Кіріспе
Шектелген сызықтық функционалдарды кеңейту туралы теорема. Хан-Банах теоремасы функционалдық анализдің маңызды құралы болып табылады. Ол, белгілі бір векторлық кеңістіктің векторлық ішкі кеңістігінде анықталған шектелген сызықтық функционалдарды бүкіл кеңістікке кеңейтуге мүмкіндік береді, сонымен қатар, әрбір нормаланған векторлық кеңістікте екілік кеңістікті зерттеуді "қызықты" ету үшін жеткілікті мөлшерде үздіксіз сызықтық функционалдар бар екенін көрсетеді. Хан-Банах теоремасының тағы бір түрі Хан-Банахтың ажырату теоремасы немесе гипержазықтық ажырату теоремасы деп белгілі, және ол дөңгелек геометрияда көптеген қолданыстарға ие.
The Hahn–Banach theorem is a central tool in functional analysis. It allows the extension of bounded linear functionals defined on a vector subspace of some vector space to the whole space, and it also shows that there are "enough" continuous linear functionals defined on every normed vector space to make the study of the dual space "interesting". Another version of the Hahn–Banach theorem is known as the Hahn–Banach separation theorem or the hyperplane separation theorem, and has numerous uses in convex geometry.
Жергілікті емес құрғақ кеңістіктер
Топологиялық векторлық кеңістік (ТВК) жергілікті дөңес болмаса, үздіксіз кеңейту теоремасы орындалмауы мүмкін. Мысалы, Лебег кеңістігі – толық метрикалық ТВК (F кеңістігі), бірақ жергілікті дөңес емес (іс жүзінде, оның жалғыз дөңес ашық ішкі жиындары – өзі және бос жиын) және оған қатысты жалғыз үздіксіз сызықтық функционал – тұрақты функция. Лебег кеңістігі Хаусдорф кеңістігі болғандықтан, әрбір шекті өлшемді векторлық ішкі кеңістік Эвклид кеңістігіне немесе (Ф. Рисц теоремасы бойынша) сызықтық гомеоморфты болады, сондықтан кез келген нөлдік емес сызықтық функционал үздіксіз, бірақ олардың ешқайсысының кеңістіктің барлық нүктелеріне үздіксіз сызықтық кеңейтуі жоқ. Дегенмен, ТВК жергілікті дөңес болмауы мүмкін, бірақ оның үздіксіз қос кеңістігі нүктелерді бөлетін жеткілікті үздіксіз сызықтық функционалдарға ие болуы мүмкін; мұндай ТВК үшін векторлық ішкі кеңістікте анықталған үздіксіз сызықтық функционал кеңістіктің бүкіл кеңістігіне үздіксіз сызықтық кеңейтуге ие болуы мүмкін. Егер ТВК жергілікті дөңес болмаса, онда үнемі кеңейту теоремасының жоғарыдағы дәлелінде қолданылғандай, Хан-Банах теоремасын қолдану мүмкін болмайды. Алайда, дәлелдеу аргументін жалпылауға болады, осылайша үздіксіз сызықтық функционалдың үздіксіз сызықтық кеңейтуінің шартын анықтауға болады: Егер ТВК (жергілікті дөңес болуы міндетті емес) болса, онда векторлық ішкі кеңістікте анықталған үздіксіз сызықтық функционалдың барлық кеңістікке үздіксіз сызықтық кеңейтуі бар, егер және тек егер оны үстемдік ететін кейбір үздіксіз семинарлық нормалар болса. Атап айтқанда, егер үздіксіз сызықтық кеңейту берілсе, онда ол үстемдік ететін үздіксіз семинарлық норма болып табылады, ал керісінше, егер үстемдік ететін үздіксіз семинарлық норма берілсе, онда Хан-Банах теоремасымен кепілдендірілген оның үстемдік ететін кез келген сызықтық кеңейтуі үздіксіз сызықтық кеңейту болады.
However, it is possible for a TVS to not be locally convex but nevertheless have enough continuous linear functionals that its continuous dual space separates points; for such a TVS, a continuous linear functional defined on a vector subspace might have a continuous linear extension to the whole space. If the TVS is not locally convex then there might not exist any continuous seminorm defined on (not just on ) that dominates in which case the Hahn–Banach theorem can not be applied as it was in the above proof of the continuous extension theorem. However, the proof's argument can be generalized to give a characterization of when a continuous linear functional has a continuous linear extension: If is any TVS (not necessarily locally convex), then a continuous linear functional defined on a vector subspace has a continuous linear extension to all of if and only if there exists some continuous seminorm on that dominates Specifically, if given a continuous linear extension then is a continuous seminorm on that dominates and conversely, if given a continuous seminorm on that dominates then any dominated linear extension of to (the existence of which is guaranteed by the Hahn–Banach theorem) will be a continuous linear extension.
Геометриялық ХанБанах (ХанБанахтың бөліну теоремалары)
Хан–Банах теоремасының негізгі элементі – екі дөңес жиынтықты бөлу туралы мәселе: және . Осы сияқты аргумент дөңес геометрияда, оптимизация теориясында және экономикада кеңінен қолданылады. Бұл мақсатта бастапқы Хан–Банах теоремасынан туындаған леммалар Хан–Банахтың бөлу теоремалары деп аталады. Олар гипержазықтық бөлу теоремасының жалпылаулары болып табылады, онда шекті өлшемді кеңістіктің екі бөлек, бос емес дөңес ішкі жиынтығын кейбір аффинді гипержазықтықпен бөлуге болады, ол нөлдік емес сызықтық функционал және скаляр болып табылатын форманың талшығы (деңгейлік жиынтығы) болып табылады. Содан кейін келесі маңызды қорытынды Геометриялық Хан–Банах теоремасы немесе Мазур теоремасы (сонымен қатар Асколи–Мазур теоремасы деп те аталады) деп белгілі. Бұл жоғарыдағы бірінші тұжырымнан және дөңестіктің қасиеттерінен туындайды.
Мазур теоремасы векторлық ішкі кеңістіктердің (тіпті жабық емес кеңістіктердің) сызықтық функционалдар арқылы сипатталатынын нақтылайды.