Введение

В математике, в частности в алгебраической топологии, полулокальная простосвязность — это определенное условие локальной связности, возникающее в теории накрывающих пространств. Говоря грубо, топологическое пространство X является полулокально простосвязным, если существует нижняя граница на размеры "дыр" в X. Это условие необходимо для большей части теории накрывающих пространств, включая существование универсального накрытия и соответствие Галуа между накрывающими пространствами и подгруппами фундаментальной группы. Большинство "хороших" пространств, таких как многообразия и CW-комплексы, являются полулокально простосвязными, а топологические пространства, не удовлетворяющие этому условию, считаются несколько патологическими. Стандартным примером пространства, не являющегося полулокально простосвязным, является гавайская серьга.

Определение

Пространство X называется полулокально просто связанным, если для каждой точки в X существует окрестность U, обладающая свойством, что каждая петля в U может быть стянута в точку внутри X (то есть каждая петля в U является нуль-гомотопичной в X). Окрестность U не обязана быть просто связной: хотя каждая петля в U должна быть стягиваемой внутри X, стягивание не обязательно должно происходить внутри U. По этой причине пространство может быть полулокально просто связным, не будучи локально просто связным. Эквивалентно, пространство X полулокально просто связно, если для каждой точки в X существует окрестность U, для которой гомоморфизм из фундаментальной группы U в фундаментальную группу X, индуцированный отображением включения U в X, является тривиальным. Большинство основных теорем о накрывающих пространствах, включая существование универсального накрытия и соответствие Галуа, требуют, чтобы пространство было связным по путям, локально связным по путям и полулокально просто связным – условие, известное как нестягиваемое (délaçable на французском языке). В частности, это условие необходимо для того, чтобы пространство имело просто связное накрытие.

Примеры

Простым примером пространства, не являющегося полулокально просто связным, является гавайская сережка: объединение окружностей на евклидовой плоскости с центрами в точках (1/n, 0) и радиусами 1/n, где n – натуральное число. Наделим это пространство топологией подпространства. Тогда любая окрестность начала координат содержит окружности, не гомотопные нулю. Гавайскую сережку также можно использовать для построения полулокально просто связного пространства, которое не является локально просто связным. В частности, конус над гавайской сережкой стягиваем и, следовательно, полулокально просто связен, но очевидно не локально просто связен.

Топология фундаментальной группы

С точки зрения естественной топологии на фундаментальной группе, локально связное пространство с путями является полулокально простосвязным тогда и только тогда, когда его квазитопологическая фундаментальная группа дискретна.