Қырынудың математикалық кеңістіктегі қасиеттері

Кіріспе

Математикалық кеңістіктің түрі

Математикада, әсіресе жалпы топологияда, тығыздық – Евклид кеңістігінің жабық және шектелген ішкі жиынын жалпылауға бағытталған қасиет. Бұл идея бойынша, тығыз кеңістікте "тесіктер" немесе "жетілмеген нүктелер" болмайды, яғни ол нүктелердің барлық лимиттеу мәндерін қамтиды. Мысалы, (0,1) ашық аралығы тығыз болмайды, себебі ол 0 және 1 лимиттеу мәндерін алып тастайды, ал [0,1] жабық аралығы тығыз болады. Сол сияқты, рационал сандар кеңістігі тығыз емес, өйткені ол иррационал сандарға сәйкес келетін шексіз көп "тесіктерге" ие, ал нақты сандар кеңістігі де тығыз емес, себебі ол екі лимиттеу мәнді алып тастайды және . Дегенмен, кеңейтілген нақты сандар түзуі тығыз болады, өйткені ол екі шексіздікті де қамтиды. Бұл эвристикалық ұғымды нақтылаудың көптеген тәсілдері бар. Бұл тәсілдер әдетте метрикалық кеңістікте келіседі, бірақ басқа топологиялық кеңістіктерде эквивалентті болмауы мүмкін. Мұндай жалпылаудың бірі – топологиялық кеңістік, егер кеңістіктен алынған кез келген шексіз тізбекте кеңістіктің бір нүктесіне жинақталатын шексіз ішкі тізбек болса, онда ол тізбектік тұрғыдан тығыз болады. Болцано-Вейерштрасс теоремасы Евклид кеңістігінің ішкі жиыны жабық және шектелген болған жағдайда ғана осы тізбектік мағынада тығыз болатынын айтады. Осылайша, егер [0, 1] жабық бірлік аралығында шексіз көп нүктелерді таңдасақ, олардың кейбіреулері сол кеңістіктегі нақты санға кез келген дәлдікпен жақындап келеді. Мысалы, тізбектегі кейбір сандар 0-ге жиналады (ал қалғандары 1-ге жиналады). 0 да, 1 де (0, 1) ашық бірлік аралығының мүшелері болмағандықтан, сол нүктелер жиынтығы оның ешбір нүктесіне жинақталмайды, сондықтан ашық бірлік аралығы тығыз емес. Евклид кеңістігінің ішкі жиындары (ішкі кеңістіктері) тығыз бола алады, бірақ кеңістіктің өзі тығыз емес, себебі ол шектелмеген. Мысалы, (нақты сандар түзуін) қарастыра отырып, 0, 1, 2, 3 тізбегінде кез келген нақты санға жинақталатын ішкі тізбек жоқ. Тығыздықты 1906 жылы Морис Фреше геометриялық нүктелер кеңістіктерінен функциялар кеңістіктеріне Болцано-Вейерштрасс теоремасын жалпылау үшін ресми түрде енгізді. Арзела-Асколи теоремасы және Пеаноның барлық уақытта өмір сүру теоремасы классикалық талдаудағы тығыздық ұғымының қолданылуын көрсетеді. Оның алғашқы енгізілуінен кейін, тізбектік тығыздық және лимиттік нүктелік тығыздық сияқты әртүрлі эквивалентті тығыздық ұғымдары жалпы метрикалық кеңістіктерде жасалды. Алайда, жалпы топологиялық кеңістіктерде бұл тығыздық ұғымдары міндетті түрде эквивалентті емес. Ең пайдалы ұғым – және тығыздық терминінің стандартты анықтамасы – кеңістікті "жабатын" ашық жиындардың шекті отбасысының болуы тұрғысынан айтылады, яғни кеңістіктің әрбір нүктесі отбасыға кіретін кейбір жиынтықта орналасқан. Бұл одан да нәзік ұғымды 1929 жылы Павел Александров және Павел Урисон енгізді, ол тығыз кеңістіктерді шекті жиындардың жалпылауы ретінде көрсетеді. Осы мағынада тығыз кеңістіктерде, жергілікті түрде, яғни әрбір нүктеге жақын жерде орындалатын ақпаратты кеңістік бойынша орындалатын сәйкес мәлімдемелермен біріктіруге болады, және көптеген теоремалар осы сипатта. "Тығыз жиын" термині кейде "тығыз кеңістік" терминінің синонимі ретінде қолданылады, бірақ көбінесе топологиялық кеңістіктің тығыз ішкі кеңістігін білдіреді.

