Кіріспе
3 сфераның 2 сфераға дейінгі талшықты түйіні, талшықтар ретінде 1 сфера. Дифференциалдық топологияның математикалық саласында Хопф фибрациясы (Хопф түйіні немесе Хопф картасы деп те аталады) 3 сфераны (төрт өлшемді кеңістіктегі гиперсфераны) шеңберлер мен қарапайым сфера тұрғысынан сипаттайды. 1931 жылы Хайнц Хопф ашқан бұл талшықты буындысының алғашқы, ықпалды мысалы болып табылады. Техникалық тұрғыдан алғанда, Хопф 3 сферадан 2 сфераға дейін бірден-бірге үздіріссіз функция (немесе "карта") тапты, сондықтан 2 сфераның әр түрлі нүктесі 3 сфераның әр түрлі үлкен шеңберінен картаға түсіріледі. Осылайша 3 сфера талшықтардан тұрады, мұнда әрбір талшық 2 сфераның әр нүктесі үшін бір шеңбер болып табылады. Бұл талшықты буындысы құрылымы талшық кеңістігі S^(1) (шеңбер) жалпы кеңістікте S^(3) (3 сфера) орналасқан және p : S^(3) → S^(2) (Хопф картасы) S^(3) базалық кеңістікте S^(2) (әдеттегі 2 сфера) проекциялайды. Хопф фибрациясы, кез келген талшықты буындысы сияқты, жергілікті өнім кеңістігі болып табылатын маңызды қасиетке ие. Алайда бұл тривиалды талшықты буындысы емес, яғни S^(3) жалпы алғанда S^(2) және S^(1) көбейтіндісі емес, бірақ жергілікті жағынан одан ажыратылмайды. Бұл көптеген салдарға ие: мысалы, бұл буындының болуы сфералардың жоғары гомотопиялық топтары жалпы алғанда тривиалды емес екенін көрсетеді. Ол сонымен қатар талшықты шеңбер тобымен сәйкестендіру арқылы негізгі буындының негізгі мысалын ұсынады. Хопф фибрациясының стереографиялық проекциясы 'R'^(3) кеңістігінде ерекше құрылымды тудырады, онда z осьінен басқа барлық үш өлшемді кеңістік Villarceau шеңберлерін байланыстыратын тігілген торилермен толтырылады. Мұнда әрбір талшық кеңістіктегі шеңберге (оның бірі - "инфинитив арқылы шеңбер" деп саналатын түзу) проекцияланады. Әрбір тор 2 сфераның ендік шеңберінің кері кескінінің стереографиялық проекциясы болып табылады. (Топологиялық тұрғыдан алғанда, тор екі шеңбердің көбейтіндісі.) Бұл торилер оң жақтағы суреттерде көрсетілген. 'R'^(3) кеңістігі шардың шекарасына дейін сығымдалғанда, топологиялық құрылым сақталса да, кейбір геометриялық құрылым жоғалады (Топология және геометрияны қараңыз). Бұрандалар геометриялық шеңберлер болмаса да, шеңберлерге гомеоморфты болып табылады. Хопф фибрациясының көптеген жалпылаулары бар. Комплексті координаталар кеңістігіндегі бірлік сферасы 'C'^(n+1) табиғи түрде 'CP'^(n) күрделі проективті кеңістікте талшықтар ретінде шеңберлермен және бұл талшықтардың нақты, кватерниондық және октониондық нұсқалары бар. Атап айтқанда, Хопф фибрациясы төрт талшықты буындысы отбасына жатады, онда жалпы кеңістік, негіз кеңістік және талшық кеңістік – барлығы сфералар: Адамс теоремасы бойынша мұндай фибрациялар тек осы өлшемдерде ғана болуы мүмкін. Хопф фибрациясы твистор теориясында маңызды.
