Кіріспе
Белгілері кезектесетін шексіз қатарлар
Математикада, кезектесетін қатар – бұл мынадай формадағы шексіз қатар:
немесе
мұндағы n-нің барлық мәндері үшін a > 0. Жалпы мүшелерінің белгілері оң және теріс арасында кезектеседі. Кез келген қатар сияқты, кезектесетін қатар тек қана оған сәйкес келетін ішінара қосындылар тізбегі жақындасса ғана жақындайды.
or
with an > 0 for all n. The signs of the general terms alternate between positive and negative. Like any series, an alternating series converges if and only if the associated sequence of partial sums converges.
Бірін-бірі ауыстыратын сериялар сынағы
"Лейбниц тесті" немесе ауыспалы қатарлар тесті деп аталатын теорема, ауыспалы қатардың мүшелері монотонды түрде 0-ге жақынсаса, қатар жинақталады деп хабарлайды. Дәлелдеме: тізбегі нөлге жақынсап, монотонды түрде кемиді деп есептейік. Егер n тақ және болса, келесі есептеу арқылы бағалау аламыз: тізбегі монотонды түрде кемитіндіктен, мүшелері теріс болады. Осылайша, бізде соңғы теңсіздік пайда болады: Сол сияқты, көрсетуге болады. тізбегі нөлге жақынсағандықтан, ішінара сомалары Коши тізбегін құрайды (яғни, қатар Коши критерийін қанағаттандырады) және демек, жинақталады. n жұп болғандағы аргумент те ұқсас.
Since is monotonically decreasing, the terms are negative. Thus, we have the final inequality: Similarly, it can be shown that Since converges to , our partial sums form a Cauchy sequence (i. e., the series satisfies the Cauchy criterion) and therefore converge. The argument for even is similar.
Шамамен есептелген сомалар
Жоғарыдағы бағалау So-ға тәуелді емес, егер жақындасса 0-ге монотонды түрде, онда бағалау шексіз сомаларды ішінара сомалармен жуықтау үшін қате шегін береді: Бұл бағалау әрқашан қате келесі мүшенің абсолюттік шамасынан кіші болатын алғашқы мүшені табады дегенді білдірмейді. Шындығында, егер сіз қатесі 0,00005-тен кем болатын мүшені табуға тырыссаңыз, жоғарыдағы теңсіздік жартылай сома жеткілікті екенін көрсетеді, бірақ бұл қажетті мүшелерден екі есе көп. Расында, алғашқы 9999 мүшені қоссаңыз, қате 0,0000500025-ке тең болады, сондықтан жартылай соманы осыған дейін алу жеткілікті. Бұл қатарда жаңа қатар құру, сондай-ақ Лейбниц сынағына қолданылатын кезектесетін қатарды беретін қасиет бар, сондықтан бұл қарапайым қате шегі оптималды емес. Бұл 1962 жылы ашылған Калабрездік шегімен жақсартылды, бұл қасиет Лейбниц қате шегімен салыстырғанда 2 есе аз нәтиже беруге мүмкіндік береді. Шындығында, бұл қасиет 2 немесе одан да көп рет қолданылатын қатарлар үшін де оптималды емес, бұл Джонсонбау қате шегімен сипатталған. Егер осы қасиетті шексіз рет қолдануға болады, онда Эйлер түрлендіруі қолданылады.
That does not mean that this estimate always finds the very first element after which error is less than the modulus of the next term in the series. Indeed if you take and try to find the term after which error is at most 0.00005, the inequality above shows that the partial sum up through is enough, but in fact this is twice as many terms as needed. Indeed, the error after summing first 9999 elements is 0.0000500025, and so taking the partial sum up through is sufficient. This series happens to have the property that constructing a new series with also gives an alternating series where the Leibniz test applies and thus makes this simple error bound not optimal. This was improved by the Calabrese bound, discovered in 1962, that says that this property allows for a result 2 times less than with the Leibniz error bound. In fact this is also not optimal for series where this property applies 2 or more times, which is described by Johnsonbaugh error bound. If one can apply the property an infinite number of times, Euler's transform applies.
Абсолюттік конвергенция
Егер қатар абсолютті түрде жинақталса, онда қатар жинақталады. Теорема: Абсолютті жинақталған қатарлар жинақталады. Дәлел: делік, қатар абсолютті түрде жинақталған. Онда, қатар жинақталады және соның салдарынан қатар да жинақталады. Егер , онда қатар салыстыру тестісі бойынша жинақталады. Демек, қатар екі жинақталған қатардың айырымы ретінде жинақталады.
Сериялық жылдамдату
Іс жүзінде, кезектесетін қатардың сандық қосындысын әр түрлі қатарды жеделдету техникаларының кез келгенін пайдалану арқылы жылдамдатуға болады. Ең ежелгі техникалардың бірі – Эйлер қосындысы, сондай-ақ одан да жылдам түйісуді қамтамасыз ете алатын көптеген қазіргі заманғы техникалар бар.