In mathematics, specifically general topology, compactness is a property that seeks to generalize the notion of a closed and bounded subset of Euclidean space. The idea is that a compact space has no "punctures" or "missing endpoints", i. e., it includes all limiting values of points. For example, the open interval (0,1) would not be compact because it excludes the limiting values of 0 and 1, whereas the closed interval [0,1] would be compact. Similarly, the space of rational numbers is not compact, because it has infinitely many "punctures" corresponding to the irrational numbers, and the space of real numbers is not compact either, because it excludes the two limiting values and However, the extended real number line would be compact, since it contains both infinities. There are many ways to make this heuristic notion precise. These ways usually agree in a metric space, but may not be equivalent in other topological spaces. One such generalization is that a topological space is sequentially compact if every infinite sequence of points sampled from the space has an infinite subsequence that converges to some point of the space. The Bolzano–Weierstrass theorem states that a subset of Euclidean space is compact in this sequential sense if and only if it is closed and bounded. Thus, if one chooses an infinite number of points in the closed unit interval [0, 1], some of those points will get arbitrarily close to some real number in that space. For instance, some of the numbers in the sequence accumulate to 0 (while others accumulate to 1). Since neither 0 nor 1 are members of the open unit interval (0, 1), those same sets of points would not accumulate to any point of it, so the open unit interval is not compact. Although subsets (subspaces) of Euclidean space can be compact, the entire space itself is not compact, since it is not bounded. For example, considering (the real number line), the sequence of points 0, 1, 2, 3, has no subsequence that converges to any real number. Compactness was formally introduced by Maurice Fréchet in 1906 to generalize the Bolzano–Weierstrass theorem from spaces of geometrical points to spaces of functions. The Arzelà–Ascoli theorem and the Peano existence theorem exemplify applications of this notion of compactness to classical analysis. Following its initial introduction, various equivalent notions of compactness, including sequential compactness and limit point compactness, were developed in general metric spaces. In general topological spaces, however, these notions of compactness are not necessarily equivalent. The most useful notion — and the standard definition of the unqualified term compactness — is phrased in terms of the existence of finite families of open sets that "cover" the space in the sense that each point of the space lies in some set contained in the family. This more subtle notion, introduced by Pavel Alexandrov and Pavel Urysohn in 1929, exhibits compact spaces as generalizations of finite sets. In spaces that are compact in this sense, it is often possible to patch together information that holds locally – that is, in a neighborhood of each point – into corresponding statements that hold throughout the space, and many theorems are of this character. The term compact set is sometimes used as a synonym for compact space, but also often refers to a compact subspace of a topological space.

