Фейнман диаграммалары: Кванттық бөлшектердің өзара әрекеттесуін бейнелеу

Кіріспе

Субатомдық бөлшектердің мінез-құлқының суреттелген бейнесі

Теориялық физикада Фейнман диаграммасы – субатомдық бөлшектердің мінез-құлқы мен өзара әрекеттесуін сипаттайтын математикалық өрнектердің суреттелген бейнесі. Бұл схема 1948 жылы диаграммаларды енгізген американдық физик Ричард Фейнманның есімімен аталған. Субатомдық бөлшектердің өзара әрекеттесуі күрделі және түсіну қиын болуы мүмкін; Фейнман диаграммалары, әйтпесе құпия және абстрактілі формула болар еді, оның қарапайым көрінісін береді. Дэвид Кайзердің айтуынша, "ХХ ғасырдың ортасынан бастап теориялық физиктер маңызды есептеулерді жүргізуге көмектесу үшін осы құралға көбірек жүгінді. Фейнман диаграммалары теориялық физиканың дерлік барлық аспектілерін өзгертті". Диаграммалар негізінен кванттық өріс теориясына қолданылады, бірақ оларды физиканың басқа салаларында, мысалы, қатты дене теориясында да қолдануға болады. Фрэнк Вильчек 2004 жылы физика саласындағы Нобель сыйлығын алған есептеулерінің "Фейнман диаграммалары болмаса, тіпті ойлап та көрмейтін болар еді, сондай-ақ Хиггс бөлшегін жасау мен байқауға жол ашқан [Вильчектің] есептеулері де ойлап та көрмейтін болар еді" деп жазды. Фейнман Эрнст Стюкельбергтің позитронды уақыт бойынша кері бағытта қозғалатын электрон ретінде түсіндіруін пайдаланды. Осылайша, антибөлшектер Фейнман диаграммаларында уақыт осі бойынша кері бағытта қозғалып бейнеленеді. Теориялық бөлшектер физикасындағы ықтималдық амплитудасын есептеу көптеген айнымалылар бойынша үлкен және күрделі интегралдарды пайдалануды қажет етеді. Фейнман диаграммалары осы интегралдарды графикалық түрде көрсетеді. Фейнман диаграммасы – кванттық механикалық немесе статистикалық өріс теориясының ауысу амплитудасына немесе корреляциялық функциясына бұзылушы үлестің графикалық бейнесі. Кванттық өріс теориясының канондық тұжырымдамасында Фейнман диаграммасы бұзылушы S матрицасының Вик кеңейтуіндегі бір терминді білдіреді. Кванттық өріс теориясының жол интегралы формуласы ауысу амплитудасын бастапқы күйден соңғы күйге дейінгі жүйенің барлық мүмкін тарихтарының салмақталған қосындысы ретінде, бөлшектер немесе өрістер тұрғысынан көрсетеді. Ауысу амплитудасы кванттық жүйенің бастапқы және соңғы күйлері арасындағы S матрицасының матрицалық элементі ретінде беріледі.

In theoretical physics, a Feynman diagram is a pictorial representation of the mathematical expressions describing the behavior and interaction of subatomic particles. The scheme is named after American physicist Richard Feynman, who introduced the diagrams in 1948. The interaction of subatomic particles can be complex and difficult to understand; Feynman diagrams give a simple visualization of what would otherwise be an arcane and abstract formula. According to David Kaiser, "Since the middle of the 20th century, theoretical physicists have increasingly turned to this tool to help them undertake critical calculations. Feynman diagrams have revolutionized nearly every aspect of theoretical physics." While the diagrams are applied primarily to quantum field theory, they can also be used in other areas of physics, such as solid state theory. Frank Wilczek wrote that the calculations that won him the 2004 Nobel Prize in Physics "would have been literally unthinkable without Feynman diagrams, as would [Wilczek's] calculations that established a route to production and observation of the Higgs particle." Feynman used Ernst Stueckelberg's interpretation of the positron as if it were an electron moving backward in time. Thus, antiparticles are represented as moving backward along the time axis in Feynman diagrams. The calculation of probability amplitudes in theoretical particle physics requires the use of rather large and complicated integrals over a large number of variables. Feynman diagrams can represent these integrals graphically. A Feynman diagram is a graphical representation of a perturbative contribution to the transition amplitude or correlation function of a quantum mechanical or statistical field theory. Within the canonical formulation of quantum field theory, a Feynman diagram represents a term in the Wick's expansion of the perturbative S matrix. Alternatively, the path integral formulation of quantum field theory represents the transition amplitude as a weighted sum of all possible histories of the system from the initial to the final state, in terms of either particles or fields. The transition amplitude is then given as the matrix element of the S matrix between the initial and final states of the quantum system.

