Введение

Система математической теории множеств

В основаниях математики, теория множеств фон Неймана — Бернейса — Гёделя (NBG) является аксиоматической теорией множеств, представляющей собой консервативное расширение теории множеств Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). NBG вводит понятие класса, который представляет собой совокупность множеств, определяемую формулой, кванторы которой варьируются только над множествами. NBG позволяет определять классы, которые больше, чем множества, такие как класс всех множеств и класс всех ординалов. Теория множеств Морса — Келли (MK) позволяет определять классы по формулам, кванторы которых варьируются над классами. NBG является конечно аксиоматизируемой, в то время как ZFC и MK — нет. Ключевой теоремой NBG является теорема о существовании классов, которая утверждает, что для каждой формулы, кванторы которой варьируются только над множествами, существует класс, состоящий из множеств, удовлетворяющих этой формуле. Этот класс строится путем отражения пошагового построения формулы с использованием классов. Поскольку все формулы теории множеств построены из двух видов атомных формул (принадлежности и равенства) и конечного числа логических символов, для построения классов, удовлетворяющих им, требуется лишь конечное число аксиом. Именно поэтому NBG является конечно аксиоматизируемой. Классы также используются для других построений, для работы с парадоксами теории множеств и для формулирования аксиомы глобального выбора, которая сильнее аксиомы выбора ZFC. Джон фон Нейман ввел классы в теорию множеств в 1925 году. Первичными понятиями его теории были функция и аргумент. Используя эти понятия, он определил класс и множество. Пол Бернейс переформулировал теорию фон Неймана, приняв класс и множество в качестве первичных понятий. Курт Гёдель упростил теорию Бернейса для своего доказательства относительной непротиворечивости аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума.

Аксиомы множества

Аксиомы пары и регулярности, необходимые для доказательства теоремы о существовании классов, были приведены выше. NBG содержит четыре других аксиомы множеств. Три из этих аксиом касаются операций над классами, применяемых к множествам. Определение. Функция – это отображение, если в теории множеств определение функции не требует указания области определения или области значений функции (см. Функция (теория множеств)). Определение функции в NBG обобщает определение ZFC с набора упорядоченных пар на класс упорядоченных пар. Определения ZFC операций над множествами – образа, объединения и множества мощностей – также обобщаются на классовые операции. Образ класса под функцией равен . Это определение не требует, чтобы . Объединение класса равно . Множество мощностей класса равно . Расширенная версия теоремы о существовании классов подразумевает существование этих классов. Аксиомы замены, объединения и множества мощностей подразумевают, что при применении этих операций к множествам в результате получаются множества. Аксиома замены. Если является функцией, а является множеством, то , образ под , является множеством. Отсутствие требования в определении приводит к более сильной аксиоме замены, которая используется в следующем доказательстве. Аксиома объединения. Если является множеством, то существует множество, содержащее .

Аксиома множества мощностей. Если является множеством, то существует множество, содержащее .

Аксиома бесконечности. Существует непустое множество , такое, что для любого из , существует из , такой что является собственным подмножеством . Аксиомы бесконечности и замены доказывают существование пустого множества. В обсуждении аксиом существования классов было доказано существование пустого класса . Теперь докажем, что является множеством. Пусть – функция, а – множество, заданное аксиомой бесконечности. По аксиоме замены, образ под , равный , является множеством. Аксиома бесконечности NBG следует из аксиомы бесконечности ZFC: первый конъюнкт аксиомы ZFC, , подразумевает первый конъюнкт аксиомы NBG. Второй конъюнкт аксиомы ZFC, , подразумевает второй конъюнкт аксиомы NBG, поскольку . Для доказательства аксиомы бесконечности ZFC из аксиомы бесконечности NBG требуются некоторые другие аксиомы NBG (см. Слабая аксиома бесконечности).

