Кіріспе
Математикада нормаланған векторлық кеңістік – нақты немесе кешенді сандар үстіндегі векторлық кеңістік, онда норма анықталған. Норма – физикалық әлемдегі “ұзындық” туралы интуитивті ұғымның жалпыламасы. Егер – өрiсi немесе болса, онда кеңістігіндегі норма – белгіленетін функция, келесі төрт аксиоманы қанағаттандырады:
In mathematics, a normed vector space or normed space is a vector space over the real or complex numbers on which a norm is defined. A norm is a generalization of the intuitive notion of "length" in the physical world. If is a vector space over , where is a field equal to or to , then a norm on is a map , typically denoted by , satisfying the following four axioms:
Non negativity: for every ,. Positive definiteness: for every , if and only if is the zero vector. Absolute homogeneity: for every and ,
Triangle inequality: for every and ,
If is a real or complex vector space as above, and is a norm on , then the ordered pair is called a normed vector space. If it is clear from context which norm is intended, then it is common to denote the normed vector space simply by
A norm induces a distance, called its (norm) induced metric, by the formula
which makes any normed vector space into a metric space and a topological vector space. If this metric space is complete then the normed space is a Banach space. Every normed vector space can be "uniquely extended" to a Banach space, which makes normed spaces intimately related to Banach spaces. Every Banach space is a normed space but converse is not true. For example, the set of the finite sequences of real numbers can be normed with the Euclidean norm, but it is not complete for this norm. An inner product space is a normed vector space whose norm is the square root of the inner product of a vector and itself. The Euclidean norm of a Euclidean vector space is a special case that allows defining Euclidean distance by the formula
The study of normed spaces and Banach spaces is a fundamental part of functional analysis, a major subfield of mathematics.
Теріс емес: кез келген үшін, .
Оң анықтамалық: кез келген үшін, тек қана нөлдік вектор болғанда ғана орындалады.
Абсолюттік гомогенділік: кез келген және үшін, .
Үшбұрыш теңсіздігі: кез келген және үшін, .
In mathematics, a normed vector space or normed space is a vector space over the real or complex numbers on which a norm is defined. A norm is a generalization of the intuitive notion of "length" in the physical world. If is a vector space over , where is a field equal to or to , then a norm on is a map , typically denoted by , satisfying the following four axioms:
Non negativity: for every ,. Positive definiteness: for every , if and only if is the zero vector. Absolute homogeneity: for every and ,
Triangle inequality: for every and ,
If is a real or complex vector space as above, and is a norm on , then the ordered pair is called a normed vector space. If it is clear from context which norm is intended, then it is common to denote the normed vector space simply by
A norm induces a distance, called its (norm) induced metric, by the formula
which makes any normed vector space into a metric space and a topological vector space. If this metric space is complete then the normed space is a Banach space. Every normed vector space can be "uniquely extended" to a Banach space, which makes normed spaces intimately related to Banach spaces. Every Banach space is a normed space but converse is not true. For example, the set of the finite sequences of real numbers can be normed with the Euclidean norm, but it is not complete for this norm. An inner product space is a normed vector space whose norm is the square root of the inner product of a vector and itself. The Euclidean norm of a Euclidean vector space is a special case that allows defining Euclidean distance by the formula
The study of normed spaces and Banach spaces is a fundamental part of functional analysis, a major subfield of mathematics.