Қозғалысы мен тарихы

Бөлшектер физикасында шашыраңқы қималарды есептеу кезінде бөлшектер арасындағы өзара әрекеттесуді кіріс және шығыс бөлшектерді сипаттайтын еркін өрістен бастап, бөлшектердің бір-бірінен қалай ауытқуын сипаттау үшін өзара әрекеттесу гамильтонианын қосу арқылы қарастыруға болады. Шашырау амплитудасы – бұл барлық мүмкін аралық бөлшектер күйлеріндегі барлық мүмкін өзара әрекеттесу тарихының қосындысы. Гамильтонианның өзара әрекеттесу саны – бұл бұзылудың қатарлық кеңеюінің реті, ал өрістер үшін уақытқа тәуелді бұзылу теориясы Дайсон қатары деп аталады. Егер аралық уақыттағы аралық күйлер энергияның өзіндік күйлері (белгілі бір импульсы бар бөлшектер жиынтығы) болса, онда қатар «ескіше» бұзылу теориясы (немесе уақытқа тәуелді/уақытқа реттелген бұзылу теориясы) деп аталады. Дайсон қатарын Фейнман диаграммаларының қосындысы ретінде қайта жазуға болады, онда әр төбеде энергия мен импульс сақталады, бірақ энергия-импульс төртвекторының ұзындығы міндетті түрде массаға тең емес, яғни аралық бөлшектер «қабықтан тыс» деп аталады. Фейнман диаграммаларын «ескіше» мүшелерге қарағанда бақылау оңайырақ, себебі «ескіше» тәсіл бөлшектер мен антибөлшектердің үлесін бөлек қарастырады. Әрбір Фейнман диаграммасы – бұл экспоненциалды түрде көптеген «ескіше» мүшелердің қосындысы, себебі әрбір ішкі сызық жеке бөлшекті немесе антибөлшекті бейнелей алады. Релятивистік емес теорияда антибөлшектер жоқ және екі еселену жоқ, сондықтан әрбір Фейнман диаграммасы тек бір мүшеден тұрады. Фейнман өріс теориясының Лагранжианынан кез келген диаграмма үшін амплитуданы есептеудің тәсілін берді (Фейнман ережелері, төменде). Әрбір ішкі сызық виртуалды бөлшектің пропагаторының коэффициентіне сәйкес келеді; сызықтар кездесетін әрбір төбе Лагранжиандағы өзара әрекеттесу мүшесінен алынған коэффициентті береді, ал кіріс және шығыс сызықтары энергияны, импульсті және спинді алып жүреді. Математикалық құрал ретіндегі құндылығынан басқа, Фейнман диаграммалары бөлшектердің өзара әрекеттесуінің мәніне терең физикалық түсінік береді. Бөлшектер барлық қол жетімді жолдармен өзара әрекеттеседі; шындығында, аралық виртуалды бөлшектерге жарық жылдамдығынан артық жылдамдықпен таралуға рұқсат етіледі. Әрбір соңғы күйдің ықтималдығы барлық мүмкін жағдайларды қосу арқылы алынады. Бұл кванттық механиканың функционалдық интегралдық формуласымен тығыз байланысты, оны да Фейнман ойлап тапқан – жол интегралдық формуласын қараңыз. Мұндай есептеулерді тікелей қолдану жиі диаграммаларды тудырады, олардың амплитудасы шексіз болады, себебі қысқа қашықтықтағы бөлшектердің өзара әрекеттесуіне бөлшектердің өзара әрекеттесуін қоса, мұқият шектеу процедурасы қажет. Эрнст Штюкельберг пен Ханс Бете ұсынған және Дайсон, Фейнман, Швингер және Томонага іске асырған қайта нормалау техникасы осы әсерді жояды және қиын шексіздіктерді болдырмайды. Қайта нормалаудан кейін Фейнман диаграммаларын пайдалана отырып жасалған есептеулер эксперименттік нәтижелермен өте жоғары дәлдікпен сәйкес келеді. Фейнман диаграммасы және жол интегралдық әдістер статистикалық механикада да қолданылады және тіпті классикалық механикаға да қолданылуы мүмкін.

