Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Метрикалық геометрия
Metric geometry
Математикалық талдауда, М метрикалық кеңістігі толық (немесе Коши кеңістігі) деп аталады, егер М-дегі нүктелердің кез келген Коши тізбегінің лимиті де М-ге жатса.
In mathematical analysis, a metric space M is called complete (or a Cauchy space) if every Cauchy sequence of points in M has a limit that is also in M.
Түсінікті тұрғысынан, кеңістік толық болса, онда одан ешқандай "нүктелер жетіспейді" (ішінде немесе шекарасында). Мысалы, рационал сандар жиыны толық емес, себебі, мысалы, ол жиыннан "жетіспейді", бірақ оған жуықтайтын рационал сандардың Коши тізбегін құруға болады (қосымша мысалдар төменде қарастырылған). Берілген кеңістікті толықтыруға әкелетін "барлық бос орындарды толтыру" әрқашан мүмкін, және бұл төменде түсіндірілген.
Intuitively, a space is complete if there are no "points missing" from it (inside or at the boundary). For instance, the set of rational numbers is not complete, because e. g. is "missing" from it, even though one can construct a Cauchy sequence of rational numbers that converges to it (see further examples below). It is always possible to "fill all the holes", leading to the completion of a given space, as explained below.
Кейбір теоремалар
Кез келген компактты метрикалық кеңістік толық, бірақ толық кеңістіктер міндетті түрде компактты бола бермейді. Шындығында, метрикалық кеңістік толық және толығымен шектелген болса және тек сонда ғана компактты болады. Бұл Хайне-Борель теоремасының жалпылауы болып табылады, ол 'R'^(n) кез келген жабық және шектелген ішкі кеңістігі компактты және, демек, толық екенін көрсетеді. болсын – толық метрикалық кеңістік. Егер жабық жиын болса, онда де толық болады. болсын – метрикалық кеңістік. Егер толық ішкі кеңістік болса, онда де жабық болады. Егер жиын және толық метрикалық кеңістік болса, онда X-тен ке дейінгі барлық шектелген функциялар жиыны толық метрикалық кеңістік құрайды. Мұндағы арасындағы қашықтық жоғары шек нормасы арқылы анықталады.
Every compact metric space is complete, though complete spaces need not be compact. In fact, a metric space is compact if and only if it is complete and totally bounded. This is a generalization of the Heine–Borel theorem, which states that any closed and bounded subspace of 'R'^(n) is compact and therefore complete. Let be a complete metric space. If is a closed set, then is also complete. Let be a metric space. If is a complete subspace, then is also closed. If is a set and is a complete metric space, then the set of all bounded functions f from X to is a complete metric space. Here we define the distance in in terms of the distance in with the supremum norm
Егер топологиялық кеңістік және толық метрикалық кеңістік болса, онда барлық үздіксіз шектелген функциялардан тұратын жиын ішкі кеңістігі болып табылады және, демек, толық. Бейр категориясы теоремасы әрбір толық метрикалық кеңістік Бейр кеңістігі екенін айтады. Яғни, кеңістіктің санаулы көп ешқайда тығыз емес ішкі жиындарының бірігуінің ішкі бөлігі бос жиын болады. Банахтың бекітілген нүкте теоремасы толық метрикалық кеңістіктегі қысқартулы бейнелеу бекітілген нүктеге ие екенін көрсетеді. Бекітілген нүкте теоремасы көбінесе Банах кеңістіктері сияқты толық метрикалық кеңістіктердегі кері функция теоремасын дәлелдеу үшін қолданылады.
If is a topological space and is a complete metric space, then the set consisting of all continuous bounded functions is a closed subspace of and hence also complete. The Baire category theorem says that every complete metric space is a Baire space. That is, the union of countably many nowhere dense subsets of the space has empty interior. The Banach fixed point theorem states that a contraction mapping on a complete metric space admits a fixed point. The fixed point theorem is often used to prove the inverse function theorem on complete metric spaces such as Banach spaces.