Мыңбұрыш: Геометриялық және философиялық аспектілер
Chiliagon
Жүз мың қабырғалы полигон – chiliagon туралы біліңіз. Геометрия, бұрыштар, аудан есептеу, Schläfli символы, тұжырымдамалар мен ойлау қабілеті туралы ақпарат.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
1000 жиекті көпбұрыш
Polygon with 1000 edges
Геометрияда, хилиагон (/kɪ/l/i/ə/ɡɒ/n/) немесе 1000 гон – 1000 жиекті көпбұрыш. Философтар көбінесе хилиагонды ойдың табиғаты, жұмыс істеуі, мағынасы және ақыл-ой бейнесі туралы идеяларды түсіндіру үшін пайдаланады.
In geometry, a chiliagon ('/k//ɪ//l//i//ə//ɡ//ɒ//n/) or 1,000 gon is a polygon with 1,000 sides. Philosophers commonly refer to chiliagons to illustrate ideas about the nature and workings of thought, meaning, and mental representation.
Тұрақты чилиагон
Түземді чилиагон Шлефли символымен {1,000} бейнеленеді және қысқартылған 500-бұрыш, t{500}, немесе екі рет қысқартылған 250-бұрыш, tt{250}, немесе үш рет қысқартылған 125-бұрыш, ttt{125} түрінде құрастырылуы мүмкін. Тәртіптік чилиагонның әрбір ішкі бұрышының өлшемі 179°38'24" тең. А ұзындығы a қабырғалары бар тұрақты чилиагонның ауданы келесідей беріледі:
A regular chiliagon is represented by Schläfli symbol {1,000} and can be constructed as a truncated 500 gon, t{500}, or a twice truncated 250 gon, tt{250}, or a thrice truncated 125 gon, ttt{125}. The measure of each internal angle in a regular chiliagon is 179°38'24"/rad. The area of a regular chiliagon with sides of length a is given by
Бұл нәтиже оның сырттай орап тұрған шеңберінің ауданынан миллионнан 4 бөліктен кем айырмашылықты құрайды. 1000 = 23 × 53 болғандықтан, қабырғалар саны ерекше Ферма сандарының көбейтіндісі де, екінің дәрежесі де емес. Осылайша, тұрақты чилиагон құрастырылатын көпбұрыш емес. Шындығында, бұрыш үш бөлікке бөлу құралын қолдану арқылы да оны құрастыру мүмкін емес, себебі қабырғалар саны ерекше Пирпонт сандарының көбейтіндісі де, екі және үштің дәрежелерінің көбейтіндісі де емес. Сондықтан, чилиагонды құру үшін Гиппидің квадратрисі, Архимед спиралі немесе басқа көмекші қисықтар сияқты басқа әдістер қажет. Мысалы, 9° бұрыш алдымен циркуль мен сызғышпен салынуы мүмкін, содан кейін қажетті 21'36" ішкі бұрышты алу үшін қосалқы қисықты екі рет қолдану арқылы беске бөлінеді (бес тең бөлікке бөлінеді).
This result differs from the area of its circumscribed circle by less than 4 parts per million. Because 1,000 = 23 × 53, the number of sides is neither a product of distinct Fermat primes nor a power of two. Thus the regular chiliagon is not a constructible polygon. Indeed, it is not even constructible with the use of an angle trisector, as the number of sides is neither a product of distinct Pierpont primes, nor a product of powers of two and three. Therefore, construction of a chiliagon requires other techniques such as the quadratrix of Hippias, Archimedean spiral, or other auxiliary curves. For example, a 9° angle can first be constructed with compass and straightedge, which can then be quintisected (divided into five equal parts) twice using an auxiliary curve to produce the 21'36" internal angle required.
Философиялық қолдану
Рене Декарт өзінің алтыншы медитациясында таза интеллект пен қиял арасындағы айырмашылықты көрсету үшін чилиагонды мысал ретінде пайдаланады. Ол, хилиагон туралы ойлағанда, адам «мың жағын елестете алмайды немесе оларды өз алдына көріп тұрғандай сезінбейді» дейді, – мысалы, үшбұрышты елестетер кездегідей. Қиял «шатасқан бейне жасап шығарады», ол он мың жақты көпбұрыш – мириагон жасағаннан ешқандай айырмасы жоқ. Дегенмен, ол чилиагонның не екенін түсінеді, үшбұрыштың не екенін түсінгендей, және оны мириагоннан ажырата алады. Сондықтан, Декарттың пікірінше, интеллект қиялға тәуелді емес, себебі қиял мүлдем қабілетсіз болған кезде де анық және айқын идеяларды ұстап тұра алады. Декарттың замандасы, философ Пьер Гассенди, бұл түсіндірмеге қарсы болды, оның ойынша Декарт чилиагонды елестете алғанмен, оны түсіне алмады: «Адам ‘чилиагон’ сөзінің мың бұрышты фигураны білдіретінін түсіне алады, бірақ бұл тек терминнің мағынасы ғана, ал фигураның мың бұрышын сіз елестеткеннен гөрі жақсырақ түсінесіз дегенді білдірмейді». Чилиагон мысалын басқа философтар да келтіреді. Дэвид Хьюм «көздің чилиагон бұрыштарының 1.996 тік бұрышқа тең екенін анықтауы немесе осы пропорцияға жақындаған кез келген болжам жасауы мүмкін емес» екенін атап көрсетті. Готфрид Лейбниц Джон Локктың чилиагонды қолдануына қатысты пікір білдіріп, адамның көпбұрыш туралы идеяға ие болуы үшін оның суреті болуы міндетті емес екенін, сонымен қатар идеялар мен суреттерді ажырата білуге болатынын айтты. Иммануил Кант еннеаконтагексагонға (96 қабырғалы) сілтеме жасайды, бірақ Декарт көтерген сұраққа жауап береді. Анри Пуанкаре чилиагонды «интуиция міндетті түрде сезімдерге негізделмейді» деген дәлел ретінде пайдаланады, себебі «біз өзімізге чилиагонды елестете алмаймыз, бірақ жалпы көпбұрыштар туралы интуиция арқылы ойланамыз, олардың ішінде чилиагон да бар». Декарттың чилиагон мысалынан шабыттанған Родерик Чишолм және 20 ғасырдың басқа философтары ұқсас мәселелерді көрсету үшін ұқсас мысалдарды қолданды. Чишолмның «ұсақ дақты тауығы», оны ойлап табу үшін белгілі бір саны болуы міндетті емес, олардың арасында ең танымал болып табылады.