Тарихи дамуы

19 ғасырда бірнеше математикалық қасиеттер түсінілді, олар кейіннен тығыздықпен байланыстырылды. Бір жағынан, Бернард Болцано (1817) кез келген шектелген нүктелер тізбегінің (мысалы, түзу немесе жазықтықта) ақырында белгілі бір нүктеге кез келген дәлдікпен жақындасатын ішкі тізбегі болатынын байқаған, бұл нүкте шекті нүкте деп аталады. Болцаноның дәлелі екіге бөлу әдісіне негізделген: тізбек екі тең бөлікке бөлінген аралыққа орналастырылды, содан кейін тізбектің шексіз көп мүшелерін қамтитын бөлік таңдалды. Бұл процесті нәтижедегі кіші аралықты одан да кішірек бөліктерге бөліп, қажетті шекті нүктеге жеткенше қайталауға болады. Болцано теоремасының толық маңызы және оның дәлелдеу әдісі Карл Вейерштрасс оны шамамен 50 жылдан кейін қайта ашқанға дейін толыққандай көрінбеді. 1880 жылдары Болцано-Вейерштрасс теоремасына ұқсас нәтижелерді сандар немесе геометриялық нүктелер емес, функциялар кеңістіктері үшін де қолдануға болатыны анық болды. Функцияларды жалпыланған кеңістіктің нүктелері ретінде қарастыру идеясы Джулио Асколи мен Чезаре Арзеланың зерттеулеріне қатысты. Олардың зерттеулерінің шыңы – Арзела-Асколи теоремасы, Болцано-Вейерштрасс теоремасының үздіксіз функциялар отбасыларына жалпылауы, оның негізгі қорытындысы – функциялар отбасынан біркелкі жақындасатын функциялар тізбегін бөліп алуға болатыны. Бұл тізбектің біркелкі шегі Болцаноның «шекті нүктесі» сияқты дәл сол рөлді атқарды. 20 ғасырдың басында Дэвид Гилберт пен Эрхард Шмидт зерттегендей, Арзела мен Асколидің нәтижелеріне ұқсас нәтижелер интегралдық теңдеулер саласында жинақтала бастады. Интегралдық теңдеулердің шешімдерінен туындаған Грин функцияларының белгілі бір класы үшін Шмидт Арзела-Асколи теоремасына ұқсас қасиет орташа жақындасу, яки кейіннен Хилберт кеңістігі деп аталатын жақындасу мағынасында сақталатынын көрсетті. Бұл ақырында компактты кеңістік түсінігінен туындаған компактты оператор түсінігіне әкелді. Морис Фреше 1906 жылы Болцано-Вейерштрасс қасиетінің мәнін тұжырымдап, осы жалпы құбылысты атау үшін «компакттылық» терминін енгізді (ол бұл терминді 1904 жылғы мақаласында қолданған, ол оның 1906 жылғы диссертациясына әкелді). Алайда, 19 ғасырдың соңында континуумды зерттеуден басқаша компакттылық түсінігі де пайда болды, ол талдаудың қатаң тұжырымдамасы үшін маңызды деп есептелді. 1870 жылы Эдуард Хайне жабық және шектелген аралықта анықталған үздіксіз функцияның шын мәнінде біркелкі үздіксіз екенін көрсетті. Дәлелдеу барысында ол кез келген саналатын ашық аралықтармен аралықты жабатын аралықтардың шекті санын таңдауға болатынын көрсететін лемманы қолданды. Бұл лемманың маңыздылығын Эмиль Борель (1895) мойындады, ал Пьер Кузин (1895) және Анри Лебег (1904) оны кездейсоқ аралықтар жинағына жалпылады. Нәтижесінде «Хайне-Борль теоремасы» деп белгілі болған нәтиже, нақты сандардың жабық және шектелген жиынтықтарының тағы бір ерекше қасиеті болып табылады. Бұл қасиет маңызды болды, өйткені ол жиын туралы жергілікті ақпараттан (мысалы, функцияның үздіксіздігі) жиын туралы жаһандық ақпаратқа (мысалы, функцияның біркелкі үздіксіздігі) өтуге мүмкіндік берді. Бұл идеяны , сондай-ақ оның атымен аталатын интегралды дамытуда пайдаланған. Ақырында, Павел Александров пен Павел Урысон басшылығындағы ресейлік нүктелік жиын топологиясы мектебі Heine-Borel компакттығын топологиялық кеңістіктің қазіргі заманғы түсінігіне қолдануға болатын түрінде тұжырымдады. Фрешеге байланысты компакттылықтың бұрынғы түрі, қазір (нақты) тізбектік компакттылық деп аталады, тиісті жағдайларда шекті субқаптамалардың болуы тұрғысынан тұжырымдалған компакттылық түрінен туындайтынын көрсетті. Бұл түсінік басымдыққа ие болды, өйткені ол күшті қасиетке ие болғанымен қатар, оны азайтылған қосымша техникалық құралдармен жалпылама жағдайда тұжырымдауға болады, өйткені ол кеңістіктегі ашық жиынтардың құрылымына ғана сүйенді.

