Введение
Волокнистый пучок 3-сферы над 2-сферой, с 1-сферами в качестве волокон. В математической области дифференциальной топологии фибрация Хопфа (также известная как пучок Хопфа или отображение Хопфа) описывает 3-сферу (гиперсферу в четырехмерном пространстве) в терминах окружностей и обычной сферы. Открытая Хайнцем Хопфом в 1931 году, она является влиятельным ранним примером волокнистого пучка. Технически, Хопф нашел непрерывное много-к-одному отображение (или "карту") с 3-сферы на 2-сферу, такое что каждая отличная точка 2-сферы отображается из отличной большой окружности 3-сферы. Таким образом, 3-сфера состоит из волокон, где каждое волокно является окружностью — по одной для каждой точки 2-сферы. Эта структура волокнистого пучка обозначается следующим образом:
In the mathematical field of differential topology, the Hopf fibration (also known as the Hopf bundle or Hopf map) describes a 3 sphere (a hypersphere in four dimensional space) in terms of circles and an ordinary sphere. Discovered by Heinz Hopf in 1931, it is an influential early example of a fiber bundle. Technically, Hopf found a many to one continuous function (or "map") from the 3 sphere onto the 2 sphere such that each distinct point of the 2 sphere is mapped from a distinct great circle of the 3 sphere Thus the 3 sphere is composed of fibers, where each fiber is a circle — one for each point of the 2 sphere. This fiber bundle structure is denoted
meaning that the fiber space S^(1) (a circle) is embedded in the total space S^(3) (the 3 sphere), and p : S^(3) → S^(2) (Hopf's map) projects S^(3) onto the base space S^(2) (the ordinary 2 sphere). The Hopf fibration, like any fiber bundle, has the important property that it is locally a product space. However it is not a trivial fiber bundle, i. e., S^(3) is not globally a product of S^(2) and S^(1) although locally it is indistinguishable from it. This has many implications: for example the existence of this bundle shows that the higher homotopy groups of spheres are not trivial in general. It also provides a basic example of a principal bundle, by identifying the fiber with the circle group. Stereographic projection of the Hopf fibration induces a remarkable structure on 'R'^(3), in which all of 3 dimensional space, except for the z axis, is filled with nested tori made of linking Villarceau circles. Here each fiber projects to a circle in space (one of which is a line, thought of as a "circle through infinity"). Each torus is the stereographic projection of the inverse image of a circle of latitude of the 2 sphere. (Topologically, a torus is the product of two circles.) These tori are illustrated in the images at right. When 'R'^(3) is compressed to the boundary of a ball, some geometric structure is lost although the topological structure is retained (see Topology and geometry). The loops are homeomorphic to circles, although they are not geometric circles. There are numerous generalizations of the Hopf fibration. The unit sphere in complex coordinate space 'C'^(n+1) fibers naturally over the complex projective space 'CP'^(n) with circles as fibers, and there are also real, quaternionic, and octonionic versions of these fibrations. In particular, the Hopf fibration belongs to a family of four fiber bundles in which the total space, base space, and fiber space are all spheres:
By Adams's theorem such fibrations can occur only in these dimensions. The Hopf fibration is important in twistor theory.
что означает, что пространство волокон S¹ (окружность) вложено в общее пространство S³ (3-сфера), а p : S³ → S² (отображение Хопфа) проецирует S³ на базовое пространство S² (обычная 2-сфера). Фибрация Хопфа, как и любой волокнистый пучок, обладает важным свойством: она локально является пространством произведения. Однако это не тривиальный волокнистый пучок, то есть S³ не является глобально произведением S² и S¹, хотя локально неотличима от него. Это имеет множество следствий: например, существование этого пучка показывает, что высшие гомотопические группы сфер не являются тривиальными в общем случае. Он также предоставляет базовый пример главного пучка, отождествляя волокно с круговой группой. Стереографическая проекция фибрации Хопфа индуцирует замечательную структуру на R³, в которой всё трехмерное пространство, за исключением оси z, заполнено вложенными торами, состоящими из сцепленных кругов Вильярсо. Здесь каждое волокно проецируется в окружность в пространстве (одна из которых является линией, рассматриваемой как "окружность на бесконечности"). Каждый тор является стереографической проекцией прообраза окружности широты 2-сферы. (Топологически тор является произведением двух окружностей.) Эти торы изображены на рисунках справа. Когда R³ сжимается до границы шара, некоторая геометрическая структура теряется, хотя топологическая структура сохраняется (см. Топология и геометрия). Петли гомеоморфны окружностям, хотя и не являются геометрическими окружностями. Существует множество обобщений фибрации Хопфа. Единичная сфера в комплексном координатном пространстве Cⁿ⁺¹ естественным образом расслаивается над комплексным проективным пространством CPⁿ с окружностями в качестве волокон, и существуют также вещественные, квартионионные и октонионные версии этих расслоений. В частности, фибрация Хопфа принадлежит к семейству из четырех волокнистых пучков, в которых общее пространство, базовое пространство и пространство волокон являются сферами:
