Броуэр теоремасы: Топологиядағы түйін нүктесі туралы

Кіріспе

Топологиядағы теорема

Браувердің тұрақты нүкте теоремасы – топологиядағы тұрақты нүкте теоремасы, ол Л. Е. Дж. (Берт) Браувердің есімімен аталады. Ол бос емес, компактты және дөңгелек жиынтығын өзіне бейнелейтін кез келген үздіксіз функция үшін, осындай нүкте бар екенін айтады. Брауер теоремасының ең қарапайым түрлері – нақты сандардағы жабық аралықтан өзіне немесе жабық дискіден өзіне үздіксіз функциялар үшін. Соңғысынан гөрі жалпы түрі – Евклид кеңістігінің бос емес, дөңгелек және компактты ішкі жиынынан өзіне үздіксіз функциялар үшін. Жүздеген тұрақты нүкте теоремаларының ішінде Браувердің теоремасы әсіресе кеңінен танымал, себебі ол математиканың көптеген салаларында қолданылады. Өзінің бастапқы саласында, бұл нәтиже Евклид кеңістіктерінің топологиясын сипаттайтын негізгі теоремалардың бірі болып табылады, сондай-ақ Джордан қисығының теоремасы, «түкті шар» теоремасы, өлшемнің инварианттылығы және Борсук-Улам теоремасы да осы қатарға жатады. Бұл оған топологияның негізгі теоремаларының қатарында орын береді. Теорема дифференциалдық теңдеулер туралы терең нәтижелерді дәлелдеу үшін де қолданылады және дифференциалдық геометрия бойынша көптеген кіріспе курстарда қарастырылады. Ол ойын теориясы сияқты күтпеген салаларда да кездеседі. Экономикада Браувердің тұрақты нүкте теоремасы және оның кеңейтілген түрі – Какутанидің тұрақты нүкте теоремасы, 1950 жылдары экономика бойынша Нобель сыйлығын алған Кеннет Ароу мен Жерар Дебреу дамытқан нарықтық экономикадағы жалпы тепе-теңдіктің бар екенін дәлелдеуде маңызды рөл атқарады. Теорема алғаш рет француз математиктері Анри Пуанкаре мен Шарль Эмиль Пикардтың дифференциалдық теңдеулер бойынша жұмыстарына байланысты зерттелді. Поанкаре-Бендикссон теоремасы сияқты нәтижелерді дәлелдеу үшін топологиялық әдістерді қолдану қажет. XIX ғасырдың соңындағы бұл жұмыс теореманың бірнеше кезекті нұсқаларының пайда болуына әкелді. N өлшемді жабық шардың дифференциалданатын бейнелеуінің жағдайы алғаш рет 1910 жылы Жак Адамар тарапынан дәлелденді, ал үздіксіз бейнелеудің жалпы жағдайы 1911 жылы Брауэр тарапынан дәлелденді.

Алдын ала шарттардың маңызы

Теорема тек эндоморфизмдер (домені мен кодомені бірдей жиын болатын функциялар) және бос емес, компактты (сонымен қатар, шектелген және жабық) және дөңгелек (немесе дөңгелекке гомеоморфты) жиындар үшін ғана қолданылады. Төмендегі мысалдар алдын ала шарттардың маңызды екенін көрсетеді.

Қиыршық

Конвективтілік Брауэрдің тұрақты нүкте теоремасы үшін міндетті түрде қажет емес. Өйткені, қатысты қасиеттер (үздіксіздік, тұрақты нүкте болу) гомеоморфизмдер астында өзгермейді, сондықтан Брауэрдің тұрақты нүкте теоремасы домені жабық бірлік шар болатын формаларға эквивалентті. Осы себепті ол жабық шарға гомеоморфты кез келген жиын үшін де қолданылады (демек, жабық, шектелген, байланысты, тесіксіз және т.б.). Келесі мысал Брауэрдің тұрақты нүкте теоремасының тесігі бар домендер үшін жұмыс істемейтінін көрсетеді. Бірлік шеңберінен өзіне үздіксіз функция болып табылатын функцияны қарастырайық. x≠x бірлік шеңберінің кез келген нүктесі үшін орындалғандықтан, f функциясының тұрақты нүктесі жоқ. Ұқсас мысал n-өлшемді сфера үшін де (немесе бастапқы нүктесі жоқ кез келген симметриялық домен үшін де) жұмыс істейді. Бірлік шеңбері жабық және шектелген, бірақ оның тесігі бар (сондықтан ол дөңес емес). f функциясының бірлік дискіде тұрақты нүктесі бар, өйткені ол бастапқы нүктені өзіне бейнелейді. Брауэрдің "тесіксіз" домендерге арналған тұрақты нүкте теоремасының формалды жалпыламасы Лефшецтің тұрақты нүкте теоремасынан туындауы мүмкін.