In the 19th century, several disparate mathematical properties were understood that would later be seen as consequences of compactness. On the one hand, Bernard Bolzano (1817) had been aware that any bounded sequence of points (in the line or plane, for instance) has a subsequence that must eventually get arbitrarily close to some other point, called a limit point. Bolzano's proof relied on the method of bisection: the sequence was placed into an interval that was then divided into two equal parts, and a part containing infinitely many terms of the sequence was selected. The process could then be repeated by dividing the resulting smaller interval into smaller and smaller parts – until it closes down on the desired limit point. The full significance of Bolzano's theorem, and its method of proof, would not emerge until almost 50 years later when it was rediscovered by Karl Weierstrass. In the 1880s, it became clear that results similar to the Bolzano–Weierstrass theorem could be formulated for spaces of functions rather than just numbers or geometrical points. The idea of regarding functions as themselves points of a generalized space dates back to the investigations of Giulio Ascoli and Cesare Arzelà. The culmination of their investigations, the Arzelà–Ascoli theorem, was a generalization of the Bolzano–Weierstrass theorem to families of continuous functions, the precise conclusion of which was that it was possible to extract a uniformly convergent sequence of functions from a suitable family of functions. The uniform limit of this sequence then played precisely the same role as Bolzano's "limit point". Towards the beginning of the twentieth century, results similar to that of Arzelà and Ascoli began to accumulate in the area of integral equations, as investigated by David Hilbert and Erhard Schmidt. For a certain class of Green's functions coming from solutions of integral equations, Schmidt had shown that a property analogous to the Arzelà–Ascoli theorem held in the sense of mean convergence – or convergence in what would later be dubbed a Hilbert space. This ultimately led to the notion of a compact operator as an offshoot of the general notion of a compact space. It was Maurice Fréchet who, in 1906, had distilled the essence of the Bolzano–Weierstrass property and coined the term compactness to refer to this general phenomenon (he used the term already in his 1904 paper which led to the famous 1906 thesis). However, a different notion of compactness altogether had also slowly emerged at the end of the 19th century from the study of the continuum, which was seen as fundamental for the rigorous formulation of analysis. In 1870, Eduard Heine showed that a continuous function defined on a closed and bounded interval was in fact uniformly continuous. In the course of the proof, he made use of a lemma that from any countable cover of the interval by smaller open intervals, it was possible to select a finite number of these that also covered it. The significance of this lemma was recognized by Émile Borel (1895), and it was generalized to arbitrary collections of intervals by Pierre Cousin (1895) and Henri Lebesgue (1904). The Heine–Borel theorem, as the result is now known, is another special property possessed by closed and bounded sets of real numbers. This property was significant because it allowed for the passage from local information about a set (such as the continuity of a function) to global information about the set (such as the uniform continuity of a function). This sentiment was expressed by , who also exploited it in the development of the integral now bearing his name. Ultimately, the Russian school of point set topology, under the direction of Pavel Alexandrov and Pavel Urysohn, formulated Heine–Borel compactness in a way that could be applied to the modern notion of a topological space. showed that the earlier version of compactness due to Fréchet, now called (relative) sequential compactness, under appropriate conditions followed from the version of compactness that was formulated in terms of the existence of finite subcovers. It was this notion of compactness that became the dominant one, because it was not only a stronger property, but it could be formulated in a more general setting with a minimum of additional technical machinery, as it relied only on the structure of the open sets in a space.

Негізгі мысалдар

Кез келген шекті кеңістік тығыз болады; шекті субқаптаманы әрбір нүкте үшін оны қамтитын ашық жиынтықты таңдап алу арқылы алуға болады. Нақты сандардың (жабық) бірлік интервалы – тығыз кеңістіктің тривиалды емес мысалы. Егер бірлік интервалда шексіз көп түрлі нүктелер таңдалса, онда осы интервалдағы осы нүктелердің арасында кемінде бір жинақтау нүктесі болуы керек. Мысалы, тізбектің тақ нөмірлі мүшелері 0-ге, ал жұп нөмірлі мүшелері 1-ге еркін жақын болады. Берілген мысал тізбек интервалдың шекаралық нүктелерін қосудың маңыздылығын көрсетеді, себебі шекті нүктелер кеңістіктің өзінде болуы керек – нақты сандардың ашық (немесе жартылай ашық) интервалы тығыз емес. Интервалдың шектелуі де маңызды, өйткені интервалда 0, 1, 2, 3,... тізбегін таңдауға болады, оның ешбір кіші тізбегі кез келген нақты санға еркін жақын болмайды. Екі өлшемде жабық дискілер тығыз болады, себебі дискіден алынған нүктелердің кез келген шексіз саны үшін осы нүктелердің біраз бөлігі дискінің ішіндегі нүктеге немесе шекарадағы нүктеге еркін жақын болуы керек. Алайда, ашық диск тығыз емес, себебі нүктелер тізбегі ішкі кез келген нүктеге еркін жақын келмей шекараға қарай ұмтылуы мүмкін. Сол сияқты, сфералар тығыз, бірақ бір нүктесі жоқ сфера тығыз емес, себебі нүктелер тізбегі әлі де жоқ нүктеге қарай ұмтылуы мүмкін, осылайша кеңістіктегі кез келген нүктеге еркін жақындамайды. Сызықтар мен жазықтықтар тығыз емес, себебі кез келген бағытта бір-бірінен тең арақашықтықтағы нүктелер жиынтығын алуға болады, олар кез келген нүктеге жақындамайды.