In the mathematical field of differential topology, the Hopf fibration (also known as the Hopf bundle or Hopf map) describes a 3 sphere (a hypersphere in four dimensional space) in terms of circles and an ordinary sphere. Discovered by Heinz Hopf in 1931, it is an influential early example of a fiber bundle. Technically, Hopf found a many to one continuous function (or "map") from the 3 sphere onto the 2 sphere such that each distinct point of the 2 sphere is mapped from a distinct great circle of the 3 sphere Thus the 3 sphere is composed of fibers, where each fiber is a circle — one for each point of the 2 sphere. This fiber bundle structure is denoted
meaning that the fiber space S^(1) (a circle) is embedded in the total space S^(3) (the 3 sphere), and p : S^(3) → S^(2) (Hopf's map) projects S^(3) onto the base space S^(2) (the ordinary 2 sphere). The Hopf fibration, like any fiber bundle, has the important property that it is locally a product space. However it is not a trivial fiber bundle, i. e., S^(3) is not globally a product of S^(2) and S^(1) although locally it is indistinguishable from it. This has many implications: for example the existence of this bundle shows that the higher homotopy groups of spheres are not trivial in general. It also provides a basic example of a principal bundle, by identifying the fiber with the circle group. Stereographic projection of the Hopf fibration induces a remarkable structure on 'R'^(3), in which all of 3 dimensional space, except for the z axis, is filled with nested tori made of linking Villarceau circles. Here each fiber projects to a circle in space (one of which is a line, thought of as a "circle through infinity"). Each torus is the stereographic projection of the inverse image of a circle of latitude of the 2 sphere. (Topologically, a torus is the product of two circles.) These tori are illustrated in the images at right. When 'R'^(3) is compressed to the boundary of a ball, some geometric structure is lost although the topological structure is retained (see Topology and geometry). The loops are homeomorphic to circles, although they are not geometric circles. There are numerous generalizations of the Hopf fibration. The unit sphere in complex coordinate space 'C'^(n+1) fibers naturally over the complex projective space 'CP'^(n) with circles as fibers, and there are also real, quaternionic, and octonionic versions of these fibrations. In particular, the Hopf fibration belongs to a family of four fiber bundles in which the total space, base space, and fiber space are all spheres:
By Adams's theorem such fibrations can occur only in these dimensions. The Hopf fibration is important in twistor theory.
По теореме Адамса такие фибрации могут возникать только в этих размерностях. Фибрация Хопфа важна в теории твисторов.
In the mathematical field of differential topology, the Hopf fibration (also known as the Hopf bundle or Hopf map) describes a 3 sphere (a hypersphere in four dimensional space) in terms of circles and an ordinary sphere. Discovered by Heinz Hopf in 1931, it is an influential early example of a fiber bundle. Technically, Hopf found a many to one continuous function (or "map") from the 3 sphere onto the 2 sphere such that each distinct point of the 2 sphere is mapped from a distinct great circle of the 3 sphere Thus the 3 sphere is composed of fibers, where each fiber is a circle — one for each point of the 2 sphere. This fiber bundle structure is denoted
meaning that the fiber space S^(1) (a circle) is embedded in the total space S^(3) (the 3 sphere), and p : S^(3) → S^(2) (Hopf's map) projects S^(3) onto the base space S^(2) (the ordinary 2 sphere). The Hopf fibration, like any fiber bundle, has the important property that it is locally a product space. However it is not a trivial fiber bundle, i. e., S^(3) is not globally a product of S^(2) and S^(1) although locally it is indistinguishable from it. This has many implications: for example the existence of this bundle shows that the higher homotopy groups of spheres are not trivial in general. It also provides a basic example of a principal bundle, by identifying the fiber with the circle group. Stereographic projection of the Hopf fibration induces a remarkable structure on 'R'^(3), in which all of 3 dimensional space, except for the z axis, is filled with nested tori made of linking Villarceau circles. Here each fiber projects to a circle in space (one of which is a line, thought of as a "circle through infinity"). Each torus is the stereographic projection of the inverse image of a circle of latitude of the 2 sphere. (Topologically, a torus is the product of two circles.) These tori are illustrated in the images at right. When 'R'^(3) is compressed to the boundary of a ball, some geometric structure is lost although the topological structure is retained (see Topology and geometