Бөлшектер туралы: бірлік бөлшек – 1/n түріндегі бөлшек. Математикада маңызды, есептеулерде қолданылады. Мысалдары, қасиеттері мен амалдары туралы біліңіз.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Бір бүтін санға бөлінген
One over a whole number
өлшем бірлігінің бөлшектері
fractions of a measurement unit
Бірлік бөлшек – бұл 1-ге тең сандық бөлігі бар оң бөлшек, 1/n. Бұл бөлшектің атауының көбейтуге кері (өзара) саны, ол оң табиғи сан болуы керек. Мысалдар: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 және т.б. Егер бір затты тең бөліктерге бөлсек, әр бөлік – бүтіннің бірлік бөлшегі болады. Екі бірлік бөлшекті көбейту нәтижесінде тағы бір бірлік бөлшек шығады, бірақ басқа арифметикалық амалдар бірлік бөлшектерді сақтамайды. Модульдік арифметикада бірлік бөлшектерді эквивалентті бүтін сандарға түрлендіруге болады, бұл модульдік бөлуді көбейтуге айналдыруға мүмкіндік береді. Кез келген рационалды санды ерекше бірлік бөлшектердің қосындысы түрінде көрсетуге болады; мұндай бейнелеулер ежелгі египет математикасында қолданылуына байланысты египеттік бөлшектер деп аталады. Бірлік бөлшектердің көптеген шексіз қосындылары математикалық мағынаға ие. Геометрияда бірлік бөлшектер үшбұрыштық топтардың қисықтығын және Форд шеңберлерінің жанасуларын сипаттау үшін қолданылуы мүмкін. Бірлік бөлшектер әділ бөлуде жиі қолданылады, және бұл таныс қолданыс математикалық білім беруде басқа бөлшектерді түсінуге қадам ретінде пайдаланылады. Бірлік бөлшектер ықтималдық теориясында бейтараптық принципіне байланысты кеңінен таралған. Олар комбинаторлық оптимизацияда және сутегінің спектрлік қатарындағы жиіліктердің үлгісін талдауда да қолданылады.
A unit fraction is a positive fraction with one as its numerator, 1/n. It is the multiplicative inverse (reciprocal) of the denominator of the fraction, which must be a positive natural number. Examples are 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc. When an object is divided into equal parts, each part is a unit fraction of the whole. Multiplying two unit fractions produces another unit fraction, but other arithmetic operations do not preserve unit fractions. In modular arithmetic, unit fractions can be converted into equivalent whole numbers, allowing modular division to be transformed into multiplication. Every rational number can be represented as a sum of distinct unit fractions; these representations are called Egyptian fractions based on their use in ancient Egyptian mathematics. Many infinite sums of unit fractions are meaningful mathematically. In geometry, unit fractions can be used to characterize the curvature of triangle groups and the tangencies of Ford circles. Unit fractions are commonly used in fair division, and this familiar application is used in mathematics education as an early step toward the understanding of other fractions. Unit fractions are common in probability theory due to the principle of indifference. They also have applications in combinatorial optimization and in analyzing the pattern of frequencies in the hydrogen spectral series.
Арифметика
Бірлік бөлшектер – кез келген оң табиғи сан түрінде жазылатын рационал сандар. Олар оң бүтін сандардың көбейтуге кері шамалары болып табылады. Егер бір нәрсе тең бөліктерге бөлінсе, әр бөлік – бүтіннің бір бөлшегін құрайды.
The unit fractions are the rational numbers that can be written in the form where can be any positive natural number. They are thus the multiplicative inverses of the positive integers. When something is divided into equal parts, each part is a fraction of the whole.
Модульді арифметика
Модульдік арифметикада кез келген бірлік бөлшекті кеңейтілген Евклид алгоритмін қолдана отырып, эквивалентті бүтін санға айналдыруға болады. Бұл түрлендіру модульдік бөлуді орындау үшін пайдаланылуы мүмкін: санды модуль бойынша бөлуді, бірлік бөлшекті модуль бойынша эквивалентті бүтін санға түрлендіру арқылы және содан кейін осы санға көбейту арқылы жүзеге асыруға болады. Егжей-тегжейлі айтқанда, егер сан және модуль өзара жай болса (әйтпесе, модуль бойынша бөлу анықталмайды), ең үлкен ортақ бөлгішті табуға арналған кеңейтілген Евклид алгоритмі мынадай теңдікті қанағаттандыратын бүтін сандарды табу үшін қолданылуы мүмкін:
In modular arithmetic, any unit fraction can be converted into an equivalent whole number using the extended Euclidean algorithm. This conversion can be used to perform modular division: dividing by a number , modulo , can be performed by converting the unit fraction into an equivalent whole number modulo , and then multiplying by that number. In more detail, suppose that is relatively prime to (otherwise, division by is not defined modulo ). The extended Euclidean algorithm for the greatest common divisor can be used to find integers and such that Bézout's identity is satisfied:
Модульдік арифметикада мүшені жоюға болады, өйткені ол модуль бойынша нөлге тең. Бұл келесідей:
In modulo arithmetic, the term can be eliminated as it is zero modulo This leaves
Яғни, – санның модульдік кері саны, оны санға көбейту нәтижесінде бір шығады. Балама ретінде:
That is, is the modular inverse of , the number that when multiplied by produces one. Equivalently,
Осылайша, санды (модуль бойынша) бөлуді, оның орнына бүтін санға көбейту арқылы орындауға болады.
