Тысячегольник: Геометрия и философия многоугольника с тысячей сторон.
Chiliagon
Чилигон: многоугольник с 1000 сторонами. Описание свойств, углов и площади правильного 1000-угольника. Геометрия, философия, математические вычисления.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Многоугольник с 1000 сторонами
Polygon with 1000 edges
В геометрии, хилиагон (произносится /ˈkɪliəɡɒn/) или 1000-угольник — это многоугольник с 1000 сторонами. Философы часто используют хилиагон для иллюстрации идей о природе и функционировании мышления, значения и ментального представления.
In geometry, a chiliagon ('/k//ɪ//l//i//ə//ɡ//ɒ//n/) or 1,000 gon is a polygon with 1,000 sides. Philosophers commonly refer to chiliagons to illustrate ideas about the nature and workings of thought, meaning, and mental representation.
Обычный чилиагон
Регулярный хилиагон представлен символом Шлефли {1000} и может быть построен как усечённый 500-угольник, t{500}, или дважды усечённый 250-угольник, tt{250}, или трижды усечённый 125-угольник, ttt{125}. Мера каждого внутреннего угла в правильном хилиагоне составляет 179°38'24". Площадь правильного хилиагона со сторонами длиной a задаётся формулой:
A regular chiliagon is represented by Schläfli symbol {1,000} and can be constructed as a truncated 500 gon, t{500}, or a twice truncated 250 gon, tt{250}, or a thrice truncated 125 gon, ttt{125}. The measure of each internal angle in a regular chiliagon is 179°38'24"/rad. The area of a regular chiliagon with sides of length a is given by
Этот результат отличается от площади его описанной окружности менее чем на 4 части на миллион. Поскольку 1000 = 2³ × 5³, число сторон не является ни произведением различных простых чисел Ферма, ни степенью двойки. Таким образом, правильный хилиагон не является построимым многоугольником. Более того, он даже не построим с использованием трисектора угла, поскольку число сторон не является ни произведением различных простых чисел Пьерпона, ни произведением степеней двух и трёх. Следовательно, для построения хилиагона требуются другие методы, такие как квадратриса Гиппия, спираль Архимеда или другие вспомогательные кривые. Например, угол в 9° можно сначала построить с помощью циркуля и линейки, который затем можно дважды квинтировать (разделить на пять равных частей) с помощью вспомогательной кривой для получения требуемого внутреннего угла 21'36".
This result differs from the area of its circumscribed circle by less than 4 parts per million. Because 1,000 = 23 × 53, the number of sides is neither a product of distinct Fermat primes nor a power of two. Thus the regular chiliagon is not a constructible polygon. Indeed, it is not even constructible with the use of an angle trisector, as the number of sides is neither a product of distinct Pierpont primes, nor a product of powers of two and three. Therefore, construction of a chiliagon requires other techniques such as the quadratrix of Hippias, Archimedean spiral, or other auxiliary curves. For example, a 9° angle can first be constructed with compass and straightedge, which can then be quintisected (divided into five equal parts) twice using an auxiliary curve to produce the 21'36" internal angle required.
Философское применение
Рене Декарт использует чилиагон в качестве примера в своей Шестой медитации, чтобы продемонстрировать разницу между чистым интеллектом и воображением. Он утверждает, что, когда человек думает о чилиагоне, он "не представляет себе тысячу сторон и не видит их, как будто они находятся перед ним" – в отличие от того, как это происходит при представлении треугольника, например. Воображение создает "смутное представление", которое ничем не отличается от того, что оно создает при представлении мириагона (многоугольника с десятью тысячами сторон). Однако он отчетливо понимает, что такое чилиагон, так же как понимает, что такое треугольник, и способен отличить его от мириагона. Следовательно, интеллект не зависит от воображения, поскольку способен оперировать ясными и отчетливыми идеями, когда воображение оказывается неспособным это сделать. Философ Пьер Гассенди, современник Декарта, критиковал эту интерпретацию, полагая, что, хотя Декарт мог представить себе чилиагон, он не мог его понять: можно "понять, что слово 'чилиагон' обозначает фигуру с тысячей углов, [но] это лишь значение термина, и из этого не следует, что вы понимаете тысячу углов фигуры лучше, чем представляете их". Примером чилиагона также пользовались другие философы. Дэвид Юм отмечает, что "глаз не способен определить, равны ли углы чилиагона 1,996 прямым углам, или сделать какое-либо предположение, близкое к этой пропорции". Готфрид Лейбниц комментирует использование чилиагона Джоном Локком, указывая, что можно иметь представление о многоугольнике, не имея его образа, и таким образом различать идеи и образы. Иммануил Кант вместо этого ссылается на энеаконтагексагон (96-угольник), но отвечает на тот же вопрос, поставленный Декартом. Анри Пуанкаре использует чилиагон как доказательство того, что "интуиция не обязательно основана на свидетельствах чувств", поскольку "мы не можем представить себе чилиагон, и тем не менее мы рассуждаем интуитивно о многоугольниках в целом, которые включают чилиагон как частный случай". Вдохновленные примером чилиагона Декарта, Родерик Чисхолм и другие философы XX века использовали подобные примеры для подтверждения схожих тезисов. "Пестрая курица" Чисхолма, которой необязательно иметь определенное количество пятен, чтобы быть успешно воображенной, является, пожалуй, наиболее известным из этих примеров.