Евклид кеңістігі

Евклид кеңістігінің кез келген A ішкі жиыны үшін, A компактты болу үшін қажет және жеткілікті шарты – жабық және шектелген болуы; бұл Хайне-Борель теоремасы. Евклид кеңістігі метрикалық кеңістік болғандықтан, келесі тараудың шарттары оның барлық ішкі жиындарына да қолданылады. Барлық эквивалентті шарттардың арасында, ішкі жиынның жабық және шектелген екенін тексеру практикада оңайырақ, мысалы, жабық аралық немесе жабық n-шар үшін.

Реттелген кеңістіктер

Реттелген кеңістік үшін (X, <) (яғни реттік топологиямен жабдықталған толық реттелген жиын) келесі шарттар эквивалентті: (X, <) тығыз. X-тің кез келген ішкі жиыны X-те жоғарғы шекке (яғни ең кіші жоғарғы шекке) ие. X-тің кез келген ішкі жиыны X-те төменгі шекке ие. X-тің бос емес кез келген жабық ішкі жиыны ең үлкен және ең кіші элементтерге ие. Осы шарттардың кез келгенін қанағаттандыратын реттелген кеңістік толық тор деп аталады. Сонымен қатар, келесі шарттар барлық реттелген кеңістіктер үшін (X, <) эквивалентті, және (санаулы таңдау принципін қабылдаса) (X, <) тығыз болғанда дұрыс. (Егер (X, <) сонымен қатар метрикалық кеңістік болмаса, керісінше жалпы жағдайда дұрыс емес.): (X, <) кеңістігіндегі кез келген тізбектің (X, <) кеңістігіне жинақталатын кіші тізбегі болады. X-тегі кез келген монотонды өсу тізбегі X-тегі бірегей шекке жиналады. X-тегі кез келген монотонды азаю тізбегі X-тегі бірегей шекке жиналады. (X, <) кеңістігіндегі S1 ⊇ S2 ⊇ ... бос емес жабық ішкі жиындардың кез келген кеміп бара жатқан тізбегінің бос емес қиылысы болады. (X, <) кеңістігіндегі S1 ⊆ S2 ⊆ ... ашық ішкі жиындардың кез келген өсу тізбегі X кеңістігін жаба алмайды.

Гиперреалдық анықтама

X кеңістігі компактты болады, егер оның гиперреалдық кеңейтуі X (мысалы, ультракөлік құрылысы арқылы салынған) X-тің әрбір нүктесі X ⊂ *X жиынының қандай да бір нүктесіне шексіз жақын болса. Мысалы, ашық нақты интервал компактты емес, себебі оның гиперреалдық кеңейтуінде (0,1) шексіз кішкентай шамалар бар, олар 0-ге шексіз жақын, ал 0 – X жиынының нүктесі емес.

Ықшам кеңістіктердің қасиеттері

Хаусдорф кеңістігінің ықшам қосалқы жиыны жабық болады. Егер X Хаусдорф кеңістігі болмаса, онда X-тің ықшам қосалқы жиыны X-тің жабық қосалқы жиыны болмауы мүмкін (мысалы, төменгі жазбаны қараңыз). Егер X Хаусдорф кеңістігі болмаса, онда ықшам жиынның жабылуы ықшам болмауы мүмкін (мысалы, төменгі жазбаны қараңыз). Кез келген топологиялық векторлық кеңістікте (ТВК) ықшам қосалқы жиын толық болады. Дегенмен, Хаусдорф емес әрбір ТВК-да жабық емес ықшам (және осылайша толық) қосалқы жиынтықтар бар. Егер A және B Хаусдорф кеңістігінің ықшам жиындары болса, онда X-те U және V ашық жиынтықтары бар, олар бір-бірімен қиылыспайды, және A ⊆ U және B ⊆ V. Ықшам кеңістіктен Хаусдорф кеңістігіне үздіксіз биекция гомеоморфизм болып табылады. Ықшам Хаусдорф кеңістігі қалыпты және ретті болады. Егер X кеңістігі ықшам және Хаусдорф болса, онда X-те ешқандай жіңішке топология ықшам емес және X-те ешқандай жалпы топология Хаусдорф емес. Егер метрикалық кеңістік (X, d) қосалқы жиыны ықшам болса, онда ол d-мен шектелген болады.

