Математикалық жиын теориясы: Нейман-Бернайс-Гёдель және Морс-Келли жүйелері

Кіріспе

Математикалық жиынтықтар теориясы жүйесі

Математика негіздерінде, фон Нейман–Бернейс–Гёдель жиынтықтар теориясы (NBG) – Зермело–Фрэнкель–таңдау аксиомасы жиынтықтар теориясының (ZFC) консервативті кеңейтімі болып табылатын аксиомалық жиынтықтар теориясы. NBG класс ұғымын енгізеді, ол жиынтықтармен шектелген кванторларға ие формуламен анықталған жиынтықтардың жиыны. NBG барлық жиынтықтар классы және барлық ординалдар классы сияқты жиынтықтардан үлкен кластарды анықтай алады. Морс–Келли жиынтықтар теориясы (MK) кластарды кластармен шектелген кванторларға ие формулалармен анықтауға мүмкіндік береді. NBG шекті түрде аксиоматизацияланады, ал ZFC және MK жоқ. NBG-нің маңызды теоремасы – кластың болу теоремасы, ол жиынтықтармен шектелген кванторларға ие кез келген формула үшін, формулаға сәйкес келетін жиынтықтардан тұратын класс бар екенін көрсетеді. Бұл класс, класс арқылы формуланың қадамдық құрылымын көшіру арқылы құрылады. Барлық жиынтықтар теориялық формулалар мүшелік және теңдік сияқты екі түрлі атомдық формуладан және шекті сандағы логикалық символдардан құралғандықтан, оларды қанағаттандыратын кластарды құру үшін тек шекті сандағы аксиомалар ғана қажет. Сондықтан NBG шекті түрде аксиоматизацияланады. Кластар басқа құрылымдар үшін, жиынтықтар теориялық парадокстарды шешу үшін және ZFC-нің таңдау аксиомасынан күштірек жаһандық таңдау аксиомасын тұжырымдау үшін де қолданылады. Джон фон Нейман 1925 жылы жиынтықтар теориясына кластарды енгізді. Оның теориясының бастапқы ұғымдары функция және аргумент болды. Осы ұғымдарды пайдаланып, ол класс және жиынтық ұғымдарын анықтады. Пол Бернейс класс пен жиынтықты бастапқы ұғымдар ретінде қарастыра отырып, фон Нейманның теориясын қайта тұжырымдады. Курт Гёдель таңдау аксиомасының салыстырмалы дәйектілігін және жалпыланған континуум гипотезасын дәлелдеу үшін Бернейстің теориясын жеңілдетті.

Орындық аксиомалары

Жоғарыда сыныптардың болуы теоремасының дәлелі үшін қажетті жұптасу және реттелу аксиомалары келтірілді. NBG төрт басқа жиын аксиомасын қамтиды. Осы аксиомалардың үшеуі жиынтарға қолданылатын сыныптық операциялармен айналысады. Анықтама. Егер функция жиын теориясында функцияның доменін немесе кодоменін көрсетуді қажет етпесе, онда ол функция болып табылады (Функция (жиын теориясы) қараңыз). NBG-нің функция анықтамасы ZFC анықтамасын реттелген жұптар жиынынан реттелген жұптар класына дейін кеңейтеді. ZFC-нің бейне, бірінді және қуат жиынының жиын операцияларының анықтамалары да сыныптық операцияларға кеңейтіледі. Функция бойынша кластың бейнесі — . Бұл анықтама талап етпейді. Кластың біріндісі — . Кластың қуат класы — . Кластардың болуы теоремасының кеңейтілген нұсқасы осы кластардың бар екенін білдіреді. Ауыстыру, бірінді және қуат жиыны аксиомалары осы операциялар жиынтарға қолданылғанда, олар жиынтарды жасайтынын білдіреді. Ауыстыру аксиомасы. Егер функция болса және жиын болса, онда , функция бойынша бейнесі, жиын болады. анықтамасында талаптың болмауы күшті ауыстыру аксиомасын тудырады, ол келесі дәлелдемеде қолданылады. Бірінді аксиомасы. Егер жиын болса, онда оны қамтитын жиын бар. Куат жиыны аксиомасы. Егер жиын болса, онда оны қамтитын жиын бар. Шеңбер аксиомасы. Бос емес жиын бар, онда барлық үшін , онда үшін , мұндай болады, бұл жиынның дұрыс ішкі жиыны болады. Шеңбер және ауыстыру аксиомалары бос жиынның бар екенін дәлелдейді. Сыныптардың болуы аксиомаларын талқылау кезінде бос кластың бар екендігі дәлелденді. Енді біз оның жиын екенін дәлелдейміз. функция болсын және жиын шеңбер аксиомасымен берілсін. Ауыстыру бойынша, функция бойынша бейнесі, яғни , жиын болады. NBG-нің шеңбер аксиомасы ZFC-нің шеңбер аксиомасымен туындайды: ZFC аксиомасының бірінші конъюнктысы , NBG аксиомасының бірінші конъюнктысын білдіреді. ZFC аксиомасының екінші конъюнктысы , NBG аксиомасының екінші конъюнктысын білдіреді, себебі ZFC шеңбер аксиомасын NBG шеңбер аксиомасынан дәлелдеу үшін басқа NBG аксиомаларының кейбіреулері қажет (қар. Әлсіз шеңбер аксиомасы).

The axioms of pairing and regularity, which were needed for the proof of the class existence theorem, have been given above. NBG contains four other set axioms. Three of these axioms deal with class operations being applied to sets. Definition. is a function if

In set theory, the definition of a function does not require specifying the domain or codomain of the function (see Function (set theory)). NBG's definition of function generalizes ZFC's definition from a set of ordered pairs to a class of ordered pairs. ZFC's definitions of the set operations of image, union, and power set are also generalized to class operations. The image of class under the function is This definition does not require that The union of class is The power class of is The extended version of the class existence theorem implies the existence of these classes. The axioms of replacement, union, and power set imply that when these operations are applied to sets, they produce sets. Axiom of replacement. If is a function and is a set, then , the image of under , is a set. Not having the requirement in the definition of produces a stronger axiom of replacement, which is used in the following proof. Axiom of union. If is a set, then there is a set containing

Axiom of power set. If is a set, then there is a set containing

Axiom of infinity. There exists a nonempty set such that for all in , there exists a in such that is a proper subset of
The axioms of infinity and replacement prove the existence of the empty set. In the discussion of the class existence axioms, the existence of the empty class was proved. We now prove that is a set. Let function and let be the set given by the axiom of infinity. By replacement, the image of under , which equals , is a set. NBG's axiom of infinity is implied by ZFC's axiom of infinity: The first conjunct of ZFC's axiom, , implies the first conjunct of NBG's axiom. The second conjunct of ZFC's axiom, , implies the second conjunct of NBG's axiom since To prove ZFC's axiom of infinity from NBG's axiom of infinity requires some of the other NBG axioms (see Weak axiom of infinity).

Жалпы таңдау аксиомасы

Сынып тұжырымдамасы NBG-ге ZFC-ге қарағанда күштірек таңдау аксиомасына ие болуға мүмкіндік береді. Таңдау функциясы – бос емес жиындар жиынында анықталған функция, осылайша, ZFC-нің таңдау аксиомасы бос емес жиындардың кез келген жиыны үшін таңдау функциясының бар екенін күтіреді. Глобалды таңдау функциясы – барлық бос емес жиындар класында анықталған функция, сондықтан кез келген бос емес жиын үшін. Глобалды таңдау аксиомасы глобалды таңдау функциясының бар екенін күтіреді. Бұл аксиома ZFC-нің таңдау аксиомасын білдіреді, себебі бос емес жиындардың кез келген жиыны үшін ( -ның -ға шектелуі үшін таңдау функциясы болып табылады. 1964 жылы Уильям Б. Истон мәжбүрлеуді қолданып, таңдау аксиомасын және NBG-нің барлық аксиомаларын қанағаттандыратын, бірақ глобалды таңдау аксиомасын қанағаттандырмайтын модель құру арқылы глобалды таңдаудың таңдау аксиомасынан күшті екенін дәлелдеді. Глобалды таңдау аксиомасы кез келген сыныптың жақсы реттелгеніне эквивалентті, ал ZFC-нің таңдау аксиомасы кез келген жиынның жақсы реттелгеніне эквивалентті. Глобалды таңдау аксиомасы. Кез келген бос емес жиыннан элемент таңдайтын функция бар.