In the mathematical field of differential topology, the Hopf fibration (also known as the Hopf bundle or Hopf map) describes a 3 sphere (a hypersphere in four dimensional space) in terms of circles and an ordinary sphere. Discovered by Heinz Hopf in 1931, it is an influential early example of a fiber bundle. Technically, Hopf found a many to one continuous function (or "map") from the 3 sphere onto the 2 sphere such that each distinct point of the 2 sphere is mapped from a distinct great circle of the 3 sphere Thus the 3 sphere is composed of fibers, where each fiber is a circle — one for each point of the 2 sphere. This fiber bundle structure is denoted
meaning that the fiber space S^(1) (a circle) is embedded in the total space S^(3) (the 3 sphere), and p : S^(3) → S^(2) (Hopf's map) projects S^(3) onto the base space S^(2) (the ordinary 2 sphere). The Hopf fibration, like any fiber bundle, has the important property that it is locally a product space. However it is not a trivial fiber bundle, i. e., S^(3) is not globally a product of S^(2) and S^(1) although locally it is indistinguishable from it. This has many implications: for example the existence of this bundle shows that the higher homotopy groups of spheres are not trivial in general. It also provides a basic example of a principal bundle, by identifying the fiber with the circle group. Stereographic projection of the Hopf fibration induces a remarkable structure on 'R'^(3), in which all of 3 dimensional space, except for the z axis, is filled with nested tori made of linking Villarceau circles. Here each fiber projects to a circle in space (one of which is a line, thought of as a "circle through infinity"). Each torus is the stereographic projection of the inverse image of a circle of latitude of the 2 sphere. (Topologically, a torus is the product of two circles.) These tori are illustrated in the images at right. When 'R'^(3) is compressed to the boundary of a ball, some geometric structure is lost although the topological structure is retained (see Topology and geometry). The loops are homeomorphic to circles, although they are not geometric circles. There are numerous generalizations of the Hopf fibration. The unit sphere in complex coordinate space 'C'^(n+1) fibers naturally over the complex projective space 'CP'^(n) with circles as fibers, and there are also real, quaternionic, and octonionic versions of these fibrations. In particular, the Hopf fibration belongs to a family of four fiber bundles in which the total space, base space, and fiber space are all spheres:
By Adams's theorem such fibrations can occur only in these dimensions. The Hopf fibration is important in twistor theory.
Анықтама және құрылымы
Кез келген табиғи сан n үшін, n өлшемді сфера немесе n-сфера – бұл белгілі бір қашықтықтағы орталық нүктеден орналасқан n өлшемді кеңістіктегі нүктелер жиыны ретінде анықталады. Нақтырақ айтқанда, орталық нүктені координата басы ретінде алуға болады, ал сферадағы нүктелердің осы координата басынан қашықтығы бірлікке тең деп есептеуге болады. Осы шарт бойынша, n-сфера, x₁² + x₂² + ... + xₙ² = 1 теңдеуін қанағаттандыратын нүктелерден тұрады. Мысалы, 3-сфера – бұл R⁴ кеңістігіндегі (x₁, x₂, x₃, x₄) нүктелерінен тұрады, мұнда x₁² + x₂² + x₃² + x₄² = 1. 3-сфераның 2-сфераға Хопф фибрациясы p: S³ → S² бірнеше тәсілмен анықталуы мүмкін.