Thus division by (modulo ) can instead be performed by multiplying by the integer .
Құрастыру
Математикадағы бірнеше құрылымдар бірнеше жай бөлшекті біріктіруді, көбінесе оларды қосу арқылы жүзеге асырады.
Several constructions in mathematics involve combining multiple unit fractions together, often by adding them.
Шекті сомалар
Кез келген оң рационалды санды әртүрлі бірлік бөлшектердің қосындысы түрінде бірнеше жолмен жазуға болады. Мысалы,
Any positive rational number can be written as the sum of distinct unit fractions, in multiple ways. For example,
Осындай қосындылар мысырлық бөлшектер деп аталады, себебі ежелгі мысырлық цивилизациялар оларды жалпы рационалды сандарды жазу үшін пайдаланған. Бүгінгі күні де ежелгі адамдардың бөлшек санның мүмкін бейнелеулері арасынан таңдау және осы бейнелеулермен есептеу үшін қолданған әдістерін талдауға қызығушылық бар. Мысырлық бөлшектер тақырыбы қазіргі заманғы сандар теориясында да қызығушылық тудырады; мысалы, Эрдёс-Грэхем болжамы және Эрдёс-Штраус болжамы бірлік бөлшектердің қосындыларымен байланысты, сондай-ақ Оренің гармоникалық сандарының анықтамасы да осыған қатысты. Геометриялық топтар теориясында үшбұрыш топтары бірлік бөлшектердің қосындысының бірге тең болуына, бірден үлкен болуына немесе бірден кіші болуына қарай Евклидтік, сфералық және гиперболалық жағдайларға жіктеледі.
These sums are called Egyptian fractions, because the ancient Egyptian civilisations used them as notation for more general rational numbers. There is still interest today in analyzing the methods used by the ancients to choose among the possible representations for a fractional number, and to calculate with such representations. The topic of Egyptian fractions has also seen interest in modern number theory; for instance, the Erdős–Graham conjecture and the Erdős–Straus conjecture concern sums of unit fractions, as does the definition of Ore's harmonic numbers. In geometric group theory, triangle groups are classified into Euclidean, spherical, and hyperbolic cases according to whether an associated sum of unit fractions is equal to one, greater than one, or less than one respectively.
Әділ бөлу және математикалық білім беру
Математика білімінде бірлік бөлшектер басқа түрдегі бөлшектерге қарағанда көбінесе ертерек таныстырылады, себебі оларды бүтіннің тең бөліктері ретінде көру арқылы түсіндіру оңай. Бірлік бөлшектерді жиі қолданатын жағдай – тамақты бірнеше адамға тең бөліп беру, ал мұндай әділ бөлуді жүзеге асыруға арналған жаттығулар оқушыларды бірлік бөлшектермен жұмыс жасауға үйретудегі стандартты мысал болып табылады.
In mathematics education, unit fractions are often introduced earlier than other kinds of fractions, because of the ease of explaining them visually as equal parts of a whole. A common practical use of unit fractions is to divide food equally among a number of people, and exercises in performing this sort of fair division are a standard classroom example in teaching students to work with unit fractions.
Ықтималдық және статистика
Дискреттік кеңістіктегі біркелкі үлестірілімде барлық ықтималдықтар тең бірлік бөлшектерге ие. Бейтараптық принципіне сәйкес, осы түріндегі ықтималдықтар статистикалық есептеулерде жиі кездеседі. Бірлік бөлшектерімен байланысты тең емес ықтималдықтар Зипф заңында пайда болады. Бұл заңға сәйкес, реттелген тізбектен элементтерді таңдаумен байланысты көптеген байқалатын құбылыстар үшін -інші элементтің таңдалу ықтималдығы бірлік бөлшегіне пропорционалды болады.