Аксиомы глобального выбора

Концепция класса позволяет NBG иметь более сильную аксиому выбора, чем ZFC. Функция выбора — это функция, определенная на множестве непустых множеств, такая что для всех . Аксиома выбора ZFC утверждает, что существует функция выбора для каждого множества непустых множеств. Глобальная функция выбора — это функция, определенная на классе всех непустых множеств, такая что для каждого непустого множества . Аксиома глобального выбора утверждает, что существует глобальная функция выбора. Эта аксиома подразумевает аксиому выбора ZFC, поскольку для каждого множества непустых множеств, ограничение этой глобальной функции выбора до этого множества является функцией выбора для него. В 1964 году Уильям Б. Истон доказал, что глобальный выбор сильнее аксиомы выбора, используя метод принуждения для построения модели, удовлетворяющей аксиоме выбора и всем аксиомам NBG, кроме аксиомы глобального выбора. Аксиома глобального выбора эквивалентна тому, что каждый класс допускает хорошее упорядочение, в то время как аксиома выбора ZFC эквивалентна тому, что каждое множество допускает хорошее упорядочение. Аксиома глобального выбора: существует функция, которая выбирает элемент из каждого непустого множества.

Система аксиом фон Неймана 1929 года

В 1929 году фон Нейман опубликовал статью, содержащую аксиомы, которые привели к NBG. Эта статья была мотивирована его обеспокоенностью относительно непротиворечивости аксиомы ограничения размера. Он заявил, что эта аксиома «делает многое, фактически слишком много». Помимо подразумевания аксиом выделения и замены, а также теоремы о хорошем упорядочении, она также подразумевает, что любой класс, кардинальность которого меньше, чем у V, является множеством. Фон Нейман считал, что это последнее следствие выходит за рамки канторовской теории множеств, и заключил: «Поэтому мы должны обсудить, не является ли ее [аксиомы] непротиворечивость еще более проблематичной, чем аксиоматизация теории множеств, которая не выходит за рамки необходимой канторовской структуры». Фон Нейман начал исследование непротиворечивости, представив свою аксиоматическую систему 1929 года, которая содержит все аксиомы его аксиоматической системы 1925 года, за исключением аксиомы ограничения размера. Он заменил эту аксиому двумя ее следствиями: аксиомой замены и аксиомой выбора. Аксиома выбора фон Неймана гласит: «Каждое отношение R имеет подкласс, являющийся функцией с той же областью определения, что и R».

Пусть S обозначает аксиоматическую систему фон Неймана 1929 года. Фон Нейман ввёл аксиоматическую систему S + Регулярность (которая состоит из S и аксиомы регулярности), чтобы продемонстрировать, что его система 1925 года непротиворечива относительно S. Он доказал: если S непротиворечива, то S + Регулярность непротиворечива. S + Регулярность подразумевает аксиому ограничения размера. Поскольку это единственная аксиома его аксиоматической системы 1925 года, которой нет в S + Регулярность, S + Регулярность подразумевает все аксиомы его системы 1925 года. Эти результаты подразумевают: если S непротиворечива, то аксиоматическая система фон Неймана 1925 года непротиворечива. Доказательство: если S непротиворечива, то S + Регулярность непротиворечива (результат 1). Используя доказательство от противного, предположим, что аксиоматическая система 1925 года противоречива, или, эквивалентно, что аксиоматическая система 1925 года влечет противоречие. Поскольку S + Регулярность подразумевает аксиомы системы 1925 года (результат 2), S + Регулярность также влечет противоречие. Однако это противоречит непротиворечивости S + Регулярность. Следовательно, если S непротиворечива, то аксиоматическая система фон Неймана 1925 года непротиворечива. Поскольку S является его аксиоматической системой 1929 года, аксиоматическая система фон Неймана 1925 года непротиворечива относительно его аксиоматической системы 1929 года, которая ближе к канторовской теории множеств. Основными различиями между канторовской теорией множеств и аксиоматической системой 1929 года являются классы и аксиома выбора фон Неймана. Аксиоматическая система S + Регулярность была модифицирована Бернайсом и Гёделем для получения эквивалентной аксиоматической системы NBG.

