Введение

Единица, деленная на целое число

Доли единицы измерения

Единичная дробь — это положительная дробь, числитель которой равен единице, 1/n. Она является мультипликативным обратным (взаимным) знаменателю дроби, который должен быть положительным натуральным числом. Примеры: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 и т.д. Когда объект разделен на равные части, каждая часть представляет собой единичную дробь от целого. Умножение двух единичных дробей дает другую единичную дробь, но другие арифметические операции не сохраняют свойство единичных дробей. В модульной арифметике единичные дроби можно преобразовать в эквивалентные целые числа, что позволяет преобразовать модульное деление в умножение. Любое рациональное число можно представить в виде суммы различных единичных дробей; эти представления называются египетскими дробями, поскольку они использовались в древнеегипетской математике. Многие бесконечные суммы единичных дробей имеют математический смысл. В геометрии единичные дроби можно использовать для характеристики кривизны треугольных групп и касательных окружностей Форда. Единичные дроби часто используются в задачах справедливого распределения, и это знакомое применение используется в математическом образовании как первый шаг к пониманию других дробей. Единичные дроби часто встречаются в теории вероятностей благодаря принципу безразличия. Они также находят применение в комбинаторной оптимизации и при анализе закономерностей частот в водородных спектральных рядах.

Арифметика

Единичными дробями называются рациональные числа, которые можно представить в виде 1/n, где n – любое положительное натуральное число. Таким образом, они являются обратными величинами для положительных целых чисел. Когда что-то разделяют на n равных частей, каждая часть составляет 1/n от целого.

Модульная арифметика

В модульной арифметике любую единичную дробь можно преобразовать в эквивалентное целое число с помощью расширенного алгоритма Евклида. Это преобразование можно использовать для выполнения модульного деления: деление числа `a` на число `m` (по модулю `m`) можно выполнить, преобразовав единичную дробь `1/a` в эквивалентное целое число по модулю `m`, а затем умножив на это число. Более подробно, предположим, что `a` и `m` взаимно просты (иначе деление на `a` не определено по модулю `m`). Расширенный алгоритм Евклида для наибольшего общего делителя можно использовать для нахождения целых чисел `x` и `y` таких, чтобы выполнялось тождество Безу:

В арифметике по модулю `m` член `my` можно исключить, поскольку он равен нулю по модулю `m`. Это оставляет

То есть, `x` является модульным обратным к `a`, числом, которое при умножении на `a` дает единицу. Эквивалентно,

Таким образом, деление на `a` (по модулю `m`) можно вместо этого выполнить, умножив на целое число `x`.

Комбинации

Несколько математических построений включают в себя объединение нескольких единичных дробей, часто посредством сложения.

Определенные суммы

Любое положительное рациональное число может быть представлено в виде суммы различных единичных дробей, причем несколькими способами. Например, эти суммы называются египетскими дробями, поскольку древние египетские цивилизации использовали их для записи более общих рациональных чисел. И сегодня существует интерес к анализу методов, которые использовали древние для выбора из возможных представлений дробного числа и для вычислений с использованием таких представлений. Египетские дроби также привлекают внимание в современной теории чисел; например, гипотеза Эрдеша — Грэма и гипотеза Эрдеша — Штрауса связаны с суммами единичных дробей, как и определение гармонических чисел Оре. В геометрической теории групп треугольные группы классифицируются на евклидовы, сферические и гиперболические в зависимости от того, равна ли связанная с ними сумма единичных дробей единице, больше единицы или меньше единицы соответственно.

Справедливое деление и математическое образование

В математическом образовании единичные дроби часто вводятся раньше других видов дробей благодаря простоте их визуального представления в виде равных частей целого. Распространенное практическое применение единичных дробей – это разделение еды поровну между несколькими людьми, а упражнения на выполнение подобного справедливого разделения служат стандартным примером в классе при обучении студентов работе с единичными дробями.

Вероятность и статистика

В равномерном распределении на дискретном пространстве все вероятности равны единичным дробям. В силу принципа безразличия, вероятности такого вида часто возникают в статистических расчетах. Неравные вероятности, связанные с единичными дробями, возникают в законе Ципфа. Он утверждает, что для многих наблюдаемых явлений, связанных с выбором элементов из упорядоченной последовательности, вероятность выбора -го элемента пропорциональна единичной дроби .

Комбинаторная оптимизация

В исследовании задач комбинаторной оптимизации, задачи упаковки в контейнеры (или бины) включают в себя входную последовательность элементов с дробными размерами, которые необходимо разместить в контейнерах, емкость которых (общая сумма размеров элементов, помещенных в каждый контейнер) равна единице. Исследования этих задач включали изучение ограниченных задач упаковки в контейнеры, где размеры элементов являются единичными дробями. Одна из причин этого – использование в качестве тестового примера для более общих методов упаковки. Другая связана с одной формой планирования типа "пинwheel", в которой набор сообщений одинаковой длины должен многократно передаваться по ограниченному числу каналов связи, при этом каждое сообщение имеет максимальную задержку между моментами начала его повторных передач. Элемент, задержка которого в раз превышает длину сообщения, должен занимать не менее доли временных слотов на канале, которому он назначен, поэтому решение задачи планирования может быть получено только из решения задачи упаковки в контейнеры с единичными дробями, где каналы выступают в роли контейнеров, а дроби – в роли размеров элементов. Даже для задач упаковки в контейнеры с произвольными размерами элементов может быть полезно округлить каждый размер элемента до следующей большей единичной дроби, а затем применить алгоритм упаковки в контейнеры, специализирующийся на единичных дробях. В частности, метод гармонической упаковки в контейнеры делает именно это, а затем упаковывает каждый контейнер, используя элементы только одного округленного размера единичной дроби.

Физика

Уровни энергии фотонов, которые могут быть поглощены или испущены атомом водорода, согласно формуле Ридберга, пропорциональны разностям двух единичных дробей. Объяснение этого явления дает модель Бора, согласно которой энергетические уровни электронных орбиталей в атоме водорода обратно пропорциональны квадратам единичных дробей, а энергия фотона квантуется как разность между двумя уровнями. Артур Эддингтон предположил, что постоянная тонкой структуры является единичной дробью. Изначально он считал, что она равна 1/136, но позже изменил свою теорию на 1/137. Это предположение было опровергнуто, поскольку современные оценки постоянной тонкой структуры составляют (с точностью до 6 значащих цифр) 1/137.036.