Фон Нейманның 1929 жылғы аксиомалық жүйесі

1929 жылы фон Нейман NBG-ге алып келетін аксиомаларды қамтитын мақала жариялады. Бұл мақаланың себебі өлшемді шектеу аксиомасының дұрыстығы туралы оның алаңдауы болды. Ол бұл аксиоманың "өте күшті, тіпті артық" екенін айтты. Бөлу және алмастыру аксиомаларын, сондай-ақ жақсы реттелу теоремасын білдіруден басқа, ол V-ден кем кардиналдығы бар кез келген сыныптың жиын екенін білдіреді. Фон Нейман бұл соңғы салдардың Канторлық жиын теориясынан тыс екенін ойлап, мынадай қорытынды жасады: "Сондықтан біз оның [аксиоманың] дұрыстығы қажетті Канторлық шеңберден аспайтын жиын теориясын аксиоматизациялаудан гөрі қиын емес пе екенін талқылауымыз керек". Фон Нейман өзінің 1929 жылғы аксиомалық жүйесін енгізу арқылы дұрыстығын зерттеуді бастады, онда оның 1925 жылғы аксиомалық жүйесінің барлық аксиомалары бар, бірақ өлшемді шектеу аксиомасы жоқ. Ол бұл аксиоманы оның екі салдарымен алмастырды: алмастыру аксиомасы және таңдау аксиомасы. Фон Нейманның таңдау аксиомасы: "Кез келген R қатынасы үшін R-мен бірдей домені бар функция болатын кіші сынып бар" деп мәлімдейді. Егер S фон Нейманның 1929 жылғы аксиомалық жүйесі болса, онда фон Нейман 1925 жылғы жүйенің S-ке қатысты дұрыс екенін көрсету үшін S + Регулярлылық аксиомалық жүйесін енгізді. Ол мынаны дәлелдеді: Егер S дұрыс болса, онда S + Регулярлылық та дұрыс. S + Регулярлылық өлшемді шектеу аксиомасын білдіреді. S + Регулярлылықтың 1925 жылғы аксиомалар жүйесінде жоқ жалғыз аксиомасы осы болғандықтан, S + Регулярлылық оның 1925 жылғы жүйесінің барлық аксиомаларын білдіреді. Бұл нәтижелер мынаны көрсетеді: Егер S дұрыс болса, онда фон Нейманның 1925 жылғы аксиомалық жүйесі дұрыс. Дәлел: Егер S дұрыс болса, онда S + Регулярлылық дұрыс (1-нәтиже). Қарсылыққа қарай, 1925 жылғы аксиомалық жүйе дұрыс емес деп есептейік, яғни 1925 жылғы аксиомалық жүйе қайшылықты білдіреді. S + Регулярлылық 1925 жылғы жүйенің аксиомаларын білдіретіндіктен (2-нәтиже), S + Регулярлылық та қайшылықты білдіреді. Бірақ бұл S + Регулярлылықтың дұрыстығына қайшы келеді. Сондықтан, егер S дұрыс болса, онда фон Нейманның 1925 жылғы аксиомалық жүйесі де дұрыс. S оның 1929 жылғы аксиомалық жүйесі болғандықтан, фон Нейманның 1925 жылғы аксиомалық жүйесі Канторлық жиын теориясына жақын оның 1929 жылғы аксиомалық жүйесіне қатысты дұрыс. Канторлық жиын теориясы мен 1929 жылғы аксиомалық жүйе арасындағы басты айырмашылықтар – сыныптар және фон Нейманның таңдау аксиомасы. S + Регулярлылық аксиомалық жүйесі Бернейс және Гёдель тарапынан эквивалентті NBG аксиомалық жүйесін алу үшін өзгертілді.

In 1929, von Neumann published an article containing the axioms that would lead to NBG. This article was motivated by his concern about the consistency of the axiom of limitation of size. He stated that this axiom "does a lot, actually too much." Besides implying the axioms of separation and replacement, and the well ordering theorem, it also implies that any class whose cardinality is less than that of V is a set. Von Neumann thought that this last implication went beyond Cantorian set theory and concluded: "We must therefore discuss whether its [the axiom's] consistency is not even more problematic than an axiomatization of set theory that does not go beyond the necessary Cantorian framework." Von Neumann started his consistency investigation by introducing his 1929 axiom system, which contains all the axioms of his 1925 axiom system except the axiom of limitation of size. He replaced this axiom with two of its consequences, the axiom of replacement and a choice axiom. Von Neumann's choice axiom states: "Every relation R has a subclass that is a function with the same domain as R."