When calculating scattering cross sections in particle physics, the interaction between particles can be described by starting from a free field that describes the incoming and outgoing particles, and including an interaction Hamiltonian to describe how the particles deflect one another. The amplitude for scattering is the sum of each possible interaction history over all possible intermediate particle states. The number of times the interaction Hamiltonian acts is the order of the perturbation expansion, and the time dependent perturbation theory for fields is known as the Dyson series. When the intermediate states at intermediate times are energy eigenstates (collections of particles with a definite momentum) the series is called old fashioned perturbation theory (or time dependent/time ordered perturbation theory). The Dyson series can be alternatively rewritten as a sum over Feynman diagrams, where at each vertex both the energy and momentum are conserved, but where the length of the energy momentum four vector is not necessarily equal to the mass, i. e. the intermediate particles are so called off shell. The Feynman diagrams are much easier to keep track of than "old fashioned" terms, because the old fashioned way treats the particle and antiparticle contributions as separate. Each Feynman diagram is the sum of exponentially many old fashioned terms, because each internal line can separately represent either a particle or an antiparticle. In a non relativistic theory, there are no antiparticles and there is no doubling, so each Feynman diagram includes only one term. Feynman gave a prescription for calculating the amplitude (the Feynman rules, below) for any given diagram from a field theory Lagrangian. Each internal line corresponds to a factor of the virtual particle's propagator; each vertex where lines meet gives a factor derived from an interaction term in the Lagrangian, and incoming and outgoing lines carry an energy, momentum, and spin. In addition to their value as a mathematical tool, Feynman diagrams provide deep physical insight into the nature of particle interactions. Particles interact in every way available; in fact, intermediate virtual particles are allowed to propagate faster than light. The probability of each final state is then obtained by summing over all such possibilities. This is closely tied to the functional integral formulation of quantum mechanics, also invented by Feynman—see path integral formulation. The naïve application of such calculations often produces diagrams whose amplitudes are infinite, because the short distance particle interactions require a careful limiting procedure, to include particle self interactions. The technique of renormalization, suggested by Ernst Stueckelberg and Hans Bethe and implemented by Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga compensates for this effect and eliminates the troublesome infinities. After renormalization, calculations using Feynman diagrams match experimental results with very high accuracy. Feynman diagram and path integral methods are also used in statistical mechanics and can even be applied to classical mechanics.

Басқа атаулар

Мюррей Гелл-Манн Фейнман диаграммаларын швейцариялық физик Эрнст Штукельбергтің құрметіне Штукельберг диаграммалары деп атады. Штукельберг осыған ұқсас нотацияны көп жылдар бұрын жасаған. Оның ынтасы кванттық өріс теориясы үшін нақты ковариантты формализмге қажеттілік болды, бірақ ол симметрия факторларын және циклдарды басқарудың автоматтандырылған тәсілін ұсынбады. Дегенмен, ол бөлшектердің уақыт бойынша алға және артқа қозғалуының дұрыс физикалық интерпретациясын бірінші болып тапты – бәрі де жол интегралысыз. Тарихи тұрғыдан алғанда, коварианттық бұзылыс теориясының есепке алу құралы ретінде бұл графиктер Фейнман-Дайсон диаграммалары немесе Дайсон графиктер деп аталды, себебі олар енгізілген кезде жол интегралы белгісіз болды, ал Фриман Дайсонның статистикалық механикадағы бұзылыс кеңеюлерінен алынған ескірген бұзылыс теориясынан алынған түсіндірмесі бұрынғы әдістермен оқытылған физиктерге түсінуге оңай болды. Фейнман осы диаграммалар үшін күшті түрде қолдау көрсетуге мәжбүр болды, олар теңдеулер мен графиктермен оқытылған физиктерді жаңылыстырды.

Физикалық шындықты бейнелеу

Герард 'т Хофт пен Мартинус Велтман бөлшектер физикасы көзқарасынан жазылған, фундаменталды өзара әрекеттесулер туралы өздерінің баяндамаларында, бастапқы, реттелмеген Фейнман диаграммаларын фундаменталды бөлшектердің кванттық шашырауы физикасы туралы біздің қазіргі біліміміздің ең айқын бейнесі ретінде қарастыруға негізді аргументтер келтірді. Олардың ынталары Джеймс Дэниел Бьоркен мен Сидни Дреллдің нанымдарымен үйлеседі: Фейнман графиктері мен есептеу ережелері кванттық өріс теориясын түсінуге тырысатын тәжірибелік мәліметтермен тікелей байланыстағы нысанда жинақтайды. Теорияны графиктер арқылы ұсыну perturbation теориясын білдіргенімен, көп денелік проблемаларда графикалық әдістерді қолдану осы формализмның пертурбативті емес сипаттағы құбылыстармен жұмыс істеуге жеткілікті икемді екенін көрсетеді. Фейнманның есептеу ережелеріне енгізілген кейбір өзгерістер жергілікті канондық кванттық өріс теориясының күрделі математикалық құрылымын басып өтуі мүмкін. Өлшемдік реттеу – Фейнман диаграммаларын бағалауда интегралдарды реттеу әдісі; ол оларға өлшем деп аталатын көмекші кешенді параметрдің мероморфтық функциялары болып табылатын мәндерді тағайындайды. Өлшемдік реттеу Фейнман интегралын кеңістік-уақыт өлшемі d және кеңістік-уақыт нүктелеріне тәуелді интеграл түрінде жазады.

