Кіріспе
Топологияда және математиканың басқа да салаларында, байланысты кеңістік – екі немесе одан көп бос емес, ашық жиынтықтардың бірігінен құралмайтын топологиялық кеңістік. Байланыстылық – топологиялық кеңістіктерді ажыратуға қолданылатын маңызды топологиялық қасиеттердің бірі. Топологиялық кеңістіктің ішкі жиыны, егер ол өзіндік кеңістік ретінде қарастырылғанда байланысты болса, байланысты жиынтық болып табылады. Байланыстылыққа қатысты, бірақ күштірек шарттарға жолмен байланысты, жай ғана байланысты және байланысты жатады. Тағы бір байланысты ұғым – жергілікті байланысты, ол байланыстылықты білдірмейді де, одан туындамайды.
In topology and related branches of mathematics, a connected space is a topological space that cannot be represented as the union of two or more disjoint non empty open subsets. Connectedness is one of the principal topological properties that are used to distinguish topological spaces. A subset of a topological space is a connected set if it is a connected space when viewed as a subspace of
Some related but stronger conditions are path connected, simply connected, and connected. Another related notion is locally connected, which neither implies nor follows from connectedness.
Қосылмаған кеңістіктер
Барлық компоненттері бірнүктелі жиынтықтар болатын кеңістік толығымен үзіліссіз деп аталады. Осы қасиетке байланысты, егер кез келген екі әртүрлі элементі үшін және , оларды қамтитын және бір-бірімен қиылыспайтын ашық жиынтықтар болса, онда кеңістік толығымен бөлінген деп аталады, мұнда – ның және – ның біріктірілісі болады. Әрине, кез келген толығымен бөлінген кеңістік толығымен үзіліссіз болады, бірақ керісіне дұрыс емес. Мысалы, рационал сандардың екі көшірмесін алып, оларды нөлден басқа барлық нүктеде теңестіріңіз. Нәтижесінде алынған кеңістік, бөлік топологиясымен, толығымен үзіліссіз болады. Дегенмен, нөлдің екі көшірмесін қарастырғанда, кеңістік толығымен бөлінбегенін көруге болады. Шындығында, ол тіпті Хаусдорф кеңістігі де емес, ал толығымен бөлінген болу шарты Хаусдорф кеңістігі болу шартынан қатаң түрде күшті.
Жолдың байланысы
Жолға байланысты кеңістік – жол құрылымын талап ететін байланыстылықтың күшті түсінігі. Топологиялық кеңістіктегі бір нүктеден екінші нүктеге дейінгі жол – бірлік аралығынан [0,1] кеңістікке дейінгі үздіксіз функция, мұнда f(0) = x және f(1) = y. Кеңістіктің жол компоненті – егер x-тен y-ға жол болса, x пен y-ты теңдестіретін эквиваленттілік қатынасы бойынша эквиваленттілік класы. Кеңістікте дәл бір жол компоненті болса, кеңістік жолмен байланысқан (немесе жол бойынша байланысқан, немесе 1-байланысқан) деп айтылады. Бос емес кеңістіктер үшін бұл кез келген екі нүктені қосатын жол бар деген тұжырымға тең. Кез келген жолмен байланысқан кеңістік байланысқан. Керісінше әрқашан да дұрыс емес: жолмен байланыспаған байланысқан кеңістіктердің мысалдарына кеңейтілген ұзын сызық және топологтың синустық қисығы жатады. Нақты сызықтың ішкі жиындары байланысқан, егер және тек қана олар жолмен байланысқан болса; бұл ішкі жиындар – аралықтар және сәулелер. Сондай-ақ, ℝ немесе ℂ ашық ішкі жиындары байланысқан, егер және тек қана олар жолмен байланысқан болса. Сонымен қатар, байланыстылық және жолмен байланыстылық шекті топологиялық кеңістіктер үшін бірдей.
