Кіріспе
Математикада паракомпакт кеңістік – әрбір ашық қаптаманың жергілікті шекті ашық тазартуы бар топологиялық кеңістік. Кез келген тығыз кеңістік паракомпакт болады. Кез келген паракомпакт Хаусдорф кеңістігі қалыпты, ал Хаусдорф кеңістігі, егер және тек егер ол кез келген ашық қаптамаға бағынышты бірліктің бөліктерін қабылдаса, паракомпакт болады. Кейде паракомпакт кеңістіктер әрқашан Хаусдорф кеңістігі ретінде анықталады. Паракомпакт кеңістіктің кез келген жабық ішкі кеңістігі паракомпакт болады. Хаусдорф кеңістіктерінің компакт ішкі жиындары әрқашан жабық болса да, паракомпакт ішкі жиындары үшін бұл дұрыс емес. Кез келген ішкі кеңістігі паракомпакт кеңістік болатын кеңістік мұрагерлік паракомпакт деп аталады. Бұл кез келген ашық ішкі кеңістіктің паракомпакт болуын талап етумен эквивалентті. Паракомпакт кеңістік ұғымы нүктесіз топологияда да зерттеледі, онда ол жақсырақ қасиеттерге ие. Мысалы, кез келген паракомпакт локальдердің көбейтіндісі паракомпакт локаль болады, бірақ екі паракомпакт кеңістіктің көбейтіндісі паракомпакт болмауы мүмкін. Бұл Тихонов теоремасымен салыстырылады, онда компакт топологиялық кеңістіктердің кез келген жиынының көбейтіндісі компакт болады делінеді. Дегенмен, паракомпакт кеңістік пен компакт кеңістіктің көбейтіндісі әрқашан паракомпакт болады. Кез келген метрикалық кеңістік паракомпакт. Топологиялық кеңістік, егер және тек қана паракомпакт және жергілікті метрикаланатын Хаусдорф кеңістігі болса, метрикаланады.
In mathematics, a paracompact space is a topological space in which every open cover has an open refinement that is locally finite. These spaces were introduced by Every compact space is paracompact. Every paracompact Hausdorff space is normal, and a Hausdorff space is paracompact if and only if it admits partitions of unity subordinate to any open cover. Sometimes paracompact spaces are defined so as to always be Hausdorff. Every closed subspace of a paracompact space is paracompact. While compact subsets of Hausdorff spaces are always closed, this is not true for paracompact subsets. A space such that every subspace of it is a paracompact space is called hereditarily paracompact. This is equivalent to requiring that every open subspace be paracompact. The notion of paracompact space is also studied in pointless topology, where it is more well behaved. For example, the product of any number of paracompact locales is a paracompact locale, but the product of two paracompact spaces may not be paracompact. Compare this to Tychonoff's theorem, which states that the product of any collection of compact topological spaces is compact. However, the product of a paracompact space and a compact space is always paracompact. Every metric space is paracompact. A topological space is metrizable if and only if it is a paracompact and locally metrizable Hausdorff space.
Анықтама
Жинақтың қаптамасы – бұл жинақтың кіші жиынтықтарының жиыны, олардың біріктірілуі жинақты қамтиды. Белгілермен айтқанда, егер жинақтың кіші жиынтықтарының индекстелген отбасы болса, онда жинақтың қаптамасы болады, егер.
Топологиялық кеңістіктің қаптамасы ашық деп аталады, егер оның барлық мүшелері ашық жиынтықтар болса. Кеңістіктің қаптамасын жетілдіру – бұл сол кеңістіктің жаңа қаптамасы, мұнда жаңа қаптамадағы әрбір жиынтық ескі қаптамадағы кейбір жиынтықтың кіші жиынтығы болып табылады. Белгілермен айтқанда, қаптама қаптаманың жетілдірілуі болып табылады, егер және тек егер, әрбір үшін, қаптамасында бар болса, онда. Кеңістіктің ашық қаптамасы жергілікті шекті деп аталады, егер кеңістіктің әрбір нүктесі қаптамадағы шекті көптеген жиынтықтармен қиылысатын маңайға ие болса. Белгілермен айтқанда, жергілікті шекті болады, егер және тек егер, кез келген үшін, маңы бар болса, онда жиын
An open cover of a space is locally finite if every point of the space has a neighborhood that intersects only finitely many sets in the cover. In symbols, is locally finite if and only if, for any in , there exists some neighbourhood of such that the set
шекті болады. Топологиялық кеңістік паракомпакт деп аталады, егер әрбір ашық қаптаманың жергілікті шекті ашық жетілдірілуі болса. Бұл анықтама жергілікті шектілерді қоспағанда, сөзбе-сөз жергілікті кеңістіктерге таралады: ашық қаптамасы жергілікті шекті болады, егер тек шекті түрде көптеген ашылуларды қиысатын ашылулар жиыны да қаптамасын құраса. Топологиялық кеңістіктегі ашық қаптама жергілікті шекті болады, егер және тек егер оның негізгі жергілікті кеңістігінің жергілікті шекті қаптамасы болса.
Паракомпактты Хаусдорф кеңістіктері
Паракомпакт кеңістіктердің қасиеттерін кеңейту үшін кейде олар Хаусдорф кеңістігі болуы талап етіледі. (Жан Диодонн теоремасы) Кез келген паракомпакт Хаусдорф кеңістігі қалыпты. Кез келген паракомпакт Хаусдорф кеңістігі – қысқару кеңістігі, яғни паракомпакт Хаусдорф кеңістігінің кез келген ашық жабыны үшін қысқару болады: сол жиынмен индекстелген басқа ашық жабын, онда жаңа жабындағы әрбір жиынның жабылуы ескі жабындағы сәйкес жиынның ішінде жатады. Паракомпакт Хаусдорф кеңістіктерінде буынды когомология және Чех когомологиясы бірдей.