Система аксиом Бернея

В 1929 году Пол Бернейс начал модифицировать новую систему аксиом фон Неймана, принимая классы и множества за первоосновы. Он опубликовал свою работу в серии статей, выходивших с 1937 по 1954 год. Бернейс утверждал, что:

Бернейс рассматривал множества и классы в рамках двухсортной логики и ввел два примитива принадлежности: один для принадлежности к множествам и один для принадлежности к классам. Используя эти примитивы, он переформулировал и упростил аксиомы фон Неймана 1929 года. Бернейс также включил аксиому регулярности в свою систему аксиом.

NBG, ZFC и MK

NBG не является логически эквивалентна ZFC, поскольку её язык более выразителен: она позволяет формулировать утверждения о классах, которые невозможно сформулировать в ZFC. Однако NBG и ZFC подразумевают одни и те же утверждения о множествах. Следовательно, NBG является консервативным расширением ZFC. NBG доказывает теоремы, которые ZFC не доказывает, но поскольку NBG является консервативным расширением, эти теоремы должны оперировать с собственными классами. Например, в NBG доказывается, что глобальная аксиома выбора влечёт за собой возможность хорошего упорядочения собственного класса V и установление биекции между любым собственным классом и V.

Одним из следствий консервативного расширения является то, что ZFC и NBG равносогласованы. Доказательство этого опирается на принцип взрыва: из противоречия следует всё. Предположим, что ZFC или NBG является несовместимой. Тогда эта несовместимая теория доказывает противоречивые утверждения ∅ = ∅ и ∅ ≠ ∅, которые являются утверждениями о множествах. В силу свойства консервативного расширения, другая теория также доказывает эти утверждения. Следовательно, она также несовместима. Таким образом, несмотря на большую выразительность NBG, она равносогласована с ZFC. Этот результат, вместе с доказательством относительной согласованности, полученным фон Нейманом в 1929 году, подразумевает, что его аксиоматическая система 1925 года с аксиомой ограничения размера также равносогласована с ZFC. Это полностью разрешает опасения фон Неймана относительно относительной согласованности этой мощной аксиомы, поскольку ZFC вписывается в канторовскую структуру. Даже если NBG является консервативным расширением ZFC, теорема может иметь более короткое и элегантное доказательство в NBG, чем в ZFC (и наоборот). Обзор известных результатов такого рода можно найти в . Теория множеств Морса — Келли содержит аксиоматическую схему выделения классов, включающую формулы, кванторы которых варьируются по классам. MK является более сильной теорией, чем NBG, поскольку MK доказывает согласованность NBG, в то время как вторая теорема о неполноте Гёделя подразумевает, что NBG не может доказать согласованность NBG. Обсуждение некоторых онтологических и других философских вопросов, возникающих в связи с NBG, особенно в сравнении с ZFC и MK, можно найти в Приложении C .

Теория категорий

Онтология NBG предоставляет основу для рассуждений о "больших объектах" без риска возникновения парадоксов. Например, в некоторых построениях теории категорий "большая категория" определяется как категория, объекты и морфизмы которой составляют собственный класс. С другой стороны, "малая категория" – это категория, объекты и морфизмы которой являются элементами множества. Таким образом, мы можем говорить о "категории всех множеств" или "категории всех малых категорий", не опасаясь парадоксов, поскольку NBG поддерживает большие категории. Однако NBG не поддерживает "категорию всех категорий", поскольку большие категории были бы её элементами, а NBG не допускает, чтобы собственные классы были элементами чего-либо. Онтологическое расширение, позволяющее формально говорить о такой "категории", – это конгломерат, представляющий собой совокупность классов. Тогда "категория всех категорий" определяется своими объектами: конгломератом всех категорий; и своими морфизмами: конгломератом всех морфизмов из A в B, где A и B – объекты. О том, достаточно ли онтологии, включающей как классы, так и множества, для теории категорий, см.