Введение

Экранный кулоновский потенциал, экспоненциально убывающий.

В физике частиц, атомной и конденсированной материи потенциал Юкавы (также называемый экранированным кулоновским потенциалом) — это потенциал, названный в честь японского физика Хидеки Юкавы. Потенциал имеет вид:

где — константа масштабирования, то есть амплитуда потенциала, m — масса частицы, r — радиальное расстояние до частицы, а α — другая константа масштабирования, определяющая приблизительный радиус действия потенциала. Потенциал монотонно возрастает с увеличением r и является отрицательным, что указывает на притягательную силу. В системе СИ единица измерения потенциала Юкавы — (1/метр). Кулоновский потенциал электромагнетизма является примером потенциала Юкавы, в котором коэффициент равен 1 повсюду. Это можно интерпретировать как то, что масса фотона m равна 0. Фотоны являются переносчиками силы между взаимодействующими заряженными частицами. В взаимодействиях между мезонным и фермионным полями константа равна константе связи калибровочного поля между этими полями. В случае ядерной силы фермионами будут протоны и другие протоны или нейтроны.

История

До публикации работы Хидеки Юкавы в 1935 году физики испытывали трудности с объяснением результатов атомной модели Джеймса Чедвика, состоявшей из положительно заряженных протонов и нейтронов, плотно упакованных внутри небольшого ядра с радиусом порядка 10−14 метров. Физики знали, что электромагнитные силы на таких расстояниях заставили бы протоны отталкиваться друг от друга, что привело бы к распаду ядра. Это и послужило стимулом для дальнейшего изучения взаимодействий между элементарными частицами. В 1932 году Вернер Гейзенберг предложил «плаццвечсель» (миграционное) взаимодействие между нейтронами и протонами внутри ядра, в котором нейтроны рассматривались как составные частицы, состоящие из протонов и электронов. Эти составные нейтроны излучали бы электроны, создавая притягательную силу с протонами, а затем сами превращались бы в протоны. Когда в 1933 году на Сольвеевской конференции Гейзенберг представил свою теорию, физики предполагали, что она может иметь одну из двух форм: из-за её малого радиуса действия. Однако в его теории было множество проблем. В частности, невозможно сложить спин электрона и спин протона, чтобы получить спин нейтрона. Подход Гейзенберга к решению этой проблемы впоследствии лег в основу концепции изоспина. Идея Гейзенберга об обменном взаимодействии (в отличие от кулоновского взаимодействия) между частицами внутри ядра подтолкнула Ферми к разработке его теории бета-распада в 1934 году.

Трансформация Фурье

Самый простой способ понять, что потенциал Юкавы связан с массивным полем, — это рассмотреть его преобразование Фурье. Имеем

где интеграл берется по всем возможным значениям трехмерного вектора импульса **k**. В таком виде, и приравнивая нормировочный множитель к единице, дробь оказывается пропагатором, или функцией Грина уравнения Клейна — Гордона.

Амплитуда Файнмана

Потенциал Юкавы может быть выведен как амплитуда взаимодействия пары фермионов в порядке наименьшего приближения. Взаимодействие Юкавы связывает фермионное поле с мезонным полем посредством члена связи

Амплитуда рассеяния двух фермионов, один с начальным импульсом **p** и другой с импульсом **q**, обменивающихся мезоном с импульсом **k**, задается диаграммой Фейнмана справа. Правила Фейнмана для каждой вершины ассоциируют с амплитудой фактор *g*; поскольку на этой диаграмме две вершины, общая амплитуда будет иметь фактор *g²*. Линия посередине, соединяющая две фермионные линии, представляет собой обмен мезоном. Правило Фейнмана для обмена частицами заключается в использовании пропагатора; пропагатор для массивного мезона равен Таким образом, мы видим, что амплитуда Фейнмана для этого графа не что иное, как

Из предыдущего раздела следует, что это преобразование Фурье потенциала Юкавы.

Эгоиные значения уравнения Шредингера

Радиальное уравнение Шрёдингера с потенциалом Юкавы может быть решено возмущениями. Вышеприведенное асимптотическое разложение углового момента по убывающим степеням также может быть получено методом ВКБ. Однако в этом случае, как и в случае кулоновского потенциала, выражение в центробежном члене уравнения Шрёдингера необходимо заменить на , как впервые утверждал Лангер, поскольку сингулярность слишком сильна для непосредственного применения метода ВКБ. Правильность этого рассуждения следует из вывода правильного результата методом ВКБ для кулоновского случая (с коррекцией Лангера) и даже из вышеуказанного разложения для случая Юкавы с использованием ВКБ-приближений более высокого порядка.