Егер жоғарыда көрсетілгендей нақты немесе кешенді векторлық кеңістік болса және – кеңістігіндегі норма болса, онда реттелген жұп нормаланған векторлық кеңістік деп аталады. Контексттен қандай норма екені белгілі болса, нормаланған векторлық кеңістікті жай ғана деп белгілеу қабылданған. Норма, индукцияланған метрика деп аталатын қашықтықты, келесі формула арқылы анықтайды:
In mathematics, a normed vector space or normed space is a vector space over the real or complex numbers on which a norm is defined. A norm is a generalization of the intuitive notion of "length" in the physical world. If is a vector space over , where is a field equal to or to , then a norm on is a map , typically denoted by , satisfying the following four axioms:
Non negativity: for every ,. Positive definiteness: for every , if and only if is the zero vector. Absolute homogeneity: for every and ,
Triangle inequality: for every and ,
If is a real or complex vector space as above, and is a norm on , then the ordered pair is called a normed vector space. If it is clear from context which norm is intended, then it is common to denote the normed vector space simply by
A norm induces a distance, called its (norm) induced metric, by the formula
which makes any normed vector space into a metric space and a topological vector space. If this metric space is complete then the normed space is a Banach space. Every normed vector space can be "uniquely extended" to a Banach space, which makes normed spaces intimately related to Banach spaces. Every Banach space is a normed space but converse is not true. For example, the set of the finite sequences of real numbers can be normed with the Euclidean norm, but it is not complete for this norm. An inner product space is a normed vector space whose norm is the square root of the inner product of a vector and itself. The Euclidean norm of a Euclidean vector space is a special case that allows defining Euclidean distance by the formula
The study of normed spaces and Banach spaces is a fundamental part of functional analysis, a major subfield of mathematics.
,
In mathematics, a normed vector space or normed space is a vector space over the real or complex numbers on which a norm is defined. A norm is a generalization of the intuitive notion of "length" in the physical world. If is a vector space over , where is a field equal to or to , then a norm on is a map , typically denoted by , satisfying the following four axioms:
Non negativity: for every ,. Positive definiteness: for every , if and only if is the zero vector. Absolute homogeneity: for every and ,
Triangle inequality: for every and ,
If is a real or complex vector space as above, and is a norm on , then the ordered pair is called a normed vector space. If it is clear from context which norm is intended, then it is common to denote the normed vector space simply by
A norm induces a distance, called its (norm) induced metric, by the formula
which makes any normed vector space into a metric space and a topological vector space. If this metric space is complete then the normed space is a Banach space. Every normed vector space can be "uniquely extended" to a Banach space, which makes normed spaces intimately related to Banach spaces. Every Banach space is a normed space but converse is not true. For example, the set of the finite sequences of real numbers can be normed with the Euclidean norm, but it is not complete for this norm. An inner product space is a normed vector space whose norm is the square root of the inner product of a vector and itself. The Euclidean norm of a Euclidean vector space is a special case that allows defining Euclidean distance by the formula
The study of normed spaces and Banach spaces is a fundamental part of functional analysis, a major subfield of mathematics.
бұл кез келген нормаланған векторлық кеңістікті метрикалық кеңістікке және топологиялық векторлық кеңістікке айналдырады. Егер бұл метрикалық кеңістік толық болса, онда нормаланған кеңістік Банах кеңістігі болады. Кез келген нормаланған векторлық кеңістікті Банах кеңістігіне “бірегей түрде кеңейтуге” болады, бұл нормаланған кеңістіктерді Банах кеңістіктерімен тығыз байланысты етеді. Кез келген Банах кеңістігі – нормаланған кеңістік, бірақ керісінше дұрыс емес. Мысалы, нақты сандардың шекті тізбектерінің жиынын Евклид нормасымен нормалауға болады, бірақ ол осы норма үшін толық емес. Ішкі көбейтінді кеңістігі – нормасы вектордың өзімен-өзінің ішкі көбейтіндісінің квадрат түбіріне тең болатын нормаланған векторлық кеңістік. Евклидтік векторлық кеңістіктің Евклидтік нормасы – Евклидтік қашықтықты келесі формула арқылы анықтауға мүмкіндік беретін ерекше жағдай. Нормаланған кеңістіктер мен Банах кеңістіктерін зерттеу – функционалдық талдаудың негізгі бөлігі, математиканың маңызды саласы.