Бөлшектердің жолды түсіндіруі

Фейнман диаграммасы – кванттық өріс теориясы процестерін бөлшектердің өзара әрекеттесуі тұрғысынан көрсетеді. Бөлшектер диаграмманың сызықтары арқылы бейнеленеді, олар бөлшектің түріне қарай қисық немесе түзу, жебелі немесе жебесіз болуы мүмкін. Сызықтардың басқа сызықтарға қосылатын нүктесі – бұл төбе, осы жерде бөлшектер кездесіп, өзара әрекеттеседі: жаңа бөлшектерді шығарып немесе сіңіріп, бір-бірін бұрып немесе түрін өзгертеді. Сызықтардың үш түрі бар: ішкі сызықтар екі төбені байланыстырады, кіріс сызықтар «өткеннен» төбеге дейін созылып, бастапқы күйді көрсетеді, ал шығыс сызықтар төбеден «болашаққа» созылып, соңғы күйді көрсетеді (соңғы екеуі сыртқы сызықтар деп те аталады). Дәстүр бойынша, диаграмманың төменгі жағы өткенді, жоғарғы жағы болашақты білдіреді; кейде өткен сол жақта, ал болашақ оң жақта болады. Шашырау амплитудасының орнына корреляциялық функцияларды есептегенде, өткен мен болашақ жоқ болады және барлық сызықтар ішкі болып табылады. Бөлшектер кішкентай «x» әріптерімен басталып, аяқталады, олар корреляциясы есептелетін операторлардың орнын көрсетеді. Фейнман диаграммасы – бірнеше түрлі жолмен жүзеге асуы мүмкін процесс үшін жалпы амплитудаға үлес қосатын суретті бейнелеу. Келіп түсетін бөлшектердің тобы бір-бірінен шашырағанда, бұл процесті бөлшектердің барлық мүмкін жолдармен, тіпті уақыттың кері бағытында қозғалу жолдарын қоса алғанда, жүретін процесс ретінде қарастыруға болады. Фейнман диаграммалары көбінесе кеңістік-уақыт диаграммаларымен және көпіршік камераларының суреттерімен шатастырылады, себебі олардың барлығы бөлшектердің шашырауын сипаттайды. Фейнман диаграммасы – шашырау процесінде бөлшектің физикалық орнын емес, бөлшектердің өзара әрекеттесуін көрсететін графиктер. Көпіршік камерасының суретінен айырмашылығы, кез келген бөлшек өзара әрекеттесуін тек барлық Фейнман диаграммаларының қосындысы ғана көрсетеді; бөлшек өзара әрекеттескен сайын нақты бір диаграмманы таңдамайды. Қосындылау заңы суперпозиция принципіне сәйкес келеді – әрбір диаграмма процестің жалпы амплитудасына үлес қосады.

A Feynman diagram is a representation of quantum field theory processes in terms of particle interactions. The particles are represented by the lines of the diagram, which can be squiggly or straight, with an arrow or without, depending on the type of particle. A point where lines connect to other lines is a vertex, and this is where the particles meet and interact: by emitting or absorbing new particles, deflecting one another, or changing type. There are three different types of lines: internal lines connect two vertices, incoming lines extend from "the past" to a vertex and represent an initial state, and outgoing lines extend from a vertex to "the future" and represent the final state (the latter two are also known as external lines). Traditionally, the bottom of the diagram is the past and the top the future; other times, the past is to the left and the future to the right. When calculating correlation functions instead of scattering amplitudes, there is no past and future and all the lines are internal. The particles then begin and end on little x's, which represent the positions of the operators whose correlation is being calculated. Feynman diagrams are a pictorial representation of a contribution to the total amplitude for a process that can happen in several different ways. When a group of incoming particles are to scatter off each other, the process can be thought of as one where the particles travel over all possible paths, including paths that go backward in time. Feynman diagrams are often confused with spacetime diagrams and bubble chamber images because they all describe particle scattering. Feynman diagrams are graphs that represent the interaction of particles rather than the physical position of the particle during a scattering process. Unlike a bubble chamber picture, only the sum of all the Feynman diagrams represent any given particle interaction; particles do not choose a particular diagram each time they interact. The law of summation is in accord with the principle of superposition—every diagram contributes to the total amplitude for the process.