Күрделі проекциялық сызықты пайдалана отырып геометриялық түсіндіру
Фибрацияның геометриялық интерпретациясын күрделі проекциялық сызық "CP"^(1) арқылы алуға болады, ол "C"^(2) кеңістігінің барлық күрделі бір өлшемді ішкі кеңістіктерінің жиынтығы ретінде анықталады. Балама ретінде, "CP"^(1) – бұл "C"^(2)\{0} кеңістігінің, кез келген нөлдік емес күрделі сан λ үшін (z0, z1) жұбын (λz0, λz1) жұбымен теңестіретін эквиваленттілік қатынасы бойынша алынған бөлігі. C^(2) кез келген күрделі сызығында бірлік нормасы бар шеңбер бар, сондықтан бөлу картасын бірлік нормасы бар нүктелерге шектеу S^(3) фибрациясын "CP"^(1) үстінде құрайды. "CP"^(1) 2 сферасына диффеоморфты: шындығында, оны Риман сферасымен 1 = 'C'∞ = 'C' ∪ {∞} деп анықтауға болады, бұл 'C' кеңістігінің бір нүктелік тығыздалуы (шетсіздік нүктесін қосу арқылы алынған). Жоғарыда p үшін келтірілген формула күрделі проекциялық сызық пен 3 өлшемді кеңістіктегі обыкновенный 2 сфера арасындағы нақты диффеоморфизмді анықтайды. Балама ретінде, (z0, z1) нүктесін Риман сферасы 'C'∞-дағы z1/z0 қатынасына бейнелеуге болады.
Талшықты бульдондар құрылымы
Хопф фибрациясы p проекциясы арқылы талшықтық шоғырды анықтайды. Бұл оның "жергілікті көбейтінді құрылымы" бар екенін білдіреді, яғни 2 сфераның кез келген нүктесі үшін U көршілесі бар, оның 3 сферадағы кері бейнесі U және шеңбердің көбейтіндісімен сәйкес келеді: p⁻¹(U) ≅ U × S¹. Мұндай фибрация жергілікті тривиальды деп аталады. Хопф фибрациясы үшін S²-ден бір m нүктесін және S³-ден p⁻¹(m) шеңберін алып тастау жеткілікті; осылайша 1 = U = S²\{m} деп алуға болады, және S²-нің кез келген нүктесінде осы формадағы көршілес аймақ бар.
Сұйықтық механикасы
Егер Хопф фибрациясы 3 өлшемді кеңістікте векторлық өріс ретінде қарастырылса, онда сұйықтық динамикасының (сығылатын, тұтқыр емес) Навье-Стокс теңдеулеріне шешім бар, онда сұйықтық 3 өлшемді кеңістікте Хопф фибрациясының проекциясының шеңберлері бойынша ағып өтеді. Жылдамдықтардың шамасы, тығыздығы және қысымы әрбір нүктеде теңдеулерді қанағаттандыру үшін таңдалынады. Бұл шамалардың бәрі орталықтан алшақтаған сайын нөлге жақындайды. Егер a – ішкі сақинаға дейінгі қашықтық болса, жылдамдықтар, қысым және тығыздық өрістері кез келген A және B тұрақтылары үшін былай беріледі:
Магнитогидродинамиканың солитондық шешімдері ретінде осыған ұқсас өріс үлгілері табылады:
Жалпылау
Хопф құрылымы, талшықтар шоғыры ретінде қарастырылған p: S3 → CP1, бірнеше жалпылама нұсқаларды қабылдайды, олар көбінесе Хопф талшықтары деп аталады. Біріншіден, проекциялық түзуді n өлшемді проекциялық кеңістікпен алмастыруға болады. Екіншіден, кешенді сандарды кез келген (нақты) бөліну алгебрасымен алмастыруға болады, оның ішінде (n = 1) октониондар.
Күрделі Хопф фибрациялары
Хопф конструкциясы күрделі проекциялық кеңістік үстінде p: S2n+1 → CPn шеңберлік бундельдерін құрады. Бұл, іс жүзінде, Cn+1-дегі бірлік сферасына CPn бойынша таутологиялық түзу шоғының шектелуі болып табылады.
Кватерниондық Хопф фибрациялары
Сол сияқты, S4n+3-ті Hn+1 (квартерниондық n кеңістігінде) жатқан деп қарастыруға болады және бірлік квартернион (= S3) көбейту арқылы бөліп, квартерниондық проективті кеңістік HPn-ді алуға болады. Әсіресе, S4 = HP1 болғандықтан, S7 → S4 бунделі S3 талшығымен құрылады.
