Кіріспе

Экрандалған Кулон потенциалы экспоненциалды түрде кемиді. Бөлшектер, атом және конденсирленген зат физикасында Юкава потенциалы (сондай-ақ экрандалған Кулон потенциалы деп те аталады) – жапон физигі Хидеки Юкаваның есімімен аталған потенциал. Потенциал мынадай формада болады:

мұндағы – масштабтау тұрақтысы, яғни потенциалдың амплитудасы, m – бөлшектің массасы, r – бөлшекке дейінгі радиалдық қашықтық, ал α – тағы бір масштабтау тұрақтысы, сондықтан бұл шамамен алынған қашықтық. Потенциал r-мен біртекті өсіп, теріс мәнге ие, яғни күш тартымды. СИ жүйесінде Юкава потенциалының өлшем бірлігі (1/метр) болып табылады. Электромагнетизмнің Кулон потенциалы – Yukawa потенциалының мысалы, ондағы коэффициент барлық жерде 1-ге тең. Бұл фотонның массасы m 0-ге тең деп түсіндірілуі мүмкін. Фотон – зарядталған бөлшектердің өзара әрекеттесуін қамтамасыз ететін күш тасымалдаушы. Мезондық және фермиондық өрістер арасындағы өзара әрекеттесулердегі тұрақты осы өрістер арасындағы калибрлеу тұрақтысына тең. Ядролық күш жағдайында фермиондар протон және тағы бір протон немесе нейтрон болады.

Тарих

Хидеки Юкаваның 1935 жылғы мақаласына дейін физиктер Джеймс Чадвиктің атомдық моделінің нәтижелерін түсіндіруге тырысты, ол оң зарядталған протон мен нейтрондардан тұратын және радиусы 10−14 метр шамасындағы кішкентай ядроның ішінде орналасқан. Физиктер осы ұзындықта электромагниттік күштердің протонды бір-бірінен итермелеп, ядроның ыдырауына әкелетінін білген. Сондықтан элементар бөлшектердің өзара әрекеттесуін одан әрі зерттеуге қатысушылық туды. 1932 жылы Вернер Гейзенберг ядро ішіндегі нейтрондар мен протондар арасындағы «Platzwechsel» (қозғалыс) әрекеттесуін ұсынды, онда нейтрондар протон мен электрондардан құралған бөлшектер болып табылады. Бұл күрделі нейтрондар электрондарды шығарып, протондармен тартымды күш құрады, содан кейін өздері протондарға айналады. 1933 жылы Солвей конференциясында Гейзенберг өзінің әрекеттесуін ұсынғанда, физиктер оның қысқа қашықтығына байланысты екі түрлі болуы мүмкін деп күдіктенді. Дегенмен, оның теориясында көптеген мәселелер болды. Атап айтқанда, спиннің электроны мен спиннің протоны нейтронның спиніне тең бола алмайды. Гейзенбергтің осы мәселені шешу әдісі изоспин идеясын қалыптастырды. Гейзенбергтің ядро ішіндегі бөлшектер арасындағы алмасу әрекеттесуі (Кулон күшінің орнына) Фермиге 1934 жылы бета-бөлініс туралы өз идеяларын қалыптастыруға көмектесті.

Фурье трансформациясы

Юкава потенциалының массасы бар өріспен байланысты екенін түсінудің ең оңай жолы оның Фурье түрлендіруін қарастыру болып табылады. Онда

интеграл 3-векторлық импульс k-ның барлық мүмкін мәндері бойынша алынады. Осы түрде және масштабтау коэффициентін бірге теңестіргенде, бөлшек Клейн-Гордон теңдеуінің пропагаторы немесе Грин функциясы болып көрінеді.

Фейнман амплитудасы

Юкава потенциалы фермиондар жұбының өзара әрекеттесуінің ең төменгі ретті амплитудасы ретінде туындайды. Юкава өзара әрекеттесуі фермиондық өрісті мезондық өріспен байланыстыру мүшесі арқылы байланыстырады. Біреуі бастапқы импульсі **p₁** және екіншісі импульсі **p₂** болатын екі фермионның шашырау амплитудасы, **k** импульсі бар мезонды алмастыру арқылы оң жақтағы Фейнман диаграммасымен беріледі. Фейнман ережелері әр төбе үшін амплитудаға **g** факторын қосады; бұл диаграммада екі төбе болғандықтан, жалпы амплитуда **g²** факторына ие болады. Екі фермиондық сызықты байланыстыратын ортадағы сызық мезон алмасуын көрсетеді. Фейнман ережесі бойынша бөлшектік алмасу үшін пропагатор қолданылады; массивті мезон үшін пропагатор **1/(k² - m²)** болады. Осылайша, осы графиктің Фейнман амплитудасы қарапайым түрде

тең болады.

Алдыңғы бөлімнен, мұның Юкава потенциалының Фурье түрлендіруі екені көрінеді.

Шредингер теңдеуінің өзіндік мәндері

Юкава потенциалымен радиалдық Шредингер теңдеуін бұзылымдық түрде (perturbatively) шешуге болады. Жоғарыда келтірілген бұрыштық импульстің төмендейтін дәрежелердегі асимптотикалық кеңеюі WKB әдісімен де шығарылуы мүмкін. Бірақ, бұл жағдайда, Кулон потенциалы жағдайындағыдай, Шредингер теңдеуінің центробектік мүшесіндегі өрнекті , Лангер бастапқыда көрсеткендей, ауыстыру қажет, себебі сингулярлық WKB әдісін өзгеріссіз қолдануға тым күшті келеді. Бұл пікірдің дұрыстығы Кулон жағдайындағы дұрыс нәтиженің WKB арқылы (Лангер түзетуімен) және тіпті Юкава жағдайындағы жоғарыдағы кеңейтудің жоғары дәрежелі WKB жуықтауларымен шығарылуынан көрінеді.