René Descartes uses the chiliagon as an example in his Sixth Meditation to demonstrate the difference between pure intellection and imagination. He says that, when one thinks of a chiliagon, he "does not imagine the thousand sides or see them as if they were present" before him – as he does when one imagines a triangle, for example. The imagination constructs a "confused representation," which is no different from that which it constructs of a myriagon (a polygon with ten thousand sides). However, he does clearly understand what a chiliagon is, just as he understands what a triangle is, and he is able to distinguish it from a myriagon. Therefore, the intellect is not dependent on imagination, Descartes claims, as it is able to entertain clear and distinct ideas when imagination is unable to. Philosopher Pierre Gassendi, a contemporary of Descartes, was critical of this interpretation, believing that while Descartes could imagine a chiliagon, he could not understand it: one could "perceive that the word 'chiliagon' signifies a figure with a thousand angles [but] that is just the meaning of the term, and it does not follow that you understand the thousand angles of the figure any better than you imagine them." The example of a chiliagon is also referenced by other philosophers. David Hume points out that it is "impossible for the eye to determine the angles of a chiliagon to be equal to 1.996 right angles, or make any conjecture, that approaches this proportion." Gottfried Leibniz comments on a use of the chiliagon by John Locke, noting that one can have an idea of the polygon without having an image of it, and thus distinguishing ideas from images. Immanuel Kant refers instead to the enneacontahexagon (96 gon), but responds to the same question raised by Descartes. Henri Poincaré uses the chiliagon as evidence that "intuition is not necessarily founded on the evidence of the senses" because "we can not represent to ourselves a chiliagon, and yet we reason by intuition on polygons in general, which include the chiliagon as a particular case." Inspired by Descartes's chiliagon example, Roderick Chisholm and other 20th century philosophers have used similar examples to make similar points. Chisholm's "speckled hen", which need not have a determinate number of speckles to be successfully imagined, is perhaps the most famous of these.
Симметрия
Тұрақты чилиагонның Dih1000 диэдрлік симметриясы бар, 2000 реттік, 1000 көрістіру сызықтарымен көрсетілген. Dih1000-де 15 диэдрлік кіші топтар бар: Dih500, Dih250, Dih125, Dih200, Dih100, Dih50, Dih25, Dih40, Dih20, Dih10, Dih5, Dih8, Dih4, Dih2 және Dih1. Одан әрі, 16 циклдік симметрия кіші топтары бар: Z1000, Z500, Z250, Z125, Z200, Z100, Z50, Z25, Z40, Z20, Z10, Z5, Z8, Z4, Z2 және Z1, мұнда Zn π/n радиандық бұрылу симметриясын көрсетеді. Джон Конвей осы төменгі симметрияларды әріптермен белгілейді, симметрияның реті әріптен кейін келеді. Ол d (диагональды) – төбелер арқылы өтетін көрістіру сызықтарымен, p – қабырғалар арқылы өтетін (перпендикуляр) көрістіру сызықтарымен, i – төбелер мен қабырғалардың екеуі арқылы өтетін көрістіру сызықтарымен және g – бұрылу симметриясы үшін пайдаланады. a1 ешқандай симметрияны білдірмейді. Бұл төменгі симметриялар түзсіз чилиагонды анықтауда еркіндік дәрежесіне мүмкіндік береді. Тек g1000 кіші тобында еркіндік дәрежесі жоқ, бірақ оны бағытталған қабырғалар ретінде қарастыруға болады.
The regular chiliagon has Dih1000 dihedral symmetry, order 2000, represented by 1,000 lines of reflection. Dih1000 has 15 dihedral subgroups: Dih500, Dih250, Dih125, Dih200, Dih100, Dih50, Dih25, Dih40, Dih20, Dih10, Dih5, Dih8, Dih4, Dih2, and Dih1. It also has 16 more cyclic symmetries as subgroups: Z1000, Z500, Z250, Z125, Z200, Z100, Z50, Z25, Z40, Z20, Z10, Z5, Z8, Z4, Z2, and Z1, with Zn representing π/n radian rotational symmetry. John Conway labels these lower symmetries with a letter and order of the symmetry follows the letter. He gives d (diagonal) with mirror lines through vertices, p with mirror lines through edges (perpendicular), i with mirror lines through both vertices and edges, and g for rotational symmetry. a1 labels no symmetry. These lower symmetries allow degrees of freedom in defining irregular chiliagons. Only the g1000 subgroup has no degrees of freedom but can be seen as directed edges.