In a uniform distribution on a discrete space, all probabilities are equal unit fractions. Due to the principle of indifference, probabilities of this form arise frequently in statistical calculations. Unequal probabilities related to unit fractions arise in Zipf's law. This states that, for many observed phenomena involving the selection of items from an ordered sequence, the probability that the th item is selected is proportional to the unit fraction .
Комбинаторлық оңтайландыру
Комбинаторлық оңтайландыру мәселелерін зерттеуде, қорапты толтыру мәселесі бөлшекті өлшемдері бар элементтердің кіріс тізбесін қамтиды, оларды сыйымдылығы (әрбір қорапқа орналастырылған элементтердің жалпы көлемі) бірге тең болатын қораптарға орналастыру қажет. Бұл мәселелерді зерттеуге элементтерінің өлшемдері бірлік бөлшектері болатын шектеулі қорапты толтыру мәселелерін зерттеу кірді. Мұның бір себебі – жалпы қорапты толтыру әдістерін сынау үшін қолдану. Тағы бір себебі – тең ұзындықтағы хабарлар жиынтығын шектеулі сандағы коммуникация арналарында қайта-қайта таратуды қажет ететін, белгілі бір кешіктіру шарттары бар хабарларды жоспарлау түрі. Кешіктіруі хабар ұзындығының еселенген шамасына тең элемент, оған тағайындалған арнадағы уақыт ұяларының кем дегенде бөлігін иеленуі керек, сондықтан жоспарлау мәселесінің шешімі арналарды қораптар ретінде және бөлшектерді элемент өлшемдері ретінде қарастырылатын бірлік бөлшек қорапты толтыру мәселесінің шешімінен туындайды. Тіпті кез келген өлшемдегі элементтері бар қорапты толтыру мәселесі үшін, әрбір элемент өлшемін келесі үлкен бірлік бөлшегіне дейін дөңгелектеу және содан кейін бірлік бөлшектеріне арналған қорапты толтыру алгоритмін қолдану пайдалы болуы мүмкін. Атап айтқанда, гармоникалық қорапты толтыру әдісі осыны жасап, содан кейін әрбір қорапты тек бір дөңгелектелген бірлік бөлшегінің мөлшерін пайдалана отырып толтырады.
In the study of combinatorial optimization problems, bin packing problems involve an input sequence of items with fractional sizes, which must be placed into bins whose capacity (the total size of items placed into each bin) is one. Research into these problems has included the study of restricted bin packing problems where the item sizes are unit fractions. One motivation for this is as a test case for more general bin packing methods. Another involves a form of pinwheel scheduling, in which a collection of messages of equal length must each be repeatedly broadcast on a limited number of communication channels, with each message having a maximum delay between the start times of its repeated broadcasts. An item whose delay is times the length of a message must occupy a fraction of at least of the time slots on the channel it is assigned to, so a solution to the scheduling problem can only come from a solution to the unit fraction bin packing problem with the channels as bins and the fractions as item sizes. Even for bin packing problems with arbitrary item sizes, it can be helpful to round each item size up to the next larger unit fraction, and then apply a bin packing algorithm specialized for unit fraction sizes. In particular, the harmonic bin packing method does exactly this, and then packs each bin using items of only a single rounded unit fraction size.
Физика
Сутек атомы сіңіре алатын немесе шығаратын фотондардың энергия деңгейлері Ридберг формуласына сәйкес екі бірлік бөлшектің айырмасына пропорционалды. Бұл құбылысты түсіндіретін Бор моделі, сутек атомындағы электрон орбиталдарының энергия деңгейлері квадрат бірлік бөлшектеріне кері пропорционал екенін, ал фотон энергиясы екі деңгей арасындағы айырмашылыққа квантталғанын айтады. Артур Эддингтон ұсақ құрылым тұрақтысының бірлік бөлшек екенін жобалады. Ол бастапқыда оны 1/136 деп ойлады, бірақ кейіннен теориясын 1/137 деп өзгертті. Алайда, қазіргі кездегі ұсақ құрылым тұрақтысының есептелуі (алты маңызды таңбаға дейін) 1/137.036 көрсеткендей, бұл болжам дұрыс емес болып шықты.
The energy levels of photons that can be absorbed or emitted by a hydrogen atom are, according to the Rydberg formula, proportional to the differences of two unit fractions. An explanation for this phenomenon is provided by the Bohr model, according to which the energy levels of electron orbitals in a hydrogen atom are inversely proportional to square unit fractions, and the energy of a photon is quantized to the difference between two levels. Arthur Eddington argued that the fine structure constant was a unit fraction. He initially thought it to be 1/136 and later changed his theory to 1/137. This contention has been falsified, given that current estimates of the fine structure constant are (to 6 significant digits) 1/137.036.