Введение

Топологическое пространство, в котором каждое открытое покрытие имеет открытое уточнение, являющееся локально конечным. В математике, паракомпактное пространство — это топологическое пространство, в котором каждое открытое покрытие имеет открытое уточнение, являющееся локально конечным. Эти пространства были введены. Каждое компактное пространство паракомпактно. Каждое паракомпактное пространство Хаусдорфа нормально, и пространство Хаусдорфа паракомпактно тогда и только тогда, когда оно допускает разбиения единства, подчиненные любому открытому покрытию. Иногда паракомпактные пространства определяются таким образом, чтобы всегда быть хаусдорфовыми. Каждое замкнутое подпространство паракомпактного пространства является паракомпактным. Хотя компактные подмножества пространств Хаусдорфа всегда замкнуты, это неверно для паракомпактных подмножеств. Пространство, в котором каждое его подпространство является паракомпактным, называется наследственно паракомпактным. Это эквивалентно требованию, чтобы каждое открытое подпространство было паракомпактным. Понятие паракомпактного пространства также изучается в безточечной топологии, где оно ведет себя лучше. Например, произведение любого числа паракомпактных локалей является паракомпактной локалью, но произведение двух паракомпактных пространств может не быть паракомпактным. Это следует сравнить с теоремой Тихонова, которая утверждает, что произведение любой коллекции компактных топологических пространств является компактным. Однако произведение паракомпактного пространства и компактного пространства всегда является паракомпактным. Каждое метрическое пространство паракомпактно. Топологическое пространство является метризуемым тогда и только тогда, когда оно является паракомпактным и локально метризуемым пространством Хаусдорфа.

Определение

Покрытие множества – это семейство подмножеств, объединение которых содержит множество. Если – индексированное семейство подмножеств , то является покрытием если

Покрытие топологического пространства называется открытым, если все его элементы – открытые множества. Уточнение покрытия пространства – это новое покрытие того же пространства, такое что каждое множество в новом покрытии является подмножеством некоторого множества в старом покрытии. В символах, покрытие является уточнением покрытия тогда и только тогда, когда для каждого из существует некоторое из такое, что

Открытое покрытие пространства называется локально конечным, если для каждой точки пространства существует окрестность, пересекающая лишь конечное число множеств из покрытия. В символах, является локально конечным тогда и только тогда, когда для любого из существует окрестность такая, что множество

является конечным. Топологическое пространство называется паракомпактным, если каждое открытое покрытие имеет локально конечное открытое уточнение. Это определение переносится дословно на локали, за исключением локальной конечности: открытое покрытие локально конечно, если множество открытых множеств, пересекающих лишь конечное число открытых множеств из , также образует покрытие . Следует отметить, что открытое покрытие на топологическом пространстве локально конечно тогда и только тогда, когда это локально конечное покрытие базовой локали.

Паракомпактные пространства Хаусдорфа

Паракомпактные пространства иногда требуют также выполнения условия Хаусдорфа для расширения их свойств. (Теорема Жана Диодонне) Каждое паракомпактное хаусдорфово пространство является нормальным. Каждое паракомпактное хаусдорфово пространство является стягивающим пространством, то есть для любого открытого покрытия паракомпактного хаусдорфова пространства существует стягивающее покрытие: другое открытое покрытие, индексированное тем же множеством, такое что замыкание каждого множества в новом покрытии содержится в соответствующем множестве в старом покрытии. Для паракомпактных хаусдорфовых пространств кохомологии со слоем и кохомологии Чеха совпадают.