Арканың байланысы
Егер кез келген екі топологиялық тұрғыдан ажыратылатын нүктелерді доғамен қосуға болады десе, онда ол кеңістік доғамен байланысқан немесе доға бойынша байланысқан деп аталады. Бұл ендіру болып табылады. Жолмен байланысқан кез келген Хаусдорф кеңістігі сондай-ақ доғамен байланысқан болады; жалпырақ айтқанда, бұл жолдың әрбір бейнесі жабық болатын Хаусдорф кеңістігі үшін де дұрыс. Жолмен байланысқан, бірақ доғамен байланысқан емес кеңістікке мысал – екі түпкі нүктесі бар түзу; оның екі көшірмесі жолмен қосылуы мүмкін, бірақ доғамен емес. Жолмен байланысқан кеңістіктерге қатысты интуиция доғамен байланысқан кеңістіктерге оңай көшпейді. Екі түпкі нүктесі бар түзу болсын. Төмендегі фактілер жолмен байланысқан кеңістіктер үшін де, бірақ доғамен байланысқан кеңістіктер үшін де орындалмайтын аналогтар болып табылады: доғамен байланысқан кеңістіктің үздіксіз бейнесі доғамен байланысқан болуы міндетті емес: мысалы, көп (кем дегенде 2) топологиялық тұрғыдан ажыратылатын нүктелері бар доғамен байланысқан кеңістіктен оның үлесіне қатысты үлестік карта, өте кішкентай кардиналдығына байланысты доғамен байланысқан бола алмайды. Доға компоненттері бір-бірімен қиылыспауы мүмкін. Мысалы, екі жапсарлас доға компоненті бар. Доғамен байланысқан көбейту кеңістігі доғамен байланысқан кеңістіктердің көбейтуі болуы міндетті емес. Мысалы, доғамен байланысқан, бірақ доғамен байланысқан емес. Көбейту кеңістігінің доға компоненттері шеттік кеңістіктердің доға компоненттерінің көбейтуі болуы міндетті емес. Мысалы, бір доға компоненті бар, бірақ екі доға компоненті бар. Егер доғамен байланысқан ішкі жиынтықтардың қиылысы бос емес болса, онда олардың біріктірілісі доғамен байланысқан болуы міндетті емес. Мысалы, доға компоненттері қиылысады, бірақ олардың біріктірілісі доғамен байланысқан емес.
Continuous image of arc connected space may not be arc connected: for example, a quotient map from an arc connected space to its quotient with countably many (at least 2) topologically distinguishable points cannot be arc connected due to too small cardinality. Arc components may not be disjoint. For example, has two overlapping arc components. Arc connected product space may not be a product of arc connected spaces. For example, is arc connected, but is not. Arc components of a product space may not be products of arc components of the marginal spaces. For example, has a single arc component, but has two arc components. If arc connected subsets have a non empty intersection, then their union may not be arc connected. For example, the arc components of intersect, but their union is not arc connected.
Жергілікті байланыс
Топологиялық кеңістік, егер оның әрбір нүктесінің әрбір маңында байланысты ашық маңы болса, жергілікті түрде байланысты деп аталады. Егер кеңістіктің базасы байланысты жиынтықтардан тұрса, онда ол жергілікті түрде байланысты болады. Көрсетілуі мүмкін, кеңістік жергілікті түрде байланысты егер және тек қана ашық жиынның кез келген компоненті ашық болса. Сол сияқты, топологиялық кеңістік, егер оның базасы жолмен байланысты жиынтықтардан тұрса, жергілікті түрде жолмен байланысты деп айтылады. Жергілікті түрде жолмен байланысты кеңістіктің ашық ішкі жиыны байланысты егер және тек қана ол жолмен байланысты болса. Бұл бұрынғы мәлімдемені және олардың әрқайсысы жергілікті түрде жолмен байланысты болғандықтан жалпылайды. Кез келген топологиялық көптік жалпы алғанда жергілікті түрде жолмен байланысты болады. Жергілікті түрде байланысты болу, байланысты болуды білдірмейді, ал жергілікті түрде жолмен байланысты болу, жолмен байланысты болуды білдірмейді. Жергілікті түрде байланысты (және жергілікті түрде жолмен байланысты) бірақ байланысты немесе жолмен байланысты емес кеңістіктің қарапайым мысалы – екі бөлек интервалдың бірігуі, мысалы, . Ал байланысты, бірақ жергілікті түрде байланысты емес кеңістіктің классикалық мысалы – топологтың синустық қисығы, , Евклидтік топологиямен , кіріктірілу арқылы шақырылған.
A classical example of a connected space that is not locally connected is the so called topologist's sine curve, defined as , with the Euclidean topology induced by inclusion in .
Орнату операциялары
Қосылған жиынтықтардың қиылысуы міндетті түрде қосылған емес. Қосылған жиынтықтардың бірігуі де міндетті түрде қосылған емес, мысалы, әрбір эллипс қосылған жиынтық болғанымен, бірігуі қосылған емес, себебі оны екі жиынтыққа – және – бөлуге болады. Бұл, егер бірігу ажыратылған болса, онда жиынтықты екі кіші жиынтыққа бөлуге болады, мұнда кіші жиынтықтардың бірігулері жиынтықта бірікпеген және ашық болады (суретті қараңыз). Бұл бірнеше жағдайда қосылған жиынтықтардың бірігуі міндетті түрде қосылған екенін көрсетеді. Атап айтқанда: Егер барлық жиынтықтардың ортақ қиылысуы бос емес болса, онда оларды бірікпеген бірігулерге жинақтарға бөлу мүмкін емес. Сондықтан, бос емес қиылысы бар қосылған жиынтықтардың бірігуі қосылған болады. Егер жиынтықтардың кез келген жұбының қиылысы бос емес болса, онда оларды да бірікпеген бірігулерге жинақтарға бөлу мүмкін емес, демек олардың бірігуі қосылған болуы керек. Егер жиынтықтарды «байланысқан тізбек» ретінде реттеуге болады, яғни бүтін сандық индекстермен және арқылы индекстеуге болады, онда олардың бірігуі де қосылған болуы керек. Егер жиынтықтар жұптық түрде ажыратылған болса және үлестік кеңістік қосылған болса, онда X қосылған болуы керек. Әйтпесе, егер X-тің бөлінісі болса, онда ол үлестік кеңістіктің де бөлінісі болады (себебі олар үлестік кеңістікте ажыратылған және ашық). Қосылған жиынтықтардың айырмасы міндетті түрде қосылған емес. Дегенмен, егер және олардың айырмасы ажыратылған болса (яғни оны екі ашық жиынның бірігуі ретінде жазуға болады – және ), онда осы компоненттердің әрқайсысымен бірігуі қосылған болады (яғни, барлық үшін қосылған).
Each ellipse is a connected set, but the union is not connected, since it can be partitioned to two disjoint open sets and
This means that, if the union is disconnected, then the collection can be partitioned to two sub collections, such that the unions of the sub collections are disjoint and open in (see picture). This implies that in several cases, a union of connected sets is necessarily connected. In particular:
If the common intersection of all sets is not empty , then obviously they cannot be partitioned to collections with disjoint unions. Hence the union of connected sets with non empty intersection is connected. If the intersection of each pair of sets is not empty then again they cannot be partitioned to collections with disjoint unions, so their union must be connected. If the sets can be ordered as a "linked chain", i. e. indexed by integer indices and , then again their union must be connected. If the sets are pairwise disjoint and the quotient space is connected, then X must be connected. Otherwise, if is a separation of X then is a separation of the quotient space (since are disjoint and open in the quotient space). The set difference of connected sets is not necessarily connected. However, if and their difference is disconnected (and thus can be written as a union of two open sets and ), then the union of with each such component is connected (i. e. is connected for all ).
Графиктер
Графтарда жолмен байланысқан кіші жиынтықтар болады, атап айтқанда, әрбір нүкте жұбы үшін оларды жалғайтын қабырғалардың жолы бар кіші жиынтықтар. Бірақ, әрқашан бірдей байланысқан жиынтықтарды тудыратын нүктелер жиынында топология табу мүмкін емес. 5 циклды граф (және тақ сан саны бар кез келген цикл) осындай мысалдың бірі. Осының салдарынан, байланыстылық ұғымын кеңістіктегі топологияға тәуелсіз түрде тұжырымдауға болады. Яғни, байланысты кеңістіктер категориясы бар, ол байланыстылық аксиомаларын қанағаттандыратын байланысқан кіші жиынтықтар жиынтығын қамтитын жиынтықтардан тұрады; олардың морфизмдері – байланысқан жиынтықтарды байланысқан жиынтықтарға бейнелейтін функциялар. Топологиялық кеңістіктер мен графтар – байланысты кеңістіктердің ерекше жағдайлары; шындығында, шекті байланысты кеңістіктер – дәл шекті графтар. Дегенмен, әрбір графты топологиялық кеңістікке айналдыруға болады, яғни төбелерді нүктелер ретінде, ал қабырғаларды бірлік аралығының көшірмелері ретінде қарастыру арқылы (топологиялық графтар теориясына қараңыз # Графтар топологиялық кеңістіктер ретінде). Содан кейін графтың (граф теориясы мағынасында) байланысты екені, оның топологиялық кеңістік ретінде байланысты болуымен эквивалентті екенін көрсетуге болады.