Введение
Теорема в функциональном анализе
В функциональном анализе и смежных областях математики теорема Банаха — Алаоглу (также известная как теорема Алаоглу) утверждает, что замкнутый единичный шар двойственного пространства нормированного векторного пространства компактен в слабой* топологии. Распространенное доказательство отождествляет единичный шар со слабой* топологией как замкнутое подмножество произведения компактных множеств с топологией произведения. Как следствие теоремы Тихонова, это произведение, и, следовательно, единичный шар внутри него, является компактным. Эта теорема находит применение в физике при описании множества состояний алгебры наблюдаемых, а именно, что любое состояние может быть представлено как выпуклая линейная комбинация так называемых чистых состояний.
In functional analysis and related branches of mathematics, the Banach–Alaoglu theorem (also known as Alaoglu's theorem) states that the closed unit ball of the dual space of a normed vector space is compact in the weak* topology. A common proof identifies the unit ball with the weak * topology as a closed subset of a product of compact sets with the product topology. As a consequence of Tychonoff's theorem, this product, and hence the unit ball within, is compact. This theorem has applications in physics when one describes the set of states of an algebra of observables, namely that any state can be written as a convex linear combination of so called pure states.
История
Согласно Лоуренсу Наричи и Эдварду Беккенштейну, теорема Алаоглу – это «очень важный результат, возможно, самый важный факт о слабой * топологии, который находит отклик во всем функциональном анализе».
В 1912 году Хелли доказал, что единичный шар непрерывного двойственного пространства является счетно слабым * компактным. В 1932 году Стефан Банах доказал, что замкнутый единичный шар в непрерывном двойственном пространстве любого сепарабельного нормированного пространства последовательно слабым * компактен (Банах рассматривал только последовательную компактность). Доказательство общего случая было опубликовано в 1940 году математиком Леонидом Алаоглу. Согласно Питшу [2007], по крайней мере двенадцать математиков могут претендовать на авторство этой теоремы или ее важного предшественника. Теорема Бурбаки — Алаоглу является обобщением исходной теоремы Бурбаки на двойственные топологии в локально выпуклых пространствах. Эта теорема также называется теоремой Банаха — Алаоглу или теоремой слабой * компактности и обычно называется просто теоремой Алаоглу.
In 1912, Helly proved that the unit ball of the continuous dual space of is countably weak * compact. In 1932, Stefan Banach proved that the closed unit ball in the continuous dual space of any separable normed space is sequentially weak * compact (Banach only considered sequential compactness). The proof for the general case was published in 1940 by the mathematician Leonidas Alaoglu. According to Pietsch [2007], there are at least twelve mathematicians who can lay claim to this theorem or an important predecessor to it. The Bourbaki–Alaoglu theorem is a generalization of the original theorem by Bourbaki to dual topologies on locally convex spaces. This theorem is also called the Banach–Alaoglu theorem or the weak * compactness theorem and it is commonly called simply the Alaoglu theorem.
Последствия для гильбертовых пространств
В гильбертовом пространстве каждое ограниченное и замкнутое множество слабо относительно компактно, следовательно, любая ограниченная сеть имеет слабо сходящуюся подсеть (пространства Гильберта рефлексивны). Замкнутые по норме выпуклые множества слабо замкнуты (теорема Хана-Банаха), а замыкания по норме выпуклых ограниченных множеств в пространствах Гильберта или рефлексивных пространствах Банаха слабо компактны. Замкнутые и ограниченные множества в предкомпактны относительно слабой операторной топологии (слабая операторная топология слабее ультраслабой топологии, которая, в свою очередь, является слабой* топологией относительно предсопряженного пространства операторов следа). Следовательно, ограниченные последовательности операторов имеют слабую точку накопления. Как следствие, обладает свойством Гейне-Бореля, если наделено слабой операторной или ультраслабой топологией.