Функциялар мен тығыз кеңістіктер

Ықшам кеңістіктің үздіксіз бейнесі ықшам болғандықтан, экстремалды мән теоремасы мұндай кеңістіктер үшін сақталады: бос емес ықшам кеңістіктегі үздіксіз, нақты мәнді функция жоғарыдан шектелген және оның жоғарғы шегіне жетеді. (Бұл сәл жалпырақ, жоғары жартылай үздіксіз функция үшін де дұрыс.) Ал, керісінше, дұрыс бейнелеу арқылы ықшам кеңістіктің кері бейнесі ықшам болады.

Компактификациялар

Кез келген топологиялық X кеңістігі – Александровтың бір нүктелік тығыздалуы арқылы, X-тен бір нүктеге артық болатын компакт кеңістіктің ашық, тығыз ішкі кеңістігі болып табылады. Осы құрылымды пайдаланып, кез келген жергілікті компактты Хаусдорф кеңістігі X – X-тен бір нүктеге артық болатын компактты Хаусдорф кеңістігінің ашық, тығыз ішкі кеңістігі болып табылады.

Кезекті шағын кеңістіктер

Нақты сандардың бос емес, сығыз жиынтығында ең үлкен және ең кіші элемент болады. X жиыны реттелген топологиямен жабдықталған жай реттелген жиын болсын. Онда X жиыны сығыз болады, егер және тек қана X толық тор болса (яғни, кез келген жиынтықтың жоғарғы және төменгі шектері бар).

