Жартылай жергілікті түрде жай байланысты кеңістіктер
Semi-locally simply connected
Жабын кеңістіктері теориясындағы маңызды жағдай – жартылай жергілікті қарапайым байланыс. Бұл топологиялық кеңістіктегі "саңылаулар" мөлшеріне төменгі шек қояды. Математикалық түсініктер.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, әсіресе алгебралық топологияда, жартылай жергілікті түрде жай байланысқан – кеңістіктерді жабу теориясында туындайтын белгілі бір жергілікті байланыс шарттары. Дерексіз айтқанда, X топологиялық кеңістігі жартылай жергілікті түрде жай байланысқан, егер X-тегі «тесіктердің» мөлшеріне төменгі шек болса. Бұл шарт кеңістіктерді жабу теориясының көп бөлігі үшін қажет, соның ішінде әмбебап жабудың болуы және негізгі топтың кеңістіктер мен кіші топтары арасындағы Галуа сәйкестігі. Көптеген «жақсы» кеңістіктер, мысалы, манифольдтар және CW кешендері жартылай жергілікті түрде жай байланысқан, ал бұл шартты қанағаттандырмайтын топологиялық кеңістіктер патологиялық деп есептеледі. Жартылай жергілікті жай байланысқан кеңістікке стандартты мысал – Гавайи сергесі.
In mathematics, specifically algebraic topology, semi locally simply connected is a certain local connectedness condition that arises in the theory of covering spaces. Roughly speaking, a topological space X is semi locally simply connected if there is a lower bound on the sizes of the “holes” in X. This condition is necessary for most of the theory of covering spaces, including the existence of a universal cover and the Galois correspondence between covering spaces and subgroups of the fundamental group. Most “nice” spaces such as manifolds and CW complexes are semi locally simply connected, and topological spaces that do not satisfy this condition are considered somewhat pathological. The standard example of a non semi locally simply connected space is the Hawaiian earring.
Анықтама
X кеңістігі жартылай жергілікті түрде жай ғана байланысқан деп аталады, егер X-тегі әрбір нүкте үшін U-дағы кез келген цикл X ішінде бір нүктеге дейін қысқартыла алатын (яғни, U-дағы кез келген цикл X-те нөлдік гомотоптық) U-ға қатысты жақын маң бар болса. U жақын маңы жай ғана байланысқан болуы міндетті емес: U-дағы кез келген цикл X-те жиырылуы керек, бірақ жиырылу U-тің ішінде болуы қажет емес. Сондықтан, кеңістік жергілікті жай байланыста болмай, жартылай жергілікті жай байланыста болуы мүмкін. Осы анықтамаға сәйкес, X кеңістігі жартылай жергілікті түрде жай ғана байланысқан, егер X-тің әрбір нүктесі үшін U жақын маңы болса, онда U-ның негізгі тобынан X-тің негізгі тобына, U-дың X-ке енгізілу картасы арқылы туындайтын гомоморфизм тривиальды болады. Жабу кеңістіктері туралы көптеген маңызды теоремалар, оның ішінде әмбебап жабудың болуы және Галуа сәйкестігі, кеңістіктің жолмен байланысқан, жергілікті жолмен байланысқан және жартылай жергілікті жай ғана байланысқан болуын талап етеді, бұл жағдай unloopable (француз тілінде délaçable) деп аталады. Атап айтқанда, кеңістіктің жай ғана байланысқан жабу кеңістігіне ие болуы үшін осы шарт қажет.
A space X is called semi locally simply connected if every point in X has a neighborhood U with the property that every loop in U can be contracted to a single point within X (i. e. every loop in U is nullhomotopic in X). The neighborhood U need not be simply connected: though every loop in U must be contractible within X, the contraction is not required to take place inside of U. For this reason, a space can be semi locally simply connected without being locally simply connected. Equivalent to this definition, a space X is semi locally simply connected if every point in X has a neighborhood U for which the homomorphism from the fundamental group of U to the fundamental group of X, induced by the inclusion map of U into X, is trivial. Most of the main theorems about covering spaces, including the existence of a universal cover and the Galois correspondence, require a space to be path connected, locally path connected, and semi locally simply connected, a condition known as unloopable (délaçable in French). In particular, this condition is necessary for a space to have a simply connected covering space.
Мысалдар
Жарым жергілікті түрде жай ғана байланыспаған кеңістіктің қарапайым мысалы — Гавайи құлақшасы: орталықтары (1/n, 0) және радиусы 1/n болатын Евклид жазықтығындағы шеңберлердің бірігуі, мұнда n — табиғи сан. Бұл кеңістікке субкеңістік топологиясын қойыңыз. Содан кейін, координата басының кез келген маңында нөлге гомотопты емес шеңберлер болады. Гавайи құлақшасын жергілікті жай ғана байланыспаған, бірақ жарым жергілікті жай ғана байланысқан кеңістікті құру үшін де пайдалануға болады. Атап айтқанда, Гавайи құлақшасының конусы жирылатын, демек жарым жергілікті жай ғана байланысқан, бірақ ол жергілікті жай ғана байланыспаған.
A simple example of a space that is not semi locally simply connected is the Hawaiian earring: the union of the circles in the Euclidean plane with centers (1/n, 0) and radii 1/n, for n a natural number. Give this space the subspace topology. Then all neighborhoods of the origin contain circles that are not nullhomotopic. The Hawaiian earring can also be used to construct a semi locally simply connected space that is not locally simply connected. In particular, the cone on the Hawaiian earring is contractible and therefore semi locally simply connected, but it is clearly not locally simply connected.
Негізгі топ топологиясы
Фундаменталды топтағы табиғи топология тұрғысынан қарағанда, жергілікті жолмен байланысты кеңістік жартылай жергілікті жай байланысты болады, егер және тек қана оның квазитопологиялық фундаменталды тобы дискретті болса.
In terms of the natural topology on the fundamental group, a locally path connected space is semi locally simply connected if and only if its quasitopological fundamental group is discrete.