Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада қайталанатын функция жүйелері (IFS) — фракталдарды құру әдісі; нәтижесіндегі фракталдар көбінесе өзіне ұқсас болады. IFS фракталдары фракталдық геометрияға қарағанда жиын теориясымен байланысты. Олар 1981 жылы енгізілді. IFS фракталдары, қалыпты жағдайда, кез келген өлшемде болуы мүмкін, бірақ көбінесе 2D кеңістікте есептеліп, суреттеледі. Фрактал өзінің бірнеше көшірмелерінің бірігуінен тұрады, әр көшірме функция арқылы түрлендіріледі (сондықтан "функция жүйесі" деп аталады). Классикалық мысал — Серпинский үшбұрышы. Функциялар әдетте қысқартушы болады, яғни нүктелерді жақындатады және пішіндерді кішірейтеді. Осылайша, IFS фракталының пішіні бірнеше, мүмкін, бір-бірімен жабысып жатқан кішірек көшірмелерден тұрады, олардың әрқайсысы да өзінің көшірмелерінен тұрады, бұл процесс шексіз жалғасады. Осының нәтижесінде фракталдың өзіне ұқсас табиғаты пайда болады.
In mathematics, iterated function systems (IFSs) are a method of constructing fractals; the resulting fractals are often self similar. IFS fractals are more related to set theory than fractal geometry. They were introduced in 1981. IFS fractals, as they are normally called, can be of any number of dimensions, but are commonly computed and drawn in 2D. The fractal is made up of the union of several copies of itself, each copy being transformed by a function (hence "function system"). The canonical example is the Sierpiński triangle. The functions are normally contractive, which means they bring points closer together and make shapes smaller. Hence, the shape of an IFS fractal is made up of several possibly overlapping smaller copies of itself, each of which is also made up of copies of itself, ad infinitum. This is the source of its self similar fractal nature.
Анықтама
Формальды түрде, итерацияланған функциялар жүйесі – толық метрикалық кеңістіктегі қысқарту түрлендірулерінің шекті жиынтығы. Символдық түрде, егер әрбір толық метрикалық кеңістікте қысқарту болса, онда ол итерацияланған функциялар жүйесі болып табылады.
Formally, an iterated function system is a finite set of contraction mappings on a complete metric space. Symbolically,
is an iterated function system if each is a contraction on the complete metric space .
Құрылыстар
Кейде әрбір функция сызықтық немесе, жалпы алғанда, аффиндік түрлендіру болуы керек, сондықтан олар матрица арқылы көрсетіледі. Дегенмен, IFS-тер сызықтық емес функциялардан да құрылуы мүмкін, оның ішінде проекциялық түрлендірулер мен Мёбиус түрлендірулері де бар. Фракталды жалын – сызықтық емес функциялары бар IFS-тің мысалы. IFS фракталдарын есептеу үшін ең көп қолданылатын алгоритм "хаос ойыны" деп аталады. Ол жазықтықта кездейсоқ нүктені таңдап, содан кейін функциялар жүйесінен кездейсоқ таңдалған функцияны қайталап қолдану арқылы нүктені келесі нүктеге түрлендіреді. Балама алгоритм – функциялардың барлық мүмкін тізбектерін белгілі бір максималды ұзындыққа дейін жасау, содан кейін осы тізбектерді бастапқы нүктеге немесе пішінге қолдану нәтижелерін көрсету. Бұл алгоритмдердің әрқайсысы бүкіл фрактал бойынша таратылған нүктелерді жасайтын жаһандық құрылымды ұсынады. Егер фракталдың кішкентай бөлігі салынатын болса, осы нүктелердің көп бөлігі экран шегінен шығып кетеді. Бұл осылай салынған IFS құрылымын ұлғайтуды қиын жасайды. IFS теориясы әрбір функцияның жирыңдалуын талап етеді, бірақ іс жүзінде IFS-ті іске асыратын бағдарламалық құралдар жүйенің орташа жирыңдалуын талап етеді.
Sometimes each function is required to be a linear, or more generally an affine, transformation, and hence represented by a matrix. However, IFSs may also be built from non linear functions, including projective transformations and Möbius transformations. The Fractal flame is an example of an IFS with nonlinear functions. The most common algorithm to compute IFS fractals is called the "chaos game". It consists of picking a random point in the plane, then iteratively applying one of the functions chosen at random from the function system to transform the point to get a next point. An alternative algorithm is to generate each possible sequence of functions up to a given maximum length, and then to plot the results of applying each of these sequences of functions to an initial point or shape. Each of these algorithms provides a global construction which generates points distributed across the whole fractal. If a small area of the fractal is being drawn, many of these points will fall outside of the screen boundaries. This makes zooming into an IFS construction drawn in this manner impractical. Although the theory of IFS requires each function to be contractive, in practice software that implements IFS only require that the whole system be contractive on average.
Кері проблема
IFS немесе PIFS параметрлерінің жиынтығынан сурет жасау үшін өте жылдам алгоритмдер бар. Суреттің әр пикселінің түсін сақтау және жіберуге қарағанда, оның қалай жасалғанының сипаттамасын сақтау, осы сипаттаманы мақсатты құрылғыға жіберу және мақсатты құрылғыда сол суретті қайта жасау әлдеқайда жылдам әрі аз орынды қажет етеді. Кері проблема одан қиын: кез келген сандық суретті, мысалы сандық фотосуретті берген кезде, итерация арқылы есептелгенде түпнұсқа суретке ұқсас сурет шығаратын IFS параметрлерінің жиынтығын табуға тырысу керек. 1989 жылы Арно Жаквин тек PIFS-ті пайдалана отырып, кері проблеманың шектеулі түріне шешім ұсынды; кері проблеманың жалпы түрі әлі де шешілмеген.
Very fast algorithms exist to generate an image from a set of IFS or PIFS parameters. It is faster and requires much less storage space to store a description of how it was created, transmit that description to a destination device, and regenerate that image anew on the destination device, than to store and transmit the color of each pixel in the image. The inverse problem is more difficult: given some original arbitrary digital image such as a digital photograph, try to find a set of IFS parameters which, when evaluated by iteration, produces another image visually similar to the original. In 1989, Arnaud Jacquin presented a solution to a restricted form of the inverse problem using only PIFS; the general form of the inverse problem remains unsolved.