Мысалдар

Кез келген шекті топологиялық кеңістік, оның ішінде бос жиынтық, тығыз. Жалпы алғанда, шекті топологиясы бар кез келген кеңістік (тек шекті көп ашық жиынтықтар) тығыз; бұл, әсіресе, тривиалды топологияны қамтиды. Кофинитті топологияны алып жүретін кез келген кеңістік тығыз болады. Кез келген жергілікті тығыз Хаусдорф кеңістігін Александровтың бір нүктелік тығыздалуы арқылы оған бір нүкте қосу арқылы тығыз кеңістікке айналдыруға болады. Бір нүктелік тығыздалу шеңберге гомеоморфты "S"^(1); бір нүктелік тығыздалу сфераға гомеоморфты "S"^(2). Бір нүктелік тығыздалуды пайдаланып, Хаусдорф емес кеңістікті Хаусдорф емес кеңістіктен бастау арқылы оңай құрастыруға болады. Кез келген шектелген толық реттелген жиынның оң реттік топологиясы немесе сол реттік топологиясы тығыз. Әсіресе, Sierpiński кеңістігі тығыз. Шегі жоқ нүктелер саны бар дискретті кеңістік тығыз емес. Кеністіктің барлық жеке бөлшектерінің жиынтығы – шекті субқаптаманы қабылдамайтын ашық қаптама. Шекті дискретті кеңістіктер тығыз болады. Төменгі шек топологиясын алып жүруде санауға болмайтын жиынтық тығыз емес. Санасыз жиынның саналатын топологиясында шексіз жиынның ешқайсысы тығыз емес. Алдыңғы мысалға қарағанда, кеңістік тұтастай алғанда жергілікті тұрғыдан тығыз емес, бірақ әлі де Линделоф. Жабық бірлік аралығы тығыз. Бұл Хайне–Борль теоремасынан туындайды. Ашық аралық тығыз емес: ашық қаптаманың шекті қосалқы қаптамасы жоқ. Сол сияқты, жабық аралықтағы рационалдық сандар жиыны тығыз емес: аралықтағы рационалдық сандар жиыны [0, 1] үшін барлық рационалды сандарды қамтиды, бірақ бұл қаптамада шекті субқаптама жоқ. Мұнда, жиынтықтар субкеңістік топологияда ашық, бірақ олардың барлығы нақты сандар жиыны ретінде ашық емес, өйткені шекті субкеңістігі жоқ ашық аралықтардың қаптамасы бар. Мысалы, n "Z" -дегі барлық бүтін сандық мәндерді алатын аралықтар, бірақ шекті субқаптама жоқ. Екінші жағынан, ұқсас топологияны қамтитын кеңейтілген нақты сандар сызығы тығыз; жоғарыда сипатталған қаптама шексіз нүктелерге ешқашан жетпейтінін және сондықтан кеңейтілген нақты сызықты қамтымайтындығын ескеріңіз. Шын мәнінде, жиынның [−1, 1] гомеоморфизмі бар, ол әр шексізді тиісті бірлігіне және әрбір нақты санды оның белгісіне сәйкестендіреді, оны интервалдың оң бөлігіндегі бірегей санға көбейтіп, бірден минус өзіне бөлгенде оның абсолюттік мәнін береді. Гомеоморфизмдер қаптамаларды сақтайтындықтан, Хайне–Борль қасиетін тұжырымдауға болады. Әрбір n натуралды сан үшін n сферасы тығыз. Тағы да Хайне–Борль теоремасы бойынша, кез келген шекті өлшемді нормаланған векторлық кеңістіктің жабық бірлік шары тығыз болады. Бұл шексіз өлшемдер үшін дұрыс емес; шын мәнінде, нормаланған векторлық кеңістік шекті өлшемді, егер және тек егер оның жабық бірлік шары тығыз болса. Екінші жағынан, нормаланған кеңістіктің дуалының жабық бірлік шары әлсіз * топология үшін тығыз болады. (Алаоглу теоремасы) Кантор жиыны тығыз. Шын мәнінде, әрбір тығыз метрикалық кеңістік Кантор жиынының үздіксіз бейнесі болып табылады. Барлық f функцияларының жиынтығын қарастырайық: → [0, 1] нақты сандар сызығынан жабық бірлік аралығына дейін және K-де топлогияны анықтаңыз, сондықтан K-дегі тізбек f ∈ K-ге қарай шоғырланады, егер және тек егер барлық нақты сандар үшін f(x)-ке қарай шоғырланса ғана. Мұндай топологияның тек біреуі бар; ол нүктелік конвергенция топологиясы немесе өнім топологиясы деп аталады. Онда K – тығыз топологиялық кеңістік; бұл Тихонов теоремасынан туындайды. Банах кеңістігінің тығыз Хаусдорф кеңістігіндегі нақты бағаланған үздіксіз функциялардың қосалқы жиынтығы егер және тек егер ол тең үздіксіз және нүктелік шектелген болса ғана салыстырмалы түрде тығыз (Арзела–Асколи теоремасы). Барлық функциялардың K жиынын барлық үшін Липшиц шартын қанағаттандыратын деп қарастырайық. K бойынша біркелкі қашықтықпен индукцияланған метриканы қарастырайық. Арзела–Асколи теоремасы бойынша K кеңістігі тығыз болады. Банах кеңістігіндегі кез келген шектелген сызықтық оператордың спектрі күрделі сандардың бос емес тығыз кіші жиынтығы болып табылады. Керісінше, кез келген тығыз кіші жиынтық осылайша пайда болады, өйткені кейбір шектелген сызықтық оператордың спектрі. Мысалы, Хилберт кеңістігіндегі диагональдық операторда кез келген тығыз бос емес субжиын болуы мүмкін. Борелдің ықтималдық өлшемдері кеңістігі тығыз Хаусдорф кеңістігі үшін әлсіз топология үшін тығыз, Алаоглу теоремасы бойынша. Борел жиындарының ықтималдық өлшемдері жиыны, егер кез келген оң эпсилон үшін, барлық өлшемдердің массасының эпсилоннан артық бөлігін қамтитын тығыз кіші жиын болса, тығыз деп аталады. Содан кейін Хелли теоремасы ықтималдық өлшемдері жиыны әлсіз топология үшін салыстырмалы түрде тығыз екенін күйейді, егер және тек егер ол тығыз болса.