In mathematics, a normed vector space or normed space is a vector space over the real or complex numbers on which a norm is defined. A norm is a generalization of the intuitive notion of "length" in the physical world. If is a vector space over , where is a field equal to or to , then a norm on is a map , typically denoted by , satisfying the following four axioms:
Non negativity: for every ,. Positive definiteness: for every , if and only if is the zero vector. Absolute homogeneity: for every and ,
Triangle inequality: for every and ,
If is a real or complex vector space as above, and is a norm on , then the ordered pair is called a normed vector space. If it is clear from context which norm is intended, then it is common to denote the normed vector space simply by
A norm induces a distance, called its (norm) induced metric, by the formula
which makes any normed vector space into a metric space and a topological vector space. If this metric space is complete then the normed space is a Banach space. Every normed vector space can be "uniquely extended" to a Banach space, which makes normed spaces intimately related to Banach spaces. Every Banach space is a normed space but converse is not true. For example, the set of the finite sequences of real numbers can be normed with the Euclidean norm, but it is not complete for this norm. An inner product space is a normed vector space whose norm is the square root of the inner product of a vector and itself. The Euclidean norm of a Euclidean vector space is a special case that allows defining Euclidean distance by the formula
The study of normed spaces and Banach spaces is a fundamental part of functional analysis, a major subfield of mathematics.
Сызықтық карталар және қос кеңістік
Екі нормаланған векторлық кеңістіктің арасындағы ең маңызды бейнелеулер үздіксіз сызықтық бейнелеулер болып табылады. Осы бейнелеулермен бірге нормаланған векторлық кеңістіктер бір категорияны құрайды. Норма – өзінің векторлық кеңістігіндегі үздіксіз функция. Шектелген өлшемді векторлық кеңістіктер арасындағы барлық сызықтық бейнелеулер де үздіксіз болады. Екі нормаланған векторлық кеңістіктің арасындағы изометрия – норманы сақтайтын сызықтық бейнелеу (барлық векторлар үшін ). Изометрия әрқашан үздіксіз және инъективті болады. Нормаланған векторлық кеңістіктер арасындағы сюръективті изометрия изометриялық изоморфизм деп аталады, ал екі кеңістік изометриялық изоморфты деп аталады. Изометриялық изоморфты нормаланған векторлық кеңістіктер барлық практикалық мақсаттар үшін бірдей. Нормаланған векторлық кеңістік туралы айтқанда, норманы ескере отырып, қос кеңістік түсінігін кеңейтеміз. Нормаланған векторлық кеңістіктің дуалы – базалық өріске (кешендік сандарға немесе нақты сандарға) дейінгі барлық үздіксіз сызықтық бейнелеулердің кеңістігі. Мұндай сызықтық бейнелеулер «функционалдар» деп аталады. Функционалдың нормасы – бірлік векторлардың (яғни нормасы 1-ге тең векторлардың) барлық диапазоны бойынша жоғарғы шек ретінде анықталады. Бұл оны нормаланған векторлық кеңістікке айналдырады. Нормаланған векторлық кеңістіктердегі үздіксіз сызықтық функционалдар туралы маңызды теорема – Хан-Банах теоремасы.
Нормаланған кеңістіктер семинармаланған кеңістіктердің үлестік кеңістіктері ретінде
Көптеген нормаланған кеңістіктердің (әсіресе Банах кеңістіктерінің) анықтамасы векторлық кеңістікте анықталған семинармды қамтиды, ал нормаланған кеңістік семинарм нөлге тең элементтердің ішкі кеңістігі бойынша бөлу кеңістігі ретінде анықталады. Мысалы, функциясы, оң жағындағы Лебег интегралы анықталған және шекті болатын барлық функциялардың векторлық кеңістігінде семинарм болып табылады. Дегенмен, бұл семинарм Лебег өлшемі нөлге тең жиынға қолдау көрсеткен кез келген функция үшін нөлге тең. Бұл функциялар нөлдік функцияға эквивалент болып табылатын, біз "бөліп шығаратын" ішкі кеңістікті құрайды.
is a seminorm on the vector space of all functions on which the Lebesgue integral on the right hand side is defined and finite. However, the seminorm is equal to zero for any function supported on a set of Lebesgue measure zero. These functions form a subspace which we "quotient out", making them equivalent to the zero function.