Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Жаңа деректерді белгілі дерек нүктелерінен тыс бағалау әдісі
Method for estimating new data outside known data points
Математикада экстраполяция – бұл бастапқы байқау диапазонынан тыс, екінші айнымалымен арақатынасы негізінде айнымалының мәнін бағалау түрі. Ол интерполяцияға ұқсас, ол белгілі байқаулар арасындағы шамаларды анықтайды, бірақ экстраполяция үлкен белгісіздікке және мағынасыз нәтижелер тудыру қаупіне ұшырайды. Экстраполяция сонымен қатар, ұқсас әдістердің қолданылатынын ескере отырып, әдісті кеңейтуді білдіруі мүмкін. Экстраполяция адам тәжірибесіне де қатысты, белгілі тәжірибені белгісіз немесе бұрын тәжірибеде болмаған салаға проекциялау, кеңейту немесе тарату арқылы белгісіз туралы (әдетте болжамдық) білімге жету үшін қолданылады (мысалы, жүргізуші жүргізу кезінде көру қабілетінен тыс жол жағдайын экстраполяциялайды). Экстраполяция әдісі ішкі реконструкция мәселесінде қолданылуы мүмкін.
In mathematics, extrapolation is a type of estimation, beyond the original observation range, of the value of a variable on the basis of its relationship with another variable. It is similar to interpolation, which produces estimates between known observations, but extrapolation is subject to greater uncertainty and a higher risk of producing meaningless results. Extrapolation may also mean extension of a method, assuming similar methods will be applicable. Extrapolation may also apply to human experience to project, extend, or expand known experience into an area not known or previously experienced so as to arrive at a (usually conjectural) knowledge of the unknown (e. g. a driver extrapolates road conditions beyond his sight while driving). The extrapolation method can be applied in the interior reconstruction problem.
Әдіс
Экстраполяция әдісін таңдаудың дұрыстығы қолданыстағы деректерді жасаған процестің алдын ала біліміне байланысты. Кейбір сарапшылар экстраполяция әдістерін бағалауда себептік күштерді пайдалануды ұсынды. Маңызды сұрақтар, мысалы, деректер үздіксіз, тегіс, мүмкін периодтық болатынын қарастыруға бола ма?
A sound choice of which extrapolation method to apply relies on a prior knowledge of the process that created the existing data points. Some experts have proposed the use of causal forces in the evaluation of extrapolation methods. Crucial questions are, for example, if the data can be assumed to be continuous, smooth, possibly periodic, etc.
Көптамалық
Көптамалық қисық бүкіл белгілі деректер арқылы немесе соңына жақын (сызықтық экстраполяция үшін екі нүкте, квадраттық экстраполяция үшін үш нүкте және т.б.) салынуы мүмкін. Соның нәтижесінде алынған қисықты белгілі деректердің соңынан тысқары қарай ұзартуға болады. Полиномдық экстраполяция көбінесе Лагранж интерполяциясы арқылы немесе Ньютонның шекті айырмашылықтар әдісін пайдаланып, деректерге сәйкес келетін Ньютон қатарын құру арқылы жасалады. Алынған полином деректерді экстраполяциялау үшін қолданылуы мүмкін. Жоғары дәрежелі полиномдық экстраполяцияны тиісті сақтықпен қолдану қажет. Жоғарыдағы суретте көрсетілген мысал деректер жиынтығы мен мәселе үшін, 1-дәрежеден жоғары кез келген жағдай (сызықтық экстраполяция) пайдаланбасқа мүмкін мәндерді береді; экстраполяцияланған мәннің қателік бағасы полиномдық экстраполяцияның дәрежесімен бірге өседі. Бұл Рунге құбылысымен байланысты.
A polynomial curve can be created through the entire known data or just near the end (two points for linear extrapolation, three points for quadratic extrapolation, etc.). The resulting curve can then be extended beyond the end of the known data. Polynomial extrapolation is typically done by means of Lagrange interpolation or using Newton's method of finite differences to create a Newton series that fits the data. The resulting polynomial may be used to extrapolate the data. High order polynomial extrapolation must be used with due care. For the example data set and problem in the figure above, anything above order 1 (linear extrapolation) will possibly yield unusable values; an error estimate of the extrapolated value will grow with the degree of the polynomial extrapolation. This is related to Runge's phenomenon.
Конустық
Белгілі деректердің соңына жақын бес нүкте қолданып, конустық қима жасауға болады. Егер жасалған конустық қима эллипс немесе шеңбер болса, оны кеңейткенде (экстраполяцияланғанда) ол кері оралып, өзімен қосылады. Керісінше, кеңейтілген парабола немесе гипербола өзімен қосылмайды, бірақ X осіне қатысты кері иілуі мүмкін. Мұндай кеңейту конустық қималардың шаблоны (қағазда) немесе компьютер арқылы жасалуы мүмкін.
A conic section can be created using five points near the end of the known data. If the conic section created is an ellipse or circle, when extrapolated it will loop back and rejoin itself. An extrapolated parabola or hyperbola will not rejoin itself, but may curve back relative to the X axis. This type of extrapolation could be done with a conic sections template (on paper) or with a computer.