Any finite topological space, including the empty set, is compact. More generally, any space with a finite topology (only finitely many open sets) is compact; this includes in particular the trivial topology. Any space carrying the cofinite topology is compact. Any locally compact Hausdorff space can be turned into a compact space by adding a single point to it, by means of Alexandroff one point compactification. The one point compactification of is homeomorphic to the circle 'S'^(1); the one point compactification of is homeomorphic to the sphere 'S'^(2). Using the one point compactification, one can also easily construct compact spaces which are not Hausdorff, by starting with a non Hausdorff space. The right order topology or left order topology on any bounded totally ordered set is compact. In particular, Sierpiński space is compact. No discrete space with an infinite number of points is compact. The collection of all singletons of the space is an open cover which admits no finite subcover. Finite discrete spaces are compact. In carrying the lower limit topology, no uncountable set is compact. In the cocountable topology on an uncountable set, no infinite set is compact. Like the previous example, the space as a whole is not locally compact but is still Lindelöf. The closed unit interval is compact. This follows from the Heine–Borel theorem. The open interval is not compact: the open cover for does not have a finite subcover. Similarly, the set of rational numbers in the closed interval is not compact: the sets of rational numbers in the intervals cover all the rationals in [0, 1] for but this cover does not have a finite subcover. Here, the sets are open in the subspace topology even though they are not open as subsets of The set of all real numbers is not compact as there is a cover of open intervals that does not have a finite subcover. For example, intervals , where n takes all integer values in 'Z', cover but there is no finite subcover. On the other hand, the extended real number line carrying the analogous topology is compact; note that the cover described above would never reach the points at infinity and thus would not cover the extended real line. In fact, the set has the homeomorphism to [−1, 1] of mapping each infinity to its corresponding unit and every real number to its sign multiplied by the unique number in the positive part of interval that results in its absolute value when divided by one minus itself, and since homeomorphisms preserve covers, the Heine Borel property can be inferred. For every natural number n, the n sphere is compact. Again from the Heine–Borel theorem, the closed unit ball of any finite dimensional normed vector space is compact. This is not true for infinite dimensions; in fact, a normed vector space is finite dimensional if and only if its closed unit ball is compact. On the other hand, the closed unit ball of the dual of a normed space is compact for the weak * topology. (Alaoglu's theorem)
The Cantor set is compact. In fact, every compact metric space is a continuous image of the Cantor set. Consider the set K of all functions f : → [0, 1] from the real number line to the closed unit interval, and define a topology on K so that a sequence in K converges towards f ∈ K if and only if converges towards f(x) for all real numbers x. There is only one such topology; it is called the topology of pointwise convergence or the product topology. Then K is a compact topological space; this follows from the Tychonoff theorem. A subset of the Banach space of real valued continuous functions on a compact Hausdorff space is relatively compact if and only if it is equicontinuous and pointwise bounded (Arzelà–Ascoli theorem). Consider the set K of all functions satisfying the Lipschitz condition for all Consider on K the metric induced by the uniform distance Then by the Arzelà–Ascoli theorem the space K is compact. The spectrum of any bounded linear operator on a Banach space is a nonempty compact subset of the complex numbers Conversely, any compact subset of arises in this manner, as the spectrum of some bounded linear operator. For instance, a diagonal operator on the Hilbert space may have any compact nonempty subset of as spectrum. The space of Borel probability measures on a compact Hausdorff space is compact for the vague topology, by the Alaoglu theorem. A collection of probability measures on the Borel sets of Euclidean space is called tight if, for any positive epsilon, there exists a compact subset containing all but at most epsilon of the mass of each of the measures. Helly's theorem then asserts that a collection of probability measures is relatively compact for the vague topology if and only if it is tight.

Алгебралық мысалдар

Ортогоналды топтар сияқты топологиялық топтар компактты, ал жалпы сызықтық топтар сияқты топтар емес. p-адық бүтін сандар Кантор жиынымен гомеоморфты болғандықтан, олар компактты жиынды құрайды. Кез келген K глобальдық өрісі – оның адель сақинасының дискретті қосымша кіші тобы, ал көбейтінді кеңістік компактты. Бұл Джон Тейттің диссертациясында сандар теориясында гармоникалық талдау қолдануға мүмкіндік беру үшін пайдаланылды. Зариски топологиясымен жабдықталған кез келген коммутативтік сақинаның спектрі (яғни, барлық жай идеалдар жиыны) компактты, бірақ ешқашан Хаусдорфтық емес (тривиалды жағдайларды қоспағанда). Алгебралық геометрияда мұндай топологиялық кеңістіктер квазикомпактты схемалардың мысалы болып табылады, мұндағы "квази" топологияның Хаусдорфтық еместігіне сілтеме жасайды. Буль алгебрасының спектрі компактты, бұл факт Стоунның өкілдік теоремасының бір бөлігі. Стоун кеңістіктері, компактты, толығымен үзіліссіз және Хаусдорф кеңістіктері, осы спектрлерді зерттеуге арналған абстрактілі аясты құрайды. Мұндай кеңістіктер профинитті топтарды зерттеуде де пайдалы. Коммутативті униталды Банах алгебрасының құрылымдық кеңістігі – компактты Хаусдорф кеңістігі. Гильберт текшесі де компактты, бұл да Тихонов теоремасының салдары. Профинитті топ (мысалы, Галуа тобы) компактты.