Октониондық Хопф фибрациялары
Октониондармен ұқсас құрылым S15 → S8 бумасын S7 талшығымен береді. Бірақ S31 сферасы S16 үстінен S15 талшығымен жіктелмейді. S8-ді октониондық проективтік түзу OP1 ретінде қарастыруға болады. Октониондық проективтік жазықтықты OP2 деп анықтауға болады, бірақ S23 сферасы OP2 үстінен S7 талшығымен жіктелмейді.
with fiber S7.
Геометрия және қолдану
Хопф фибрациясының көптеген салдары бар, кейбіреулері тартымды, ал кейбіреулері терең. Мысалы, стереографиялық проекция S3 → R3, R3 кеңістігінде керемет құрылымды тудырады, бұл өз кезегінде бундельдің топологиясын түсіндіреді. Стереографиялық проекция шеңберлерді сақтайды және Хопф талшықтарын R3 кеңістігінде геометриялық тұрғыдан мінсіз шеңберлерге бейнелейді, олар кеңістікті толтырады. Мұнда бір ғана ерекшелік бар: проекция нүктесін қамтитын Хопф шеңбері R3 кеңістігінде түзу сызыққа — «шетсіздік арқылы шеңберге» бейнеленеді. S2 кеңістігіндегі ендік шеңберінің үстіндегі талшықтар S3 кеңістігінде тор құрайды (топологиялық тұрғыдан алғанда, тор — екі шеңбердің көбейтіндісі), ал олар R3 кеңістігінде бірімен бірі ішкі торларды құрайды, олар да кеңістікті толтырады. Жеке талшықтар осы торларда Вильярсо шеңберлерін байланыстырады, проекция нүктесі арқылы және оның қарама-қарсы нүктесі арқылы өтетін шеңберлерді қоспағанда: біріншісі түзу сызыққа, екіншісі — осы сызыққа перпендикуляр және ортасы осы сызықта орналасқан бірлік шеңберіне бейнеленеді, оны кіші радиусы нөлге дейін қысқарған дегенерациялық тор ретінде қарастыруға болады. Қалған барлық талшықтар да сызықты айналып өтеді, сондықтан симметрия бойынша әр шеңбер R3 және S3 кеңістіктерінде кез келген шеңбермен байланысады. Мұндай екі байланысқан шеңбер R3 кеңістігінде Хопф байланысын құрайды. Хопф, Хопф картасының Хопф инварианты 1-ге тең екенін және демек, нөлдік гомотоп емес екенін дәлелдеді. Шын мәнінде, ол π3(S2) гомотопиялық тобын тудырады және шексіз тәртіпке ие. Кванттық механикада Риман сферасы Блох сферасы деп аталады, ал Хопф фибрациясы кванттық механикалық екі деңгейлі жүйенің немесе кубиттің топологиялық құрылымын сипаттайды. Сол сияқты, екі байланысқан екі деңгейлі жүйенің топологиясы Хопф фибрациясымен беріледі. Сонымен қатар, Хопф фибрациясы Дирак монополының талшықты бундель құрылымымен эквивалентті. Хопф фибрациясы робототехникада да қолданыс тапты, онда ол SO(3) кеңістігінде қозғалыс жоспарлау үшін қолданылатын ықтималдық жол картасы алгоритмінде біркелкі үлгілер жасау үшін пайдаланылды. Ол квадроторларды автоматты түрде басқаруда да қолданылды.
Hopf proved that the Hopf map has Hopf invariant 1, and therefore is not null homotopic. In fact it generates the homotopy group π3(S2) and has infinite order. In quantum mechanics, the Riemann sphere is known as the Bloch sphere, and the Hopf fibration describes the topological structure of a quantum mechanical two level system or qubit. Similarly, the topology of a pair of entangled two level systems is given by the Hopf fibration
Moreover, the Hopf fibration is equivalent to the fiber bundle structure of the Dirac monopole. Hopf fibration also found applications in robotics, where it was used to generate uniform samples on SO(3) for the probabilistic roadmap algorithm in motion planning. It also found application in the automatic control of quadrotors.