Сипаттама

Фейнман диаграммасы кванттық өту амплитудасына бастапқы кванттық күйден соңғы кванттық күйге ауысудың бұзылыс теориялық үлесін көрсетеді. Мысалы, электрон-позитрон жойылған кезде бастапқы күй бір электрон және бір позитрон, ал соңғы күй – екі фотон болады. Бастапқы күй көбінесе диаграмманың сол жағында, ал соңғы күй оң жағында бейнеленеді (дегенмен, басқа да конвенциялар жиі қолданылады). Фейнман диаграммасы нүктелерден, оларды «түйіндер» деп атайды, және түйіндерге жалғанған сызықтардан тұрады. Бастапқы күйдегі бөлшектер бастапқы күй бағытында (мысалы, солға қарай) шығып тұрған сызықтармен көрсетіледі, ал соңғы күйдегі бөлшектер соңғы күй бағытында (мысалы, оңға қарай) шығып тұрған сызықтармен бейнеленеді. КЭҚ-да екі түрлі бөлшек бар: материя бөлшектері, мысалы электрондар немесе позитрондар (фермиондар деп аталады), және алмасу бөлшектері (өлшеу бозондары деп аталады). Олар Фейнман диаграммасында былай бейнеленеді: Бастапқы күйдегі электрон – спинін көрсететін жебесі бар қатты сызықпен көрсетіледі, мысалы, түйінге қарай (→•). Соңғы күйдегі электрон – спинін көрсететін жебесі бар сызықпен көрсетіледі, мысалы, түйінен шығатын (•→). Бастапқы күйдегі позитрон – спинін көрсететін жебесі бар қатты сызықпен көрсетіледі, мысалы, түйінен шығатын (←•). Соңғы күйдегі позитрон – спинін көрсететін жебесі бар сызықпен көрсетіледі, мысалы, түйінге қарай (•←). Бастапқы және соңғы күйдегі виртуалды фотон – толқынды сызықпен (~• және •~) көрсетіледі. КЭҚ-да түйінге әрқашан үш сызық жалғанады: бір бозондық сызық, түйінге қарай бағытталған жебесі бар бір фермиондық сызық және түйінен алыс бағытталған жебесі бар бір фермиондық сызық. Түйіндер бозондық немесе фермиондық таратушымен байланысты болуы мүмкін. Бозондық таратушы – екі түйінді жалғайтын толқынды сызықпен көрсетіледі (•~•). Фермиондық таратушы – бір немесе екінші бағыттағы жебесі бар қатты сызықпен екі түйінді жалғайды (•←•). Түйіндердің саны өту амплитудасының бұзылыс теориялық қатарындағы мүшенің ретін анықтайды.

A Feynman diagram represents a perturbative contribution to the amplitude of a quantum transition from some initial quantum state to some final quantum state. For example, in the process of electron positron annihilation the initial state is one electron and one positron, the final state: two photons. The initial state is often assumed to be at the left of the diagram and the final state at the right (although other conventions are also used quite often). A Feynman diagram consists of points, called vertices, and lines attached to the vertices. The particles in the initial state are depicted by lines sticking out in the direction of the initial state (e. g., to the left), the particles in the final state are represented by lines sticking out in the direction of the final state (e. g., to the right). In QED there are two types of particles: matter particles such as electrons or positrons (called fermions) and exchange particles (called gauge bosons). They are represented in Feynman diagrams as follows:
Electron in the initial state is represented by a solid line, with an arrow indicating the spin of the particle e. g. pointing toward the vertex (→•). Electron in the final state is represented by a line, with an arrow indicating the spin of the particle e. g. pointing away from the vertex: (•→). Positron in the initial state is represented by a solid line, with an arrow indicating the spin of the particle e. g. pointing away from the vertex: (←•). Positron in the final state is represented by a line, with an arrow indicating the spin of the particle e. g. pointing toward the vertex: (•←). Virtual Photon in the initial and the final state is represented by a wavy line (~• and •~). In QED a vertex always has three lines attached to it: one bosonic line, one fermionic line with arrow toward the vertex, and one fermionic line with arrow away from the vertex. The vertices might be connected by a bosonic or fermionic propagator. A bosonic propagator is represented by a wavy line connecting two vertices (•~•). A fermionic propagator is represented by a solid line (with an arrow in one or another direction) connecting two vertices, (•←•). The number of vertices gives the order of the term in the perturbation series expansion of the transition amplitude.

Жол интегралының құрастырылуы

Жол интегралында өріс Лагранжианы, барлық мүмкін өріс тарихтары бойынша интегралданады және бір өріс конфигурациясынан екіншісіне өтудің ықтималдық амплитудасын анықтайды. Мағыналы болу үшін, өріс теориясы жақсы анықталған негізгі күйге ие болуы керек, ал интеграл сәл қиял уақытына бұрылуы керек, яғни Уик айналымы. Жол интегралы формализмі жоғарыда аталған канондық оператор формализмімен толықтай эквивалентті.

