Введение

Численный вариационный метод

Группа ренормализации матрицы плотности (DMRG) — это численный вариационный метод, разработанный для получения физики низких энергий квантовых систем многих тел с высокой точностью. Как вариационный метод, DMRG является эффективным алгоритмом, стремящимся найти волновой функции состояния с наименьшей энергией в виде матричного произведения для гамильтониана. Он был изобретен Стивеном Р. Уайтом в 1992 году и в настоящее время является наиболее эффективным методом для одномерных систем.

История

Первым применением DMRG, разработанным Стивеном Р. Уайтом и Райнхардом Ноаком, стала простая модель: нахождение спектра частицы со спином 0 в одномерном потенциальном ящике. Эта модель была предложена Кеннетом Г. Уилсоном как проверка для любого нового метода группы перенормировки, поскольку все известные методы давали сбой при решении этой простой задачи. DMRG преодолела недостатки предыдущих методов группы перенормировки, соединяя два блока двумя сайтами в середине, а не просто добавляя один сайт к блоку на каждом шаге, а также используя матрицу плотности для выявления наиболее важных состояний, которые необходимо сохранить в конце каждого шага. После успешного применения к простой модели, метод DMRG был успешно протестирован на квантовой модели Гейзенберга.

Принцип

Основная проблема квантовой физики многих тел заключается в том, что пространство Гильберта растет экспоненциально с увеличением размера системы. Иными словами, если рассматривать решетку, на каждом узле которой определено пространство Гильберта размерности *d*, то общее пространство Гильберта будет иметь размерность *d*<sup>*N*</sup>, где *N* – число узлов решетки. Например, одномерная спиновая цепочка длиной *L* имеет 2*L* степеней свободы. DMRG – это итеративный вариационный метод, который уменьшает эффективное число степеней свободы, оставляя только наиболее важные для целевого состояния. Чаще всего интерес представляет собой основное состояние. После предварительного этапа (разогрева) метод разделяет систему на две подсистемы, или блока, размеры которых не обязательно должны быть равными, и два узла между ними. В ходе этапа разогрева для каждого блока выбирается набор репрезентативных состояний. Этот набор, состоящий из левого блока + двух узлов + правого блока, называется суперблоком. Затем находится кандидат на основное состояние суперблока, который является упрощенной версией полной системы. Точность этого кандидата может быть невысокой, но метод итеративный и улучшается на последующих шагах. Найденный кандидат на основное состояние проецируется в подпространство Гильберта для каждого блока с использованием матрицы плотности, отсюда и название метода. Таким образом, соответствующие состояния для каждого блока обновляются. Затем один из блоков увеличивается в размере за счет другого, и процедура повторяется. Когда увеличивающийся блок достигает максимального размера, рост начинает другой блок. Каждый раз, когда мы возвращаемся к исходной ситуации (с равными размерами блоков), говорят, что завершен один проход (sweep). Обычно, для одномерной решетки достаточно нескольких проходов, чтобы достичь точности порядка 10<sup>-10</sup>.

Руководство по применению

Практическая реализация алгоритма DMRG – это трудоемкая задача. Вот некоторые из основных вычислительных приемов:

Поскольку размер ренормированного гамильтониана обычно составляет несколько или десятки тысяч, а искомое собственное состояние – это только основное состояние, основное состояние для суперблока получается с помощью итеративного алгоритма, такого как алгоритм диагонализации матрицы Ланцоса. Другой вариант – метод Арнольди, особенно при работе с неэрмитовыми матрицами. Алгоритм Ланцоса обычно начинается с наилучшего приближения к решению. Если приближение отсутствует, выбирается случайный вектор. В DMRG основное состояние, полученное на определенном шаге DMRG и соответствующим образом преобразованное, является разумным приближением и, следовательно, работает значительно лучше, чем случайный начальный вектор на следующем шаге DMRG. В системах с симметриями можно сохранять квантовые числа, такие как полный спин в модели Гейзенберга. Удобно находить основное состояние в каждом из секторов, на которые разделено гильбертово пространство.

Приложения

DMRG успешно применяется для получения низкоэнергетических свойств спиновых цепей, таких как модель Изинга в поперечном поле, модель Гейзенберга и другие, фермионных систем, например, модель Хаббарда, задач с примесями, таких как эффект Кондо, бозонных систем, а также физики квантовых точек, соединенных с квантовыми проводами. Метод был расширен для работы с древовидными графами и нашел применение в изучении дендримеров. Для двухмерных систем, в которых одно измерение значительно больше другого, DMRG также обеспечивает высокую точность и оказался полезным при изучении лестниц. Метод был расширен для изучения равновесной статистической физики в двух измерениях и анализа неравновесных явлений в одном измерении. DMRG также применяется в области квантовой химии для изучения систем с сильным взаимодействием.

Пример: квантовая модель Гейзенберга

Рассмотрим "бесконечный" алгоритм DMRG для антиферромагнитной квантовой цепочки Гейзенберга. Этот подход применим к любой трансляционно инвариантной одномерной решетке. DMRG является методом группы перенормировки, поскольку обеспечивает эффективное отсечение пространства Гильберта одномерных квантовых систем.

Шаг 2: Диагонализация суперблока гамильтоновая

В этот момент необходимо выбрать собственное состояние гамильтониана, для которого вычисляются некоторые измеряемые величины – это целевое состояние. Вначале можно выбрать основное состояние и использовать продвинутый алгоритм для его нахождения, один из которых описан в:

Итеративное вычисление нескольких наименьших собственных значений и соответствующих собственных векторов больших вещественных симметричных матриц, Эрнест Р. Дэвидсон; Журнал вычислительной физики, 17, 87–94 (1975).

Этот шаг – наиболее трудоемкая часть алгоритма. Если – целевое состояние, то ожидаемые значения различных операторов можно измерить в этой точке, используя .

Шаг 3: Уменьшить плотность матрицы

Сформируйте матрицу пониженной плотности для первых двух блоков системы, блока и левого сайта. По определению, это матрица: Диагонализуйте и сформируйте матрицу , строки которой являются собственными векторами, соответствующими наибольшим собственным значениям . Таким образом, формируется из наиболее значимых собственных состояний пониженной плотности. Выбирайте , ориентируясь на параметр: .

Расширения

В 2004 году был разработан метод децимации блоков, эволюционирующий во времени, для реализации эволюции матричных произведений состояний в реальном времени. Идея основана на классическом моделировании квантового компьютера. Впоследствии был разработан новый метод вычисления эволюции в реальном времени в рамках формализма DMRG (см. статью А. Фейгена и С. Р. Уайта). В последние годы были предложены различные варианты расширения метода на 2D и 3D, расширяющие определение матричных произведений состояний. См. статью Ф. Верстрате и И. Сирака.