Кіріспе
Екі вектордың әр аргументі бойынша сызықтық функциясы
Математикада билинейрлік бейнелеу – екі векторлық кеңістіктің элементтерін біріктіріп, үшінші векторлық кеңістіктің элементін шығаратын және әр аргументі бойынша сызықтық болатын функция. Матрица көбейтуі – мысал ретінде келтіріледі.
Қасиеттері
Анықтаманың тікелей салдары – егер 1=v = 0V немесе 1=w = 0W болса, онда 1=B(v, w) = 0X. Мұны 0V нөлдік векторын 0 ⋅ 0V (және сол сияқты 0W үшін де) деп жазып, сызықтылық арқасында скаляр 0-ді "сыртқа", B-нің алдына жылжыту арқылы көруге болады. Барлық билинейлік бейнелеулердің L(V, W; X) жиыны, V × W-дан X-қа дейінгі барлық бейнелеулер кеңістігінің (яғни векторлық кеңістік, модуль) сызықтық ішкі кеңістігі болып табылады. Егер V, W, X шекті өлшемді болса, онда L(V, W; X) да солай болады. Яғни, билинейлік формалар үшін, бұл кеңістіктің өлшемі dim V × dim W-ға тең (ал сызықтық формалардың L(V × W; F) кеңістігінің өлшемі dim V + dim W-ға тең). Мұны көру үшін V және W үшін базис таңдаңыз; содан кейін әрбір билинейлік бейнелеуді B(ei, fj) матрицасы арқылы бірегей түрде көрсетуге болады, және керісінше. Егер X жоғары өлшемді кеңістік болса, онда dim L(V, W; X) = dim V × dim W × dim X болады.
Тұрақтылықтың жеткілікті шарттары
Іс жүзінде кездесетін көптеген билинейлік бейнелеулер жеке-жеке үздіксіз, бірақ олардың барлығы үздіксіз емес. Мұнда біз жеке-жеке үздіксіз билинейлік бейнелеудің үздіксіз болуы үшін жеткілікті шарттарды тізімдейміз. Егер X – Бейр кеңістігі болса және Y – метрикалық кеңістік болса, онда кез келген жеке-жеке үздіксіз билинейлік бейнелеу үздіксіз болады. Егер Фреше кеңістіктерінің берік дуалдары болса, онда кез келген жеке-жеке үздіксіз билинейлік бейнелеу үздіксіз болады. Егер билинейлік бейнелеу (0, 0) нүктесінде үздіксіз болса, онда ол әр жерде үздіксіз болады.