Қарым-қатынас

Қарым-қатынастар жоғары реттік үлестермен көрсетіледі, себебі квадраттық үлестер әрқашан Гаусс екендігін білдіреді. Ең қарапайым қарым-қатынас – төртінші реттік өзара әрекеттесу, оның әрекеті:

Комбинаторлық фактор 4! неліктен пайда болатыны жақын арада түсінікті болады. Әрекетті тор (немесе үздіксіз) Фурье режимдері арқылы жазу:

Мұнда SF – еркін әрекет, оның корреляциялық функциялары Вик теоремасымен берілген. Жол интегралындағы S-тің экспонентасын λ-ның дәрежелеріне дейін кеңейту арқылы еркін әрекетке түзетулердің қатарын аламыз. Сондықтан, өзара әрекеттесетін әрекеттің жол интегралы – еркін әрекетке түзетулердің дәрежелік қатары болып табылады. X арқылы белгіленген мүшені φ(k) әрбір факторы үшін төрт жарты сызық ретінде қарастыру керек. Бұл жарты сызықтар төбеде түйіседі, бұл импульстардың қосындысы тең болатынын қамтамасыз ететін дельта-функциясына үлес қосады. Өзара әрекеттесетін теориядағы корреляциялық функцияны есептеу үшін енді X мүшелерінен де үлес келеді. Мысалы, төрт өрістің корреляторының жол интегралы:

еркін өріс жағдайында тек k импульстары жұптар бойынша тең болғанда ғана нөлден өзгеше болса, енді k-ның барлық мәндері үшін нөлден өзгеше. φ(ki) кіріспелерінің импульстары енді кеңейтудегі X-тің импульстарымен сәйкес келеді. Кіріспелерді де жарты сызықтар ретінде қарастыру керек, бұл жағдайда төрт, олар k импульсын алып жүреді, бірақ ол интегралдана қоймайды. Ең төменгі реттік үлес әрекеттің Тейлор кеңейтуіндегі бірінші маңызды емес мүше e^(−SF)X-тен келеді. Вик теоремасы талап етеді, X жарты сызықтарындағы импульстар, X-тегі φ(k) факторлары сыртқы жарты сызықтардың импульстарымен жұптар бойынша сәйкес келуі керек. Жаңа үлес тең:

X-тегі 4! саны жойылды, себебі X-тегі жарты сызықтарды сыртқы жарты сызықтармен сәйкестендірудің 4! әртүрлі жолы бар. Бұл жарты сызықтарды жұптар бойынша сәйкестендірудің әрбір әртүрлі тәсілі k1,2,3,4 мәндеріне қарамастан, Вик теоремасы бойынша дәл бір рет үлес қосады.

Бұраулар реті

Орман диаграммасы – барлық ішкі сызықтардың импульсі сыртқы сызықтармен және әр түйінде кіріс және шығыс импульстерінің теңдігі шартымен толық анықталатын диаграмма. Мұндай диаграммалардың үлесі интеграциясыз таратушылардың көбейтіндісі болып табылады. Ағаш диаграммасы – орман диаграммасының бір түрі. Ағаш диаграммасының мысалы – төрт сыртқы сызықтың әрқайсысы X белгісімен аяқталады. Тағы бір мысал – үш сыртқы сызық X белгісімен аяқталады, ал қалған жартылай сызық басқа X белгісімен жалғасады, ал осы X белгісінің қалған жартылай сызықтары сыртқы сызықтарға жалғанады. Бұлардың барлығы да орман диаграммалары болып табылады (өйткені әр ағаш – орман); ағаш емес орманның мысалы – сегіз сыртқы сызық екі X белгісімен аяқталады. Осы жағдайлардың барлығында ішкі сызықтардағы импульс сыртқы импульспен және әр түйіндегі импульс сақталу шартымен анықталады екенін тексеру оңай. Орман диаграммасы емес диаграмма – бұралу диаграммасы деп аталады. Мысалы, X белгісінің екі сызығы сыртқы сызықтарға, ал қалған екі сызығы бір-біріне жалғанады. Бір-біріне жалғанған екі сызықтың кез келген импульсі болуы мүмкін, себебі олар екеуі де бір түйінге кіріп, сол түйінен шығады. Күрделірек мысал – екі X белгісінің аяқтарын сәйкестендіру арқылы бір-біріне жалғануы. Мұндай диаграммада сыртқы сызықтар мүлдем жоқ. Бұралу диаграммаларының бұралу диаграммалары деп аталуының себебі – импульс сақталу арқылы анықталмайтын k интегралдарының саны диаграммадағы тәуелсіз жабық бұралулардың санына тең. Тәуелсіз бұралулар гомология теориясында есептеледі. Гомология нақты мәнді (немесе дәлірек айтқанда, 'R'^(d) мәнді) болып табылады, әр сызыққа сәйкес келетін мән – импульс. Шекара операторы әр сызықты оның басындағы оң және құйрығындағы теріс белгілермен соңғы түйіндерінің қосындысына дейін түрлендіреді. Импульс сақталу шарты – дәл k-мәнді салмақталған графтың шекарасы нөлге тең болу шарты. Жабық бұралу болған жағдайда k мәндерінің жиынтығы кез келген уақытта қайта анықталуы мүмкін. Жабық бұралу – бір түйінге ешқашан қайта оралмайтын, жапсарлас түйіндердің циклдік жолы. Мұндай циклді гипотетикалық 2-ұяшықтың шекарасы деп қарастыруға болады. Импульсті сақтау шартын қанағаттандыратын (яғни нөлдік шекарасы бар) графтың k белгілемелері, k-ның қайта анықталуына дейін (яғни 2-ұяшықтың шекарасына дейін) графтың бірінші гомологиясын анықтайды. Сөйтіп, анықталмаған тәуелсіз импульстердің саны тәуелсіз гомологиялық бұралулардың санына тең болады. Көптеген графтар үшін бұл сан ең қарапайым түсінікпен есептелген бұралулардың санына сәйкес келеді.