Француз қисығы
Француз қисығын экстраполяциялау – экспоненциалды тенденцияға ие кез келген таралымға қолданылатын, бірақ үдеу немесе тежелу факторлары бар әдіс. Бұл әдіс 1987 жылдан бері Ұлыбританиядағы ВИЧ/ЖҚС-тің өсуінің және бірнеше жыл бойы Ұлыбританиядағы CJD вариантының болжамдарын беруде табысты қолданылды. Тағы бір зерттеу экстраполяцияның күрделі болжамдау стратегияларымен бірдей сапалы нәтижелер бере алатынын көрсетті.
French curve extrapolation is a method suitable for any distribution that has a tendency to be exponential, but with accelerating or decelerating factors. This method has been used successfully in providing forecast projections of the growth of HIV/AIDS in the UK since 1987 and variant CJD in the UK for a number of years. Another study has shown that extrapolation can produce the same quality of forecasting results as more complex forecasting strategies.
Сапасы
Көбінесе, нақты бір экстраполяция әдісінің сапасы, әдіс жасаған функция туралы болжамдармен шектеледі. Егер әдіс деректер тегіс деп есептесе, тегіс емес функция нашар экстраполяцияланады. Күрделі уақыт қатарлары тұрғысынан, кейбір сарапшылар себептік күштерді жіктеу арқылы орындалғанда экстраполяцияның дәлірек болатынын анықтады. Функция туралы дұрыс болжамдар жасалған жағдайда да, экстраполяция функциядан айтарлықтай алшақтауы мүмкін. Классикалық мысал – sin(x) және оған байланысты тригонометриялық функциялардың қуат қатарларының қысқартылған түрі. Мысалы, тек x = 0-ге жақын деректерді алып, функцияның sin(x) ≈ x ретінде мінез-құлық танытатынын болжауымыз мүмкін. x = 0 нүктесінің маңында бұл өте жақсы жуықтау. Бірақ x = 0-ден алшақтағанда, экстраполяция x-осінен кездейсоқ түрде алшақтайды, ал sin(x) [-1, 1] аралығында қалады. Яғни, қате шексіз өседі. sin(x) функциясының x = 0 төңірегіндегі қуат қатарында көбірек мүшелерді қолдану x = 0-ге жақын үлкен аралықта жақсырақ сәйкестік береді, бірақ x-осінен тіпті сызықтық жуықтаудан да жылдам алшақтайтын экстраполяциялар тудырады. Бұл алшақтық – экстраполяция әдістерінің ерекше қасиеті және экстраполяция әдісімен қабылданған функциялық формалар (қосымша ақпараттың нәтижесінде әдейі немесе кездейсоқ түрде) экстраполяцияланатын функцияның мәнін дәл бейнелегенде ғана еңсеріледі. Нақты проблемалар үшін қосымша ақпарат қолжетімді болуы мүмкін, бірақ жалпы жағдайда, барлық мүмкін функциялық мінез-құлықтарды жұмыс істеуге ыңғайлы шағын жиынмен қанағаттандыру мүмкін емес.
Typically, the quality of a particular method of extrapolation is limited by the assumptions about the function made by the method. If the method assumes the data are smooth, then a non smooth function will be poorly extrapolated. In terms of complex time series, some experts have discovered that extrapolation is more accurate when performed through the decomposition of causal forces. Even for proper assumptions about the function, the extrapolation can diverge severely from the function. The classic example is truncated power series representations of sin(x) and related trigonometric functions. For instance, taking only data from near the x = 0, we may estimate that the function behaves as sin(x) ~ x. In the neighborhood of x = 0, this is an excellent estimate. Away from x = 0 however, the extrapolation moves arbitrarily away from the x axis while sin(x) remains in the interval [−1,1]. I. e., the error increases without bound. Taking more terms in the power series of sin(x) around x = 0 will produce better agreement over a larger interval near x = 0, but will produce extrapolations that eventually diverge away from the x axis even faster than the linear approximation. This divergence is a specific property of extrapolation methods and is only circumvented when the functional forms assumed by the extrapolation method (inadvertently or intentionally due to additional information) accurately represent the nature of the function being extrapolated. For particular problems, this additional information may be available, but in the general case, it is impossible to satisfy all possible function behaviors with a workably small set of potential behavior.
