this series (in closed form), as well as a proof that this sum is correct. Euler found the exact sum to be and announced this discovery in 1735. His arguments were based on manipulations that were not justified at the time, although he was later proven correct. He produced an accepted proof in 1741. The solution to this problem can be used to estimate the probability that two large random numbers are coprime. Two random integers in the range from 1 to , in the limit as goes to infinity, are relatively prime with a probability that approaches , the reciprocal of the solution to the Basel problem.
Последствия доказательства Эйлера
По вышеуказанным результатам, мы можем заключить, что всегда является рациональным кратным . В частности, поскольку и целочисленные степени этого числа трансцендентны, мы можем заключить на данном этапе, что иррационально, и точнее, трансцендентно для всех . Напротив, свойства дзета-констант с нечетными индексами, включая постоянную Апери, практически полностью неизвестны.
Доказательство Коши
В то время как большинство доказательств используют результаты из высшей математики, такие как анализ Фурье, комплексный анализ и многомерное исчисление, следующее не требует даже исчисления одной переменной (за исключением вычисления одного предела в конце). Доказательство с использованием теоремы о вычетах можно найти здесь.
История этого доказательства
Доказательство восходит к Августину Луи Коши (Cours d'Analyse, 1821, Примечание VIII). В 1954 году это доказательство было опубликовано в книге Акивы и Исаака Яглома «Неэлементарные задачи в элементарном изложении». Позднее, в 1982 году, оно появилось в журнале Eureka, где авторство приписывалось Джону Скоулзу, однако Скоулз утверждает, что узнал это доказательство от Питера Суиннертона-Дайера, и в любом случае считает, что доказательство было широко известно в Кембридже в конце 1960-х годов.
Другие идентификаторы
См. особые случаи тождеств для дзета-функции Римана при этом другие заметные особые тождества и представления этой константы приведены в следующих разделах.