Суреттер

Теореманың бірнеше "нақты өмірдегі" мысалдары бар. Міне, бірнеше мысал келтірейік. Тең өлшемді екі график қағаз алыңыз, олардың үстінде координаталар жүйесін белгілеңіз, біреуін үстелге жайып қойыңыз, екіншісін жыртып немесе айырып алмастан жиырып, біріншісінің үстіне кез келген тәртіппен қойыңыз, сонда жиырылған қағаз жазық қағаздың шегінен шықпауы керек. Осылайша, жиырылған қағаздың кем дегенде бір нүктесі жазық қағаздың сәйкес нүктесінің (яғни, бірдей координаттары бар нүктесінің) тікелей үстінде орналасады. Бұл Брауэр теоремасының n = 2 жағдайының салдары болып табылады, ол жиырылған қағаздың әрбір нүктесінің координаталарын оның астындағы жазық қағаздың нүктесінің координаталарымен байланыстыратын үздіксіз функцияға қолданылады. Бір елдің картасын алып, сол елдің ішінде үстелге жайып қойыңыз. Картада әрқашан "Сіз осындасыз" деген нүкте болады, ол сол елдегі сол нүктемен сәйкес келеді. Үш өлшемде Брауэрдің тұрақты нүкте теоремасының салдары мынадай: сіз бір стақанға қаншалықты дәмді коктейльді араластырсаңыз да (немесе сүт шайқау туралы ойласаңыз да), сұйықтық тоқтаған кезде, сұйықтықтағы кейбір нүктелер стақандағы бастапқы орнында қалады, егер әрбір нүктесінің соңғы орны оның бастапқы орнының үздіксіз функциясы болса, араластырылғаннан кейін сұйықтық бастапқыда алған кеңістікте қалады және стақан (және араластырылған бет пішіні) дөңес көлемді сақтайды. Коктейльді шайқап араластырмау дөңес жағдайды бұзады ("шайқау" – қақпақтың астындағы бос кеңістіктегі инерциялық ұстаудың динамикалық тізбегі ретінде анықталады). Бұл жағдайда теорема қолданылмайды, сондықтан сұйықтықтың орналасуының барлық нүктелері бастапқы күйінен ауыса алады.

Браувердің түсіндірмелері

Теорема Брауэрдің бір түрлі кофеге назар салғаннан пайда болған делінеді. Егер қантты еріту үшін араласатын болсақ, әрқашан қозғалмайтын бір нүкте болатындай көрінеді. Ол, кез келген уақытта бетте қозғалмайтын нүкте бар деген қорытындыға келді. Тұрақты нүкте міндетті түрде көзге көрінбейтін қозғалмайтын нүкте болуы керек емес, себебі турбуленция орталығы сәл қозғалады. Бұл нәтиже түсініксіз, өйткені бастапқы тұрақты нүкте, жаңа тұрақты нүкте пайда болғанда қозғалмалы болуы мүмкін. Брауэр: "Мен осы керемет нәтижені басқаша айтуға болады, мен көлденең жапырақ алып, одан тағы бірдейін жасап, жиырып, тегістеп, біріншісінің үстіне қоямын. Содан кейін жиырылған жапырақтың нүктесі екінші жапырақтан да сол жерде болады" деді. Бұл 1909 жылы Л. Э. Ж. Брауэрмен дәлелденді. Жаку Адамар 1910 жылы оның жалпы жағдайын дәлелдеді.

Ашылу алдында

XIX ғасырдың соңында Күн жүйесінің тұрақтылығы туралы ежелгі мәселе математикалық қауымның назарына қайта оралды. Оны шешу үшін жаңа әдістер қажет болды. Үш дене мәселесін зерттеген Анри Пуанкаре атап өткендей, дәл шешім табуға үміт жоқ: «Үш дене мәселесінің және, жалпы алғанда, динамиканың барлық мәселелерінің қиындығын түсіну үшін ештеңе осыдан артық сәйкес келмейді, онда бірыңғай интеграл жоқ және Болин қатарлары жиырылмайды». Ол сондай-ақ, жуық шешім іздеудің де тиімді еместігін көрсетті: «Біз қаншалықты дәл жуықтамаларды табуға тырыссақ, нәтиже соншалықты үлкен қателікке ұшырайды». Ол кофе кесесіндегі беттік қозғалысқа ұқсас мәселені зерттеді. Тұрақты ағынмен қозғалатын беттегі траекториялар туралы жалпылама не айтуға болады? Пуанкаре жауапты траектория орналасқан аймақтың топологиялық қасиеттерінде табуға болатынын анықтады. Егер бұл аймақ тығыз болса, яғни жабық және шектеулі болса, онда траектория тұрақты болады немесе шекті циклға жақындайды. Пуанкаре одан әрі барып, егер аймақ дискіге ұқсас болса, мысалы, кофе кесесіндегідей, онда міндетті түрде тұрақты нүкте болуы керек деді. Бұл тұрақты нүкте бастапқы беттің кез келген нүктесінің t уақыт аралығынан кейінгі орнына сәйкес келетін барлық функциялар бойынша өзгермейді. Егер аймақ дөңгелек жолақ болса немесе жабық болмаса, онда бұл міндетті түрде орындалмайды. Дифференциалдық теңдеулерді жақсырақ түсіну үшін математиканың жаңа саласы дүниеге келді. Пуанкаре оны «анализ сайтус» деп атады. Француз энциклопедиясы оны «кез келген үздіріссіз деформацияда, жыртылмай, дененің қасиеттерін зерттейтін сала» деп анықтайды. 1886 жылы Пуанкаре Брауэрдің тұрақты нүкте теоремасына тең нәтижені дәлелдеді, бірақ осы мақаланың тақырыбымен байланысы сол кезде байқалмады. Кейінірек ол қазіргі кезде негізгі топ немесе кейде Пуанкаре тобы деп аталатын анализ сайтусты жақсырақ түсіну үшін маңызды құралдардың бірін жасады. Бұл әдіс талқыланып отырған теореманы ықшам түрде дәлелдеуге қолданылуы мүмкін. Пуанкаре әдісі Кауши-Липшиц теоремасын жалпылаған оның замандасы Эмиль Пикардтың әдісіне ұқсас болды. Пикардтың тәсілі кейіннен Банах есімімен аталған тағы бір тұрақты нүкте теоремасымен формалдалды. Бұл теорема доменнің топологиялық қасиеттеріне емес, функцияның жиырылатын қасиетіне негізделген.

At the end of the 19th century, the old problem of the stability of the solar system returned into the focus of the mathematical community. Its solution required new methods. As noted by Henri Poincaré, who worked on the three body problem, there is no hope to find an exact solution: "Nothing is more proper to give us an idea of the hardness of the three body problem, and generally of all problems of Dynamics where there is no uniform integral and the Bohlin series diverge." He also noted that the search for an approximate solution is no more efficient: "the more we seek to obtain precise approximations, the more the result will diverge towards an increasing imprecision". He studied a question analogous to that of the surface movement in a cup of coffee. What can we say, in general, about the trajectories on a surface animated by a constant flow? Poincaré discovered that the answer can be found in what we now call the topological properties in the area containing the trajectory. If this area is compact, i. e. both closed and bounded, then the trajectory either becomes stationary, or it approaches a limit cycle. Poincaré went further; if the area is of the same kind as a disk, as is the case for the cup of coffee, there must necessarily be a fixed point. This fixed point is invariant under all functions which associate to each point of the original surface its position after a short time interval t. If the area is a circular band, or if it is not closed, then this is not necessarily the case. To understand differential equations better, a new branch of mathematics was born. Poincaré called it analysis situs. The French Encyclopædia Universalis defines it as the branch which "treats the properties of an object that are invariant if it is deformed in any continuous way, without tearing". In 1886, Poincaré proved a result that is equivalent to Brouwer's fixed point theorem, although the connection with the subject of this article was not yet apparent. A little later, he developed one of the fundamental tools for better understanding the analysis situs, now known as the fundamental group or sometimes the Poincaré group. This method can be used for a very compact proof of the theorem under discussion. Poincaré's method was analogous to that of Émile Picard, a contemporary mathematician who generalized the Cauchy–Lipschitz theorem. Picard's approach is based on a result that would later be formalised by another fixed point theorem, named after Banach. Instead of the topological properties of the domain, this theorem uses the fact that the function in question is a contraction.

Алғашқы дәлелдеулер

ХХ ғасырдың басында анализ ситуға деген қызығушылық көзден жасырылмады. Алайда, осы мақалада талданған теоремаға баламалы теореманың қажеттілігі әлі анық болған жоқ. Латвиялық математик Пирс Боль топологиялық әдістерді дифференциалдық теңдеулерді зерттеуге қолданды. 1904 жылы ол біздің теоремамыздың үш өлшемді жағдайын дәлелдеді.

Теоремаға алғашқы құндылықты Брауер берді. Оның мақсаттары Пуанкаренікінен өзгеше болды. Бұл математик математиканың негіздеріне, әсіресе математикалық логика мен топологияға ден қойды. Оның бастапқы қызығушылығы Гилберттің бесінші мәселесін шешуге бағытталған еді. 1909 жылы Париж сапарында ол Анри Пуанкаре, Жак Адамар және Эмиль Борельмен кездесті. Осы кездесулер Брауерді Евклид кеңістіктерін жақсырақ түсінудің маңыздылығына көндірді және Адамармен жемісті хат алмасудың бастамасы болды. Келесі төрт жыл бойы ол осы мәселе бойынша маңызды теоремаларды дәлелдеуге күш салды. 1912 жылы ол екі өлшемді сфера үшін «түкті шар» теоремасын, сондай-ақ екі өлшемді шардан өзіне дейінгі кез келген үздіксіз бейнелеудің бекітілген нүктесі болатынын дәлелдеді. Бұл екі нәтиже өзіндік жаңалық емес еді. Адамардың тоқсан сөзі бойынша, Пуанкаре «түкті шар» теоремасына баламалы теореманы көрсеткен. Брауердің революциялық жағы – оның Поанкаре тобының түйінді ұғымы гомотопия сияқты жақында дамыған құралдарды жүйелі пайдалануы болды. Келесі жылы Адамар қарастырылып отырған теореманы кез келген шекті өлшемге жалпылады, бірақ ол басқа әдістерді қолданды. Ханс Фрейденталь олардың рөлі туралы былай деді: «Брауердің революциялық әдістерімен салыстырғанда, Адамардың әдістері өте дәстүрлі болды, бірақ Адамардың Брауердің идеяларының тууына қатысуы қарапайым бақылаушыға қарағанда акушердің рөліне жақын». Брауердің тәсілі жемісін берді, және 1910 жылы ол кез келген шекті өлшем үшін жарамды дәлел тапты. Осы жұмыстың аясында Брауер Иордан қисығы теоремасын кез келген өлшемге жалпылады және үздіксіз бейнелеудің дәрежесімен байланысты қасиеттерді анықтады. Бастапқыда Пуанкаре көздеген және Брауер дамытқан математиканың бұл саласы өз атын өзгертті. 1930 жылдары анализ ситу алгебралық топологияға айналды.