A forest diagram is one where all the internal lines have momentum that is completely determined by the external lines and the condition that the incoming and outgoing momentum are equal at each vertex. The contribution of these diagrams is a product of propagators, without any integration. A tree diagram is a connected forest diagram. An example of a tree diagram is the one where each of four external lines end on an X. Another is when three external lines end on an X, and the remaining half line joins up with another X, and the remaining half lines of this X run off to external lines. These are all also forest diagrams (as every tree is a forest); an example of a forest that is not a tree is when eight external lines end on two Xs. It is easy to verify that in all these cases, the momenta on all the internal lines is determined by the external momenta and the condition of momentum conservation in each vertex. A diagram that is not a forest diagram is called a loop diagram, and an example is one where two lines of an X are joined to external lines, while the remaining two lines are joined to each other. The two lines joined to each other can have any momentum at all, since they both enter and leave the same vertex. A more complicated example is one where two Xs are joined to each other by matching the legs one to the other. This diagram has no external lines at all. The reason loop diagrams are called loop diagrams is because the number of k integrals that are left undetermined by momentum conservation is equal to the number of independent closed loops in the diagram, where independent loops are counted as in homology theory. The homology is real valued (actually 'R'^(d) valued), the value associated with each line is the momentum. The boundary operator takes each line to the sum of the end vertices with a positive sign at the head and a negative sign at the tail. The condition that the momentum is conserved is exactly the condition that the boundary of the k valued weighted graph is zero. A set of valid k values can be arbitrarily redefined whenever there is a closed loop. A closed loop is a cyclical path of adjacent vertices that never revisits the same vertex. Such a cycle can be thought of as the boundary of a hypothetical 2 cell. The k labellings of a graph that conserve momentum (i. e. which has zero boundary) up to redefinitions of k (i. e. up to boundaries of 2 cells) define the first homology of a graph. The number of independent momenta that are not determined is then equal to the number of independent homology loops. For many graphs, this is equal to the number of loops as counted in the most intuitive way.

Бөлшектердің жолды бейнелеуі

Фейнман диаграммалары бастапқыда Фейнманның сынақ пен қате жолымен ашылған, бұл әртүрлі бөлшектер траекторияларының S матрицасына тигізетін үлесін бейнелеу тәсілі болған.

Түйсіндіргіш емес әсерлері

Фейнман диаграммаларын тербеліс сериясы ретінде қарастыра отырып, туннельдеу сияқты тербеліссіз эффектілер көрінбейді, себебі кез келген полиномнан жылдам нөлге жақындасатын кез келген эффект Тейлор қатарына әсер етпейді. Тіпті байланысқан күйлер де болмайды, өйткені кез келген шекті ретте бөлшектер тек шекті санда ғана алмасады, ал байланысқан күйді жасау үшін байланыстыратын күш мәңгілік болуы керек. Бірақ бұл көзқарас бұрыс, себебі диаграммалар тек шашырауды ғана сипаттамайды, сонымен қатар олар қысқа қашықтықтағы өріс теориясының корреляцияларын көрсетеді. Олар тек бөлшектердің шашырауы сияқты асимптотикалық процестерді ғана кодтамайды, сонымен қатар өрістер үшін көбейту ережелерін, операторлық өнімнің кеңеюін сипаттайды. Тербеліссіз туннельдеу процестерінде, байланыс константасы кішкентай болғанда орташа есеппен үлкен болатын өрістік конфигурациялар болады, бірақ әрбір конфигурация Фейнман диаграммаларымен сипатталған бөлшектердің когерентті суперпозициясы болып табылады, олардың жергілікті өзара әрекеттесулері бар. Байланыс кішкентай болса, бұл үлкен мөлшерде бөлшектердің қатысуымен ұжымдық процестерге айналады, бірақ олардың әрқайсысының өзара әрекеттесуі қарапайым. (Кез келген өзара әрекеттесетін кванттық өріс теориясының тербеліс қатарының конвергенция радиусы нөлге тең, бұл мұндай өрістік конфигурацияларды сипаттау үшін қажетті диаграммалардың шексіз қатарының лимитін қиындатады (байланыс константасы нөлге жақындағанда)). Бұл, тербеліссіз эффектілер диаграммалардың шексіз сыныптарының қайта қосылуында асимптотикалық түрде көрінеді және бұл диаграммалар жергілікті түрде қарапайым болуы мүмкін дегенді білдіреді. Графиктер қозғалыс теңдеулерін анықтайды, ал рұқсат етілген үлкен масштабтағы конфигурациялар тербеліссіз физиканы сипаттайды. Бірақ Фейнман пропогаторлары уақытта жергілікті емес болғандықтан, өрістік процесті когерентті бөлшектік тілге аудару толығымен интуитивті емес және тек белгілі бір ерекше жағдайларда ғана нақты әзірленген. Релятивистік емес байланысқан күйлер жағдайында Бете-Сальпетер теңдеуі релятивистік атомды сипаттауға кіретін диаграммалар класын сипаттайды. Кванттық хромодинамика үшін Шифман-Вайнштейн-Захаров қағидалары бөлшектер тілінде тербеліссіз қоздырылған ұзақ толқынды өріс режимдерін сипаттайды, бірақ тек феноменологиялық түрде. Тербеліс теориясының жоғары реттеріндегі Фейнман диаграммаларының саны өте көп, себебі диаграммалардың саны белгілі бір түйіндер саны бар графиктер санымен бірдей. Тербеліссіз эффектілер диаграммалар мен қайта қосылулардың саны жоғары ретте әртүрлі болатын жолға із қалдырады. Тек тербеліссіз эффектілер диаграммаларда жасырын түрде көрініс тапқандықтан, жүйе теориясында тербеліссіз эффектілерді талдау мүмкін болды, онда көптеген жағдайларда Фейнман сипаттамасы ғана қол жетімді.

Thinking of Feynman diagrams as a perturbation series, nonperturbative effects like tunneling do not show up, because any effect that goes to zero faster than any polynomial does not affect the Taylor series. Even bound states are absent, since at any finite order particles are only exchanged a finite number of times, and to make a bound state, the binding force must last forever. But this point of view is misleading, because the diagrams not only describe scattering, but they also are a representation of the short distance field theory correlations. They encode not only asymptotic processes like particle scattering, they also describe the multiplication rules for fields, the operator product expansion. Nonperturbative tunneling processes involve field configurations that on average get big when the coupling constant gets small, but each configuration is a coherent superposition of particles whose local interactions are described by Feynman diagrams. When the coupling is small, these become collective processes that involve large numbers of particles, but where the interactions between each of the particles is simple. (The perturbation series of any interacting quantum field theory has zero radius of convergence, complicating the limit of the infinite series of diagrams needed (in the limit of vanishing coupling) to describe such field configurations.) This means that nonperturbative effects show up asymptotically in resummations of infinite classes of diagrams, and these diagrams can be locally simple. The graphs determine the local equations of motion, while the allowed large scale configurations describe non perturbative physics. But because Feynman propagators are nonlocal in time, translating a field process to a coherent particle language is not completely intuitive, and has only been explicitly worked out in certain special cases. In the case of nonrelativistic bound states, the Bethe–Salpeter equation describes the class of diagrams to include to describe a relativistic atom. For quantum chromodynamics, the Shifman–Vainshtein–Zakharov sum rules describe non perturbatively excited long wavelength field modes in particle language, but only in a phenomenological way. The number of Feynman diagrams at high orders of perturbation theory is very large, because there are as many diagrams as there are graphs with a given number of nodes. Nonperturbative effects leave a signature on the way in which the number of diagrams and resummations diverge at high order. It is only because non perturbative effects appear in hidden form in diagrams that it was possible to analyze nonperturbative effects in string theory, where in many cases a Feynman description is the only one available.

Танымал мәдениетте

Жоғарыда көрсетілген кварк-антикварик жұпты құрайтын виртуалды бөлшектің диаграммасы "Үлкен жарылыс теориясы" телесериалының "Қоспа қымыз болжамы" атты эпизодында көрсетілген. 2012 жылдың 11 қаңтарында жарияланған PhD Comics комиксінде кванттық академиялық қарым-қатынастарды бейнелейтін және сипаттайтын Фейнман диаграммалары көрсетілген, яғни PhD студенттері өз жетекшілерімен қарым-қатынас жасаған кездегі жолдары. Стивен Бакстердің "Вакуумдық диаграммалар" атты ғылыми-фантастикалық әңгімесінде атаулы вакуумдық диаграмма, Фейнман диаграммасының нақты бір түрі бейнеленген. Фейнман және оның әйелі Гвенет Хоуарт 1975 жылы Dodge Tradesman Maxivan көлігін сатып алып, оны Фейнман диаграммаларымен бояды. Қазіргі уақытта көлік видео ойын дизайнері және физик Шеймус Блэклиге тиесілі. "Qantum" нөмірі тіркелген.