Кіріспе
Функционалдық талдаудағы теорема. Функционалдық талдау және математиканың осымен байланысты салаларында Банах-Алаоглу теоремасы (кейде Алаоглу теоремасы деп те аталады) нормаланған векторлық кеңістіктің серік кеңістігінің жабық бірлік шардың әлсіз* топологияда компактты екенін мәлімдейді. Көптеген дәлелдер бірлік шарды әлсіз* топологиясымен компакт жиындардың көбейтіндісінің жабық ішкі жиыны ретінде қарастырады. Тихонов теоремасының салдарынан, бұл көбейтінді, демек оның ішіндегі бірлік шар да компактты болады. Бұл теорема физикада байқалатын шамалар алгебрасының күйлер жиынын сипаттау үшін қолданылады, атап айтқанда, кез келген күйді «таза күйлер» деп аталатын сызықтық комбинация ретінде жазуға болады.
In functional analysis and related branches of mathematics, the Banach–Alaoglu theorem (also known as Alaoglu's theorem) states that the closed unit ball of the dual space of a normed vector space is compact in the weak* topology. A common proof identifies the unit ball with the weak * topology as a closed subset of a product of compact sets with the product topology. As a consequence of Tychonoff's theorem, this product, and hence the unit ball within, is compact. This theorem has applications in physics when one describes the set of states of an algebra of observables, namely that any state can be written as a convex linear combination of so called pure states.
Тарих
Лоуренс Наричи мен Эдвард Беккенштейннің пікірінше, Алаоглу теоремасы – «өте маңызды нәтиже, мүмкін функционалдық анализдегі әлсіз * топология туралы ең маңызды факт». 1912 жылы Хелли үздіксіз жалқы кеңістіктің бірлік шар санаулы әлсіз * жиынтық екенін дәлелдеді. 1932 жылы Стефан Банах кез келген ажыратылатын нормаланған кеңістіктің үздіксіз жалқы кеңістігіндегі жабық бірлік шар ретті түрде әлсіз * жиынтық екенін дәлелдеді (Банах тек ретті жиынтықты қарастырды). Жалпы жағдайдың дәлелі математик Леонидас Алаоглу 1940 жылы жарияланды. Пиечтің [2007] мәлімдемесіне сәйкес, кем дегенде он екі математик осы теоремаға немесе оның маңызды алдын балауға құқылы. Бурбаки–Алаоглу теоремасы – Бурбакидің бастапқы теоремасының жергілікті дөңгелек кеңістіктердегі жалқы топологияларға жалпылауы. Бұл теорема сондай-ақ Банах–Алаоглу теоремасы немесе әлсіз * жиынтық теоремасы деп аталады және көбінесе жай ғана Алаоглу теоремасы деп айтылады.
In 1912, Helly proved that the unit ball of the continuous dual space of is countably weak * compact. In 1932, Stefan Banach proved that the closed unit ball in the continuous dual space of any separable normed space is sequentially weak * compact (Banach only considered sequential compactness). The proof for the general case was published in 1940 by the mathematician Leonidas Alaoglu. According to Pietsch [2007], there are at least twelve mathematicians who can lay claim to this theorem or an important predecessor to it. The Bourbaki–Alaoglu theorem is a generalization of the original theorem by Bourbaki to dual topologies on locally convex spaces. This theorem is also called the Banach–Alaoglu theorem or the weak * compactness theorem and it is commonly called simply the Alaoglu theorem.
Гилберт кеңістіктері үшін салдары
Гилберт кеңістігінде әрбір шектелген және жабық жиын әлсіз салыстырмалы түрде жиынтық, сондықтан әрбір шектелген желі әлсіз конвергентті кіші желіге ие (Гилберт кеңістіктері рефлексивті). Норма бойынша жабық, дөңес жиынтықтар әлсіз жабық (Хан-Банах теоремасы), Гилберт кеңістіктеріндегі немесе рефлексивті Банах кеңістіктеріндегі дөңес шектелген жиынтықтардың норма жабылуы әлсіз жиынтық. Жабық және шектелген жиынтықтар әлсіз оператор топологиясына қатысты алдын ала жинақталған (әлсіз оператор топологиясы ультраәлсіз топологиядан әлсіз, ал ультраәлсіз топология өз кезегінде іздік операторлардың дуалдық кеңістігіне қатысты әлсіз * топологиясынан әлсіз). Сондықтан операторлардың шектелген тізбектері әлсіз жинақталу нүктесіне ие. Осының салдарынан, егер әлсіз оператор немесе ультраәлсіз топологиямен жабдықталған болса, Heine-Borel қасиетіне ие.