René Descartes uses the chiliagon as an example in his Sixth Meditation to demonstrate the difference between pure intellection and imagination. He says that, when one thinks of a chiliagon, he "does not imagine the thousand sides or see them as if they were present" before him – as he does when one imagines a triangle, for example. The imagination constructs a "confused representation," which is no different from that which it constructs of a myriagon (a polygon with ten thousand sides). However, he does clearly understand what a chiliagon is, just as he understands what a triangle is, and he is able to distinguish it from a myriagon. Therefore, the intellect is not dependent on imagination, Descartes claims, as it is able to entertain clear and distinct ideas when imagination is unable to. Philosopher Pierre Gassendi, a contemporary of Descartes, was critical of this interpretation, believing that while Descartes could imagine a chiliagon, he could not understand it: one could "perceive that the word 'chiliagon' signifies a figure with a thousand angles [but] that is just the meaning of the term, and it does not follow that you understand the thousand angles of the figure any better than you imagine them." The example of a chiliagon is also referenced by other philosophers. David Hume points out that it is "impossible for the eye to determine the angles of a chiliagon to be equal to 1.996 right angles, or make any conjecture, that approaches this proportion." Gottfried Leibniz comments on a use of the chiliagon by John Locke, noting that one can have an idea of the polygon without having an image of it, and thus distinguishing ideas from images. Immanuel Kant refers instead to the enneacontahexagon (96 gon), but responds to the same question raised by Descartes. Henri Poincaré uses the chiliagon as evidence that "intuition is not necessarily founded on the evidence of the senses" because "we can not represent to ourselves a chiliagon, and yet we reason by intuition on polygons in general, which include the chiliagon as a particular case." Inspired by Descartes's chiliagon example, Roderick Chisholm and other 20th century philosophers have used similar examples to make similar points. Chisholm's "speckled hen", which need not have a determinate number of speckles to be successfully imagined, is perhaps the most famous of these.
Симметрия
Регулярный чилиагон обладает диэдральной симметрией Dih1000 порядка 2000, представленной 1000 линиями отражения. Dih1000 имеет 15 диэдрических подгрупп: Dih500, Dih250, Dih125, Dih200, Dih100, Dih50, Dih25, Dih40, Dih20, Dih10, Dih5, Dih8, Dih4, Dih2 и Dih1. Он также имеет 16 циклических симметрий в качестве подгрупп: Z1000, Z500, Z250, Z125, Z200, Z100, Z50, Z25, Z40, Z20, Z10, Z5, Z8, Z4, Z2 и Z1, где Zn представляет вращательную симметрию на π/n радиан. Джон Конвей обозначает эти симметрии меньшего порядка буквой, а порядок симметрии следует за буквой. Он обозначает d (диагональную) симметрию зеркальными линиями, проходящими через вершины, p – зеркальными линиями, проходящими через середины сторон (перпендикулярными), i – зеркальными линиями, проходящими через вершины и середины сторон, и g – вращательной симметрией. a1 обозначает отсутствие симметрии. Эти симметрии меньшего порядка обеспечивают степени свободы при определении нерегулярных чилиагонов. Только подгруппа g1000 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра.
The regular chiliagon has Dih1000 dihedral symmetry, order 2000, represented by 1,000 lines of reflection. Dih1000 has 15 dihedral subgroups: Dih500, Dih250, Dih125, Dih200, Dih100, Dih50, Dih25, Dih40, Dih20, Dih10, Dih5, Dih8, Dih4, Dih2, and Dih1. It also has 16 more cyclic symmetries as subgroups: Z1000, Z500, Z250, Z125, Z200, Z100, Z50, Z25, Z40, Z20, Z10, Z5, Z8, Z4, Z2, and Z1, with Zn representing π/n radian rotational symmetry. John Conway labels these lower symmetries with a letter and order of the symmetry follows the letter. He gives d (diagonal) with mirror lines through vertices, p with mirror lines through edges (perpendicular), i with mirror lines through both vertices and edges, and g for rotational symmetry. a1 labels no symmetry. These lower symmetries allow degrees of freedom in defining irregular chiliagons. Only the g1000 subgroup has no degrees of freedom but can be seen as directed edges.