Let S be von Neumann's 1929 axiom system. Von Neumann introduced the axiom system S + Regularity (which consists of S and the axiom of regularity) to demonstrate that his 1925 system is consistent relative to S. He proved:
If S is consistent, then S + Regularity is consistent. S + Regularity implies the axiom of limitation of size. Since this is the only axiom of his 1925 axiom system that S + Regularity does not have, S + Regularity implies all the axioms of his 1925 system. These results imply: If S is consistent, then von Neumann's 1925 axiom system is consistent. Proof: If S is consistent, then S + Regularity is consistent (result 1). Using proof by contradiction, assume that the 1925 axiom system is inconsistent, or equivalently: the 1925 axiom system implies a contradiction. Since S + Regularity implies the axioms of the 1925 system (result 2), S + Regularity also implies a contradiction. However, this contradicts the consistency of S + Regularity. Therefore, if S is consistent, then von Neumann's 1925 axiom system is consistent. Since S is his 1929 axiom system, von Neumann's 1925 axiom system is consistent relative to his 1929 axiom system, which is closer to Cantorian set theory. The major differences between Cantorian set theory and the 1929 axiom system are classes and von Neumann's choice axiom. The axiom system S + Regularity was modified by Bernays and Gödel to produce the equivalent NBG axiom system.

Бернейдің аксиомалар жүйесі

1929 жылы Пол Бернейс фон Нейманның жаңа аксиомалық жүйесін жиындар мен сыныптарды бастапқы ұғымдар ретінде қарастыра отырып, өзгертуге кірісті. Ол өз жұмысын 1937 жылдан 1954 жылға дейін жарық көрген бірнеше мақалалар сериясы түрінде жариялады. Бернейс былай деді:

Бернейс жиындар мен сыныптарды екі түрлі логикада қарастырып, мүшелікке қатысты екі бастапқы ұғымды енгізді: біреуі жиындарға, екіншісі сыныптарға мүшелік үшін. Осы бастапқы ұғымдарды пайдалана отырып, ол фон Нейманның 1929 жылғы аксиомаларын қайта жазып, оларды қарапайымдастырды. Бернейс өз аксиомалық жүйесіне реттелу аксиомасын да қосты.

NBG, ZFC және MK

NBG логикалық тұрғыдан ZFC-ге баламасыз, себебі оның тілі көбірек мүмкіндіктерге ие: ол ZFC-де мүмкін емес сыныптар туралы мәлімдемелер жасай алады. Дегенмен, NBG және ZFC жиындар туралы бірдей мәлімдемелерді білдіреді. Сондықтан NBG – ZFC-нің консервативті кеңейтімі болып табылады. NBG ZFC айта алмайтын теоремаларды білдіреді, бірақ NBG консервативті кеңейту болғандықтан, бұл теоремалар нақты сыныптарды қамтуы керек. Мысалы, NBG-нің теоремасы бойынша, таңдаудың жаһандық аксиомасы V нақты сыныбының жақсы реттелгенін және кез келген нақты сыныпты V-мен бір-бірге сәйкестікке келтіруге болатынын білдіреді. Консервативті кеңейтімінің бір салдары – ZFC және NBG эквиконсистентті. Бұл туралы дәлелдеуде жарылыс принципі қолданылады: қайшылықтан бастап, барлық нәрсені дәлелдеуге болады. Егер ZFC немесе NBG сәйкессіз болса деп есептейік. Онда сәйкессіз теория қайшы мәлімдемелерді – ∅ = ∅ және ∅ ≠ ∅ білдіреді, бұл жиындар туралы мәлімдемелер. Консервативті кеңейту қасиетіне сәйкес, екінші теория да осы мәлімдемелерді білдіреді. Демек, ол да сәйкессіз. Осылайша, NBG көбірек мүмкіндіктерге ие болғанымен, ZFC-мен эквиконсистентті. Бұл нәтиже, фон Нейманның 1929 жылғы салыстырмалы дәйектілік дәлелімен бірге, оның 1925 жылғы өлшемді шектеу аксиомасы бар аксиомалық жүйесі ZFC-мен эквиконсистентті екенін көрсетеді. Бұл фон Нейманның осы күшті аксиоманың салыстырмалы дәйектілігі туралы алаңдаушылығын толыққанды шешеді, өйткені ZFC Канторлық аяқтамада орналасқан. NBG – ZFC-нің консервативті кеңейтімі болғанымен, теореманың NBG-де ZFC-ге қарағанда қысқарақ және әдемі дәлелі болуы мүмкін (немесе керісінше). Осы сипаттағы белгілі нәтижелер туралы мәліметтерді алу үшін Морс-Келли жиын теориясын қараңыз, онда сыныпты түсінудің аксиомалық схемасы бар, оның құрамында кванторлары сыныптар бойынша жүретін формулалар бар. МК – NBG-ден күшті теория, себебі МК NBG-нің дәйектілігін дәлелдейді, ал Гёдельдің екінші толық еместік теоремасы NBG-нің NBG-нің дәйектілігін дәлелдей алмайтынын көрсетеді. NBG-нің тудыратын кейбір онтологиялық және басқа да философиялық мәселелерді талқылау үшін, әсіресе ZFC және МК-мен салыстырғанда, C қосымшасын қараңыз.