It was Brouwer, finally, who gave the theorem its first patent of nobility. His goals were different from those of Poincaré. This mathematician was inspired by the foundations of mathematics, especially mathematical logic and topology. His initial interest lay in an attempt to solve Hilbert's fifth problem. In 1909, during a voyage to Paris, he met Henri Poincaré, Jacques Hadamard, and Émile Borel. The ensuing discussions convinced Brouwer of the importance of a better understanding of Euclidean spaces, and were the origin of a fruitful exchange of letters with Hadamard. For the next four years, he concentrated on the proof of certain great theorems on this question. In 1912 he proved the hairy ball theorem for the two dimensional sphere, as well as the fact that every continuous map from the two dimensional ball to itself has a fixed point. These two results in themselves were not really new. As Hadamard observed, Poincaré had shown a theorem equivalent to the hairy ball theorem. The revolutionary aspect of Brouwer's approach was his systematic use of recently developed tools such as homotopy, the underlying concept of the Poincaré group. In the following year, Hadamard generalised the theorem under discussion to an arbitrary finite dimension, but he employed different methods. Hans Freudenthal comments on the respective roles as follows: "Compared to Brouwer's revolutionary methods, those of Hadamard were very traditional, but Hadamard's participation in the birth of Brouwer's ideas resembles that of a midwife more than that of a mere spectator." Brouwer's approach yielded its fruits, and in 1910 he also found a proof that was valid for any finite dimension, In the context of this work, Brouwer also generalized the Jordan curve theorem to arbitrary dimension and established the properties connected with the degree of a continuous mapping. This branch of mathematics, originally envisioned by Poincaré and developed by Brouwer, changed its name. In the 1930s, analysis situs became algebraic topology.

Қабылдау

Теорема өзінің құндылығын бірнеше жолмен көрсетті. 20 ғасырда көптеген тұрақты нүкте теоремалары жасалды, тіпті математиканың тұрақты нүкте теориясы деп аталатын жеке саласы да пайда болды. Брауэр теоремасы, баға жетпес маңызға ие. Ол топологиялық көптүрліліктердің топологиясы бойынша негізгі теоремалардың бірі болып табылады және Иордания қисығы теоремасы сияқты маңызды нәтижелерді дәлелдеу үшін жиі қолданылады. Көп немесе аз қысқартушы функцияларға арналған тұрақты нүкте теоремаларынан басқа, талқыланып отырған нәтижеден тікелей немесе жанама түрде туындаған көптеген теоремалар бар. Евклид кеңістігінің жабық шардан оның шекарасына дейінгі үздіксіз бейнелеуі шекарадағы өзін-өзі бейнелеу бола алмайды. Сол сияқты, Борсук-Улам теоремасы n-өлшемді сферадан Rn-ге дейінгі үздіксіз бейнелеуде бір нүктеге бейнеленген антиподальді нүктелер жұбы болатынын айтады. Шекті өлшемді жағдайда, Лефшецтің тұрақты нүкте теоремасы 1926 жылдан бері тұрақты нүктелерді санау әдісін ұсынады. 1930 жылы Брауэрдің тұрақты нүкте теоремасы Банах кеңістіктеріне жалпыландырылды. Бұл жалпылау Шаудердің тұрақты нүкте теоремасы деп аталады, ал С. Какутани бұл нәтижені жинақтық функцияларға одан әрі жалпылады. Теорема және оның түрлері топологиядан тыс жерлерде де кездеседі. Оны белгілі бір тепе-теңдіктер маңындағы дифференциалдық теңдеулердің сапалық мінез-құлқын сипаттайтын Хартман-Гробман теоремасын дәлелдеу үшін қолдануға болады. Сол сияқты, Брауэр теоремасы Орталық шек теоремасын дәлелдеу үшін де қолданылады. Теорема сонымен қатар белгілі бір дербес дифференциалдық теңдеулердің шешімдерінің бар екенін дәлелдеуде де қолданылады. Басқа да салаларға да тигізді. Ойын теориясында Джон Нэш теореманы алтылық ойынында ақ түстің жеңіске жететін стратегиясы бар екенін дәлелдеу үшін пайдаланды. Экономикада П. Бич теореманың кейбір жалпыламалары оның ойын теориясындағы кейбір классикалық мәселелер үшін және жалпы тепе-теңдіктерге (Хотеллинг заңы), қаржылық тепе-теңдіктерге және толық емес нарықтарға пайдалы екенін көрсетеді. Брауэрдің даңқы тек оның топологиялық еңбектерімен ғана шектелмейді. Оның маңызды топологиялық теоремаларының дәлелдері конструктивті емес, және Брауэрдің осыған қанағаттанбауы оның конструктивтілік идеясын айқындауына ықпал етті. Ол математиканы формализациялаудың интуиционизм деп аталатын тәсілінің бастамашысы және ынталы жақтасы болды, бұл сол кезде жинақтар теориясына қарсы тұрды. Брауэр өзінің тұрақты нүкте теоремасының бастапқы дәлелінен бас тартты.

The theorem proved its worth in more than one way. During the 20th century numerous fixed point theorems were developed, and even a branch of mathematics called fixed point theory. Brouwer's theorem is probably the most important. It is also among the foundational theorems on the topology of topological manifolds and is often used to prove other important results such as the Jordan curve theorem. Besides the fixed point theorems for more or less contracting functions, there are many that have emerged directly or indirectly from the result under discussion. A continuous map from a closed ball of Euclidean space to its boundary cannot be the identity on the boundary. Similarly, the Borsuk–Ulam theorem says that a continuous map from the n dimensional sphere to Rn has a pair of antipodal points that are mapped to the same point. In the finite dimensional case, the Lefschetz fixed point theorem provided from 1926 a method for counting fixed points. In 1930, Brouwer's fixed point theorem was generalized to Banach spaces. This generalization is known as Schauder's fixed point theorem, a result generalized further by S. Kakutani to set valued functions. One also meets the theorem and its variants outside topology. It can be used to prove the Hartman Grobman theorem, which describes the qualitative behaviour of certain differential equations near certain equilibria. Similarly, Brouwer's theorem is used for the proof of the Central Limit Theorem. The theorem can also be found in existence proofs for the solutions of certain partial differential equations. Other areas are also touched. In game theory, John Nash used the theorem to prove that in the game of Hex there is a winning strategy for white. In economics, P. Bich explains that certain generalizations of the theorem show that its use is helpful for certain classical problems in game theory and generally for equilibria (Hotelling's law), financial equilibria and incomplete markets. Brouwer's celebrity is not exclusively due to his topological work. The proofs of his great topological theorems are not constructive, and Brouwer's dissatisfaction with this is partly what led him to articulate the idea of constructivity. He became the originator and zealous defender of a way of formalising mathematics that is known as intuitionism, which at the time made a stand against set theory. Brouwer disavowed his original proof of the fixed point theorem.

Шашты шар теоремасын қолдану арқылы дәлелдеу

Шашты шар теоремасы бірлік сферада S-де, тақ өлшемді Евклид кеңістігінде, S-де w үздіксіз тангенстік векторлық өріс жоқ екенін айтады (тангенстік шарты w(x) ⋅ x = 0 әрбір бірлік векторы x үшін дегенді білдіреді). Кейде теорема "жер шарында желсіз жер әрқашан болады" деген тұжырымдамамен түсіндіріледі. Шашты шар теоремасының элементарлық дәлелін табуға болады. Шын мәнінде, алдымен w үздіксіз дифференциалданады деп есептейік. Масштабтау арқылы, w S-де үздіксіз дифференциалданатын бірлік тангенстік вектор деп қарастыруға болады. Оны S-тің кішкентай сфералық қабығына радиалды түрде кеңейтуге болады. t жеткілікті кішкентай болса, стандартты есептеулер ft(x) = x + t w(x) A-дағы қысқарту бейнелеуі екенін және оның бейнесінің көлемі t-ге қатысты полином екенін көрсетеді. Екінші жағынан, қысқарту бейнелеуі ретінде ft S-ті (1 + t2)½-ге және A-ны (1 + t2)½-ге гомеоморфизммен шектелуі керек. Бұл қайшылық тудырады, өйткені егер Евклид кеңістігінің n өлшемдері тақ болса, (1 + t2)n/2 полином емес. Егер w S-де тек үздіксіз бірлік тангенстік вектор болса, Вейерштрасс жуықтау теоремасы бойынша, оны Евклид кеңістігіне u полиномдық бейнелеуі арқылы біркелкі жуықтауға болады. Тангенттік кеңістікке ортогоналды проекция v(x) = u(x) - u(x) ⋅ x арқылы беріледі. Осылайша v полином және A-да ешқайда нөлге тең болмайды; құрылысы бойынша v/||v|| S-де тегіс бірлік тангенстік векторлық өріс, бұл қайшылық. Шашты шар теоремасының үздіксіз нұсқасы енді Брауэрдің тұрақты нүкте теоремасын дәлелдеу үшін қолданылуы мүмкін. Біріншіден, n жұп сан деп есептейік. Егер n өлшемді Евклид кеңістігі V-тің жабық бірлік шар B-сында f тұрақты нүктесі жоқ үздіксіз өзін-өзі бейнелеуі болса, онда f-тың тұрақты нүктелері болмағандықтан, B-ның ішкі бөлігіндегі x үшін w(x) векторы нөлден өзгеше болады; ал S-дегі x үшін скалярлық көбейтінді x ⋅ w(x) = 1 – x ⋅ f(x) қатаң оң болады. Бастапқы n өлшемді Евклид кеңістігі V-ден координаттары y = (x, t) болатын жаңа көмекші (n + 1) өлшемді W = V × R кеңістігін құрастырамыз. Құрылысы бойынша X - W бірлік сферасындағы үздіксіз векторлық өріс, y ⋅ X(y) = 0 тангенстік шартын қанағаттандырады. Сонымен қатар, X(y) ешқайда нөлге тең болмайды (себебі, егер ||y|| = 1 болса, онда x ⋅ w(x) нөлден өзгеше; ал егер ||x|| < 1 болса, онда t және w(x) екеуі де нөлден өзгеше). Бұл қайшылық n жұп сан болса, тұрақты нүкте теоремасын дәлелдейді. n тақ үшін, n + 1 өлшемдегі жабық бірлік шар B-ға және F(x, y) = (f(x), 0) бейнелеуіне тұрақты нүкте теоремасын қолдануға болады. Бұл дәлелдің артықшылығы - ол тек элементарлық әдістерді қолданады; Борсук-Улам теоремасы сияқты жалпы нәтижелер алгебралық топологияның құралдарын қажет етеді.