Күрделі жазықтықта
Комплекстік талдауда экстраполяция мәселесі айнымалыны өзгерту арқылы интерполяция мәселесіне түрлендірілуі мүмкін. Бұл түрлендіру бірлік шеңбердің ішіндегі күрделі жазықтықтың бөлігін бірлік шеңбердің сыртындағы күрделі жазықтықтың бөлігімен алмастырады. Атап айтқанда, шексіздіктегі тығыздалу нүктесі бастау нүктесіне және керісінше бейнеленеді. Дегенмен, бұл түрлендіруді қолдануда сақтық тану қажет, себебі бастапқы функцияда полюстер және басқа да ерекшеліктер сияқты "ерекшеліктер" болуы мүмкін, олар алынған үлгі деректерден көрінбейді. Экстраполяцияның тағы бір мәселесі аналитикалық жалғастыру мәселесімен байланысты, онда (әдетте) функцияның қуат қатары бір жинақталған нүктесінде кеңейтіліп, кеңірек жинақталу радиусы бар қуат қатарын тудырады. Іс жүзінде, кішкентай аймақтан алынған деректер жиынтығы функцияны үлкен аймаққа экстраполяциялау үшін қолданылады. Тағы да, аналитикалық жалғастыру бастапқы деректерден көрінбеген функцияның ерекшеліктеріне байланысты тоқтатылуы мүмкін. Сонымен қатар, Паде жуықтамалары және Левин типті реттілік түрлендірулері сияқты реттілік түрлендірулерін экстраполяция әдістері ретінде қолдануға болады, бұл бастапқы жинақталу радиусынан тыс дивергентті қуат қатарларын қосуға әкеледі. Мұндай жағдайларда рационалды жуықтамалар жиі алынады.
In complex analysis, a problem of extrapolation may be converted into an interpolation problem by the change of variable This transform exchanges the part of the complex plane inside the unit circle with the part of the complex plane outside of the unit circle. In particular, the compactification point at infinity is mapped to the origin and vice versa. Care must be taken with this transform however, since the original function may have had "features", for example poles and other singularities, at infinity that were not evident from the sampled data. Another problem of extrapolation is loosely related to the problem of analytic continuation, where (typically) a power series representation of a function is expanded at one of its points of convergence to produce a power series with a larger radius of convergence. In effect, a set of data from a small region is used to extrapolate a function onto a larger region. Again, analytic continuation can be thwarted by function features that were not evident from the initial data. Also, one may use sequence transformations like Padé approximants and Levin type sequence transformations as extrapolation methods that lead to a summation of power series that are divergent outside the original radius of convergence. In this case, one often obtains
rational approximants.
Тез
Экстраполяцияланған деректер көбінесе ядролық функцияға келтіріледі. Деректер экстраполяцияланғаннан кейін, деректердің көлемі N есеге артады, мұнда N шамамен 2–3-ке тең. Егер осы деректерді белгілі бір ядролық функциямен айналдыру қажет болса, сандық есептеулер жылдам Фурье түрлендіруі (FFT) қолданылғанның өзінде Nlog(N) есеге көбейеді. Бір алгоритм бар, ол экстраполяцияланған деректердің үлесін талдау арқылы анықтайды. Есептеу уақыты бастапқы айналдыру есептеуімен салыстырғанда ескерілмейді. Осылайша, бұл алгоритм арқылы экстраполяцияланған деректерді пайдаланып айналдыру есептеулерінің көлемі шамалы ғана артады. Бұл жылдам экстраполяция деп аталады. Жылдам экстраполяция компьютерлік томографиялық (КТ) бейнелерді қайта құруда қолданылды.
The extrapolated data often convolute to a kernel function. After data is extrapolated, the size of data is increased N times, here N is approximately 2–3. If this data needs to be convoluted to a known kernel function, the numerical calculations will increase Nlog(N) times even with fast Fourier transform (FFT). There exists an algorithm, it analytically calculates the contribution from the part of the extrapolated data. The calculation time can be omitted compared with the original convolution calculation. Hence with this algorithm the calculations of a convolution using the extrapolated data is nearly not increased. This is referred as the fast extrapolation. The fast extrapolation has been applied to CT image reconstruction.
Экстраполяция аргументтері
Экстраполяциялық аргументтер – бұл белгілі мәндер диапазонынан тыс нәрсенің шын болуы мүмкін деп тұжырымдайтын, негізсіз және сандық өлшемі жоқ аргументтер. Мысалы, біз үлкейту әйнегі арқылы көретін нәрсенің шындығына сенеміз, себебі ол қанағаттандырылған көзбен көретін нәрсеге сәйкес келеді, бірақ одан әрі кеңейеді; жарық микроскопы арқылы көретін нәрсеге сенеміз, себебі ол үлкейту әйнегі арқылы көретін нәрсеге сәйкес келеді, бірақ одан әрі кеңейеді; және электрондық микроскоптар үшін де осы принцип сақталады. Мұндай аргументтер биологияда жануарлар зерттеулерінен адамдарға, ал пилоттық зерттеулерден кеңірек популяцияға экстраполяция жасауда жиі қолданылады. Сызықты еңіс аргументтері сияқты, экстраполяциялық аргументтердің күші немесе әлсіздігі экстраполяцияның белгілі диапазоннан қаншалықты алыстауына байланысты болады.
Extrapolation arguments are informal and unquantified arguments which assert that something is probably true beyond the range of values for which it is known to be true. For example, we believe in the reality of what we see through magnifying glasses because it agrees with what we see with the naked eye but extends beyond it; we believe in what we see through light microscopes because it agrees with what we see through magnifying glasses but extends beyond it; and similarly for electron microscopes. Such arguments are widely used in biology in extrapolating from animal studies to humans and from pilot studies to a broader population. Like slippery slope arguments, extrapolation arguments may be strong or weak depending on such factors as how far the extrapolation goes beyond the known range.