NBG is not logically equivalent to ZFC because its language is more expressive: it can make statements about classes, which cannot be made in ZFC. However, NBG and ZFC imply the same statements about sets. Therefore, NBG is a conservative extension of ZFC. NBG implies theorems that ZFC does not imply, but since NBG is a conservative extension, these theorems must involve proper classes. For example, it is a theorem of NBG that the global axiom of choice implies that the proper class V can be well ordered and that every proper class can be put into one to one correspondence with V.

One consequence of conservative extension is that ZFC and NBG are equiconsistent. Proving this uses the principle of explosion: from a contradiction, everything is provable. Assume that either ZFC or NBG is inconsistent. Then the inconsistent theory implies the contradictory statements ∅ = ∅ and ∅ ≠ ∅, which are statements about sets. By the conservative extension property, the other theory also implies these statements. Therefore, it is also inconsistent. So although NBG is more expressive, it is equiconsistent with ZFC. This result together with von Neumann's 1929 relative consistency proof implies that his 1925 axiom system with the axiom of limitation of size is equiconsistent with ZFC. This completely resolves von Neumann's concern about the relative consistency of this powerful axiom since ZFC is within the Cantorian framework. Even though NBG is a conservative extension of ZFC, a theorem may have a shorter and more elegant proof in NBG than in ZFC (or vice versa). For a survey of known results of this nature, see
Morse–Kelley set theory has an axiom schema of class comprehension that includes formulas whose quantifiers range over classes. MK is a stronger theory than NBG because MK proves the consistency of NBG, while Gödel's second incompleteness theorem implies that NBG cannot prove the consistency of NBG. For a discussion of some ontological and other philosophical issues posed by NBG, especially when contrasted with ZFC and MK, see Appendix C of .

Категориялық теория

НБГ-ның онтологиясы парадокс тудырмай "үлкен объектілер" туралы сөйлеуге негіз береді. Мысалы, категория теориясының кейбір дамуларында "үлкен категория" деп оның объектілері мен морфизмдері тиісті класс құрайтыны анықталады. Ал "кіші категория" – оның объектілері мен морфизмдері жиынның элементтері болып табылады. Осылайша, біз "барлық жиындардың категориясы" немесе "барлық кіші категориялардың категориясы" туралы айтуға болады, себебі NBG үлкен категорияларды қолдайды. Дегенмен, NBG "барлық категориялардың категориясын" қолдамайды, өйткені үлкен категориялар оның элементтері болар еді, ал NBG тиісті класс ешнәрсеге элемент бола алмайды деуіне рұқсат бермейді. Мұндай "категория" туралы формалды түрде сөйлеуге мүмкіндік беретін онтологиялық кеңейтім – конгломерат, ол класс жиынтығы болып табылады. Сонда "барлық категориялардың категориясы" оның объектілері арқылы анықталады: барлық категориялардың конгломераты; және оның морфизмдері: A және B объектілері үшін A-дан B-ге дейінгі барлық морфизмдердің конгломераты. Категория теориясы үшін класс пен жиынды қамтитын онтологияның жеткіліктілігі туралы мәліметтерді қараңыз.