The hairy ball theorem states that on the unit sphere S in an odd dimensional Euclidean space, there is no nowhere vanishing continuous tangent vector field w on S. (The tangency condition means that w(x) ⋅ x = 0 for every unit vector x.) Sometimes the theorem is expressed by the statement that "there is always a place on the globe with no wind". An elementary proof of the hairy ball theorem can be found in

In fact, suppose first that w is continuously differentiable. By scaling, it can be assumed that w is a continuously differentiable unit tangent vector on S. It can be extended radially to a small spherical shell A of S. For t sufficiently small, a routine computation shows that the mapping ft(x) = x + t w(x) is a contraction mapping on A and that the volume of its image is a polynomial in t. On the other hand, as a contraction mapping, ft must restrict to a homeomorphism of S onto (1 + t2)½ S and A onto (1 + t2)½ A. This gives a contradiction, because, if the dimension n of the Euclidean space is odd, (1 + t2)n/2 is not a polynomial. If w is only a continuous unit tangent vector on S, by the Weierstrass approximation theorem, it can be uniformly approximated by a polynomial map u of A into Euclidean space. The orthogonal projection on to the tangent space is given by v(x) = u(x) u(x) ⋅ x. Thus v is polynomial and nowhere vanishing on A; by construction v/||v|| is a smooth unit tangent vector field on S, a contradiction. The continuous version of the hairy ball theorem can now be used to prove the Brouwer fixed point theorem. First suppose that n is even. If there were a fixed point free continuous self mapping f of the closed unit ball B of the n dimensional Euclidean space V, set

Since f has no fixed points, it follows that, for x in the interior of B, the vector w(x) is non zero; and for x in S, the scalar product x ⋅ w(x) = 1 – x ⋅ f(x) is strictly positive. From the original n dimensional space Euclidean space V, construct a new auxiliary (n + 1) dimensional space W = V x R, with coordinates y = (x, t). Set

By construction X is a continuous vector field on the unit sphere of W, satisfying the tangency condition y ⋅ X(y) = 0. Moreover, X(y) is nowhere vanishing (because, if has norm 1, then x ⋅ w(x) is non zero; while if x has norm strictly less than 1, then t and w(x) are both non zero). This contradiction proves the fixed point theorem when n is even. For n odd, one can apply the fixed point theorem to the closed unit ball B in n + 1 dimensions and the mapping F(x,y) = (f(x),0). The advantage of this proof is that it uses only elementary techniques; more general results like the Borsuk Ulam theorem require tools from algebraic topology.

Гомология немесе кохомологияны қолдана отырып дәлелдеу

Дәлелдеуде n-диск Dn-нің шекарасы Sn−1, яғни (n − 1)-сферасы екені байқалады. Қарсылыққа қарай, f : Dn → Dn үздіксіз функциясының тұрақты нүктесі жоқ деп есептейік. Бұл, Dn-дегі әрбір x нүктесі үшін x және f(x) нүктелері әртүрлі дегенді білдіреді. Олар әртүрлі болғандықтан, Dn-дегі әрбір x нүктесі үшін f(x)-тен x-ке дейінгі бірегей сәуле салып, осы сәуле Sn−1 шекарасын кесіп өткенше оны жалғастырамыз (суретті қараңыз). Осы қиылысу нүктесін F(x) деп атап, F : Dn → Sn−1 функциясын анықтаймыз, ол дисктегі әрбір нүктені шекарадағы сәйкес қиылысу нүктесіне бейнелейді. Ерекше жағдайда, егер x өзі шекарада жатса, онда қиылысу нүктесі F(x) x-ке тең болуы керек. Осылайша, F – кері проекция деп аталатын үздіксіз функцияның ерекше түрі: кодоменнің әрбір нүктесі (осы жағдайда Sn−1) F үшін тұрақты нүкте болып табылады. Интуитивті түрде, Dn-нің Sn−1-ге кері проекциясы болуы екіұшты көрінеді, ал n = 1 жағдайында бұл тіпті мүмкін емес, себебі S0 (яғни жабық аралық D1-дің соңғы нүктелері) тіпті байланысты емес. n = 2 жағдайы осыншалықты анық емес, бірақ тиісті кеңістіктердің негізгі топтарына қатысты қарапайым аргументтерді қолдану арқылы дәлелдеуге болады: кері проекция D2-нің негізгі тобынан S1-нің негізгі тобына сюръективті гомоморфизмді тудырады, бірақ соңғысы Z-ге изоморфты, ал біріншісі тривиальды, сондықтан бұл мүмкін емес. n = 2 жағдайы жойылмайтын векторлық өрістер туралы теоремаға негізделген қарсылық арқылы да дәлелденуі мүмкін. Дегенмен, n > 2 үшін кері проекцияның мүмкін еместігін дәлелдеу қиынырақ. Бір жолы гомологиялық топтарды пайдалану: гомология Hn−1(Dn) тривиальды, ал Hn−1(Sn−1) шексіз циклдік. Бұл кері проекцияның мүмкін еместігін көрсетеді, себебі кері проекция соңғы топтан бірінші топқа инъективті гомоморфизмді тудырады. Кері проекцияның мүмкін еместігін Евклид кеңістігінің ашық ішкі жиындарының де Рам кохомологиясын қолдану арқылы да көрсетуге болады. n ≥ 2 үшін U = En – {0} де Рам кохомологиясы 0 және n − 1 дәрежеде бір өлшемді, ал қалғанда жоғалады. Егер кері проекция болса, онда U жиырылатын болуы керек және оның де Рам кохомологиясы n − 1 дәрежеде жоғалуы керек, бұл қарсылық тудырады.

