Введение

Бесконечные ряды, члены которых чередуются по знаку.

В математике, чередующийся ряд — это бесконечный ряд вида
или
где a > 0 для всех n. Знаки общих членов поочередно положительные и отрицательные. Как и любой ряд, чередующийся ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится соответствующая последовательность частных сумм.

Испытание на переменных сериях

Теорема, известная как "тест Лейбница" или тест для чередующихся рядов, утверждает, что чередующийся ряд сходится, если его члены an монотонно стремятся к 0. Доказательство: Предположим, последовательность an сходится к нулю и монотонно убывает. Если n нечетно и n > 1, мы получаем оценку посредством следующего вычисления:

Поскольку an монотонно убывает, члены aₙ отрицательны. Таким образом, мы получаем следующее неравенство: Аналогично можно показать, что поскольку an сходится к 0, наши частичные суммы образуют последовательность Коши (то есть ряд удовлетворяет критерию Коши) и, следовательно, сходятся. Рассмотрение случая, когда n четно, аналогично.

Приблизительные суммы

Таким образом, если монотонно стремится к 0, то оценка обеспечивает границу погрешности при приближении бесконечных сумм частичными суммами. Это не означает, что эта оценка всегда определяет первый элемент, после которого погрешность становится меньше модуля следующего члена ряда. Действительно, если взять и попытаться найти член, после которого погрешность не превышает 0,00005, то приведенное выше неравенство показывает, что частичная сумма до уже достаточна, хотя на самом деле требуется вдвое меньше членов. Действительно, погрешность после суммирования первых 9999 элементов составляет 0,0000500025, поэтому достаточно взять частичную сумму до . Этот ряд обладает свойством, что построение нового ряда с также дает знакочередующийся ряд, к которому применим критерий Лейбница, что делает эту простую оценку погрешности неоптимальной. Улучшение было предложено в оценке Калабрезе, открытой в 1962 году, которая утверждает, что это свойство позволяет получить результат в 2 раза меньше, чем с оценкой погрешности Лейбница. Однако это также не является оптимальным для рядов, где это свойство применяется два или более раз, что описывается оценкой погрешности Джонсонбауга. Если это свойство можно применять бесконечное число раз, то применима трансформация Эйлера.

Абсолютное сближение

Ряд сходится абсолютно, если ряд сходится. Теорема: Абсолютно сходящиеся ряды сходятся. Доказательство: Предположим, что ряд сходится абсолютно. Тогда ряд сходится, и следует, что ряд также сходится. Поскольку , ряд сходится по признаку сравнения. Следовательно, ряд сходится как разность двух сходящихся рядов.

Ускорение серии

На практике, численное суммирование знакопеременного ряда может быть ускорено с помощью различных методов ускорения сходимости рядов. Одним из старейших методов является суммирование Эйлера, и существует множество современных методов, способных обеспечить еще более быструю сходимость.