The proof uses the observation that the boundary of the n disk Dn is Sn−1, the (n − 1) sphere. Suppose, for contradiction, that a continuous function f : Dn → Dn has no fixed point. This means that, for every point x in Dn, the points x and f(x) are distinct. Because they are distinct, for every point x in Dn, we can construct a unique ray from f(x) to x and follow the ray until it intersects the boundary Sn−1 (see illustration). By calling this intersection point F(x), we define a function F : Dn → Sn−1 sending each point in the disk to its corresponding intersection point on the boundary. As a special case, whenever x itself is on the boundary, then the intersection point F(x) must be x.

Consequently, F is a special type of continuous function known as a retraction: every point of the codomain (in this case Sn−1) is a fixed point of F.

Intuitively it seems unlikely that there could be a retraction of Dn onto Sn−1, and in the case n = 1, the impossibility is more basic, because S0 (i. e., the endpoints of the closed interval D1) is not even connected. The case n = 2 is less obvious, but can be proven by using basic arguments involving the fundamental groups of the respective spaces: the retraction would induce a surjective group homomorphism from the fundamental group of D2 to that of S1, but the latter group is isomorphic to Z while the first group is trivial, so this is impossible. The case n = 2 can also be proven by contradiction based on a theorem about non vanishing vector fields. For n > 2, however, proving the impossibility of the retraction is more difficult. One way is to make use of homology groups: the homology Hn−1(Dn) is trivial, while Hn−1(Sn−1) is infinite cyclic. This shows that the retraction is impossible, because again the retraction would induce an injective group homomorphism from the latter to the former group. The impossibility of a retraction can also be shown using the de Rham cohomology of open subsets of Euclidean space En. For n ≥ 2, the de Rham cohomology of U = En – (0) is one dimensional in degree 0 and n 1, and vanishes otherwise. If a retraction existed, then U would have to be contractible and its de Rham cohomology in degree n 1 would have to vanish, a contradiction.

Стоукс теоремасы арқылы дәлелдеу

Браувердің үздіксіз карталар үшін гомология қолданылып дәлелденетін тұрақты нүкте теоремасындағыдай, мәселе B шардан оның шекарасына ∂B үздіксіз кері шегіну F-тің болмауын дәлелдеуге келтіріледі. Бұл жағдайда F тегіс деп қарастыруға болады, себебі оны Вейерштрасс жуықтау теоремасы арқылы немесе жеткілікті кішкентай тірегі және бірттік интегралы бар тегіс «дөңгелек» функцияларымен (яғни, жұмсарту арқылы) жуықтауға болады. Егер ω шекарадағы көлем формасы болса, онда Стокстің теоремасы бойынша қайшылық туындайды. Көбірек айтқанда, бұл бос емес, тегіс, бағытталған, компактты M коллекторынан оның шекарасына тегіс кері шегінудің болмауын көрсетеді. Стокстің теоремасын қолданатын дәлел, гомологияны қолданатын дәлелмен тығыз байланысты, себебі ω формасы де Рхам теоремасы бойынша Hn-1(∂M) гомология тобына изоморфты Hn-1(∂M) де Рхам кохомология тобын тудырады.

Хирш дәлелі

Сонымен қатар, Морис Хирштің дифференциалдық кері тартылудың мүмкін еместігіне негізделген жылдам дәлелі бар. Бұл тікелей емес дәлел f функциясын, қозғалмайтын нүктені сақтай отырып, тегіс функциямен жуықтаудан басталады; мұны Вейерштрасс жуықтау теоремасын қолдану арқылы немесе тегіс «дөңгелек» функцияларымен конволюциялау арқылы жасауға болады. Содан кейін жоғарыда сипатталғандай кері тартылу анықталады, ол енді дифференциалдануы керек. Мұндай кері тартылу Сард теоремасы бойынша ерекше емес мәнге ие болуы керек, бұл шекараға шектеу үшін де ерекше емес (яғни, сәйкестік). Осылайша, кері бейне шекарасы бар 1-өлшемді көптік болады. Шекарада кем дегенде екі нүкте болуы керек, олардың екеуі де бастапқы шардың шекарасында жатуы керек, бұл кері тартылу үшін мүмкін емес. Р. Брюс Келлог, Тьен Йен Ли және Джеймс А. Йорк Хирштің дәлелін есептеуге болатын дәлелге айналдырды, кері тартылудың іс жүзінде қозғалмайтын нүктелерден басқа барлық жерде анықталғанын байқап. Шекарадағы кез келген q нүктесі үшін (егер ол қозғалмайтын нүкте болмаса), жоғарыда аталған шекарасы бар 1-өлшемді көптік бар, және жалғыз мүмкіндік – ол q-дан қозғалмайтын нүктеге дейін жетеді. Сондықтан, мұндай жолды q-дан қозғалмайтын нүктеге дейін табу оңай сандық тапсырма болып табылады, демек, әдіс негізінен есептелуге болады. Ол гомотопиялық дәлелдің тұжырымдамалық тұрғыдан ұқсас, бірақ кең ауқымды байланысты мәселелерге қолданылатын нұсқасын ұсынды.

Бағдарланған аумақты пайдалану дәлелі

Алдыңғы дәлелдің бір түрі Сард теоремасын қолданбайды және былай жүреді. Егер тегіс кері тартылу болса, онда тегіс деформация және тегіс функция қарастырылады.

Интеграл белгісі бойынша дифференциалдау арқылы барлық t үшін (t) = 0 екені тез анықталады, сондықтан φ тұрақты функция, бұл қайшылық тудырады, себебі φ(0) – шардың n-өлшемді көлемі, ал φ(1) – нөлге тең. Геометриялық тұрғыдан алғанда, φ(t) – gt(B) -нің бағдарланған ауданы (яғни, gt арқылы шардың бейнесінің Лебег өлшемі, еселік пен бағдарды ескере отырып), және ол тұрақты болуы керек (бір өлшемді жағдайда бұл өте айқын). Екінші жағынан, t параметрі 0-ден 1-ге өтетін кезде gt функциясы шардың өзін-өзі бейнелеуінен кері тартылу r-ге үздіксіз түрленеді, бұл қайшылыққа әкеледі, өйткені өзін-өзі бейнелеудің бағдарланған ауданы шардың көлемімен сәйкес келеді, ал r-дің бағдарланған ауданы міндетті түрде 0-ге тең, себебі оның бейнесі – шардың шекарасы, яғни нөлдік өлшемді жиын.

Хекс ойынын пайдалану арқылы дәлелдеу

Дэвид Гейл берген өте ерекше дәлел Hex ойынына негізделген. Джон Нэш алғаш рет дәлелдеген Hex туралы негізгі теорема, Hex ойыны тең нәтижемен аяқталуы мүмкін емес; бірінші ойыншының әрқашан жеңіске жететін стратегиясы бар (бірақ бұл теорема конструктивті емес, және 10 x 10 немесе одан да үлкен өлшемдегі тақталар үшін нақты стратегиялар толыққанды әзірленбеген). Бұл 2 өлшемдегі Брауэрдің бекітілген нүкте теоремасына эквивалентті болып шығады. Hex-тің n өлшемді нұсқаларын қарастыра отырып, Брауэр теоремасы Hex-тің анықтығы туралы теоремаға эквивалентті екенін жалпылай дәлелдеуге болады.

Әлсіз логикалық жүйедегі дәлел

Кері математикада Брауэр теоремасы WKL0 жүйесінде дәлелделуі мүмкін, ал керісінше, RCA0 базалық жүйесінде квадрат үшін Брауэр теоремасы әлсіз Кёниг леммасын тудырады, осылайша Брауэр теоремасының күшін нақты анықтайды.

Жалпылау

Браувердің тұрақты нүкте теоремасы бірқатар жалпы тұрақты нүкте теоремаларының бастапқы нүктесі болып табылады. Шексіз өлшемдерге тікелей жалпылау, яғни Евклид кеңістігі орнына кез келген Гильберт кеңістігінің бірлік шарларын пайдалану дұрыс емес. Мұндағы басты мәселе – шексіз өлшемді Гильберт кеңістіктерінің бірлік шарлары тығыз болмайды. Мысалы, квадраттық жиынтық нақты (немесе кешенді) тізбектердің Гильберт кеңістігі l2-де f функциясын қарастырайық: l2 → l2, ол l2-нің жабық бірлік шарынан (xn) тізбегін l2-де (yn) тізбегіне жібереді.

Бұл функцияның үздіксіз екенін тексеру қиын емес, оның мәні l2 бірлік сферасында жатыр, бірақ тұрақты нүктесі жоқ. Сондықтан, Браувердің тұрақты нүкте теоремасының шексіз өлшемді кеңістікке жалпылауларының барлығы қандай да бір тығыздық шартын, сондай-ақ көбінесе дөңестік шартын қамтиды. Бұл теоремаларды талқылау үшін шексіз өлшемді кеңістіктердегі тұрақты нүкте теоремаларын қараңыз. Сонымен қатар, кеңістіктер класына шекті өлшемді жалпылау бар: Егер кеңістік шекті сандағы тізбектемелі континумдардың көбейтіндісі болса, онда әрбір үздіксіз функцияның тұрақты нүктесі болады, мұнда тізбектемелі континум – (әдетте, бірақ бұл жағдайда міндетті түрде метрикалық емес) тығыз Хаусдорф кеңістігі, оның әрбір ашық жабынының шекті ашық тазартуы бар, егер және тек егер. Тізбектемелі континумдардың мысалдарына тығыз байланысты, реттелген кеңістіктер және әсіресе нақты сандардың жабық аралықтары жатады. Какутанидің тұрақты нүкте теоремасы Браувердің тұрақты нүкте теоремасын басқа бағытта жалпылайды: ол Rn-де қалады, бірақ жоғары жартылай үздіксіз жиындық функцияларды (жинақтың әрбір нүктесіне жиынның ішкі жиынын сәйкес келтіретін функцияларды) қарастырады. Бұл жағдайда да жиынның тығыздығы мен дөңестігі талап етіледі. Лефшецтің тұрақты нүкте теоремасы (негізінен) кез келген тығыз топологиялық кеңістікке қолданылады және тұрақты нүктелердің болуын қамтамасыз ететін сингулярлы гомология тұрғысынан шарт береді; бұл шарт Dn жағдайында кез келген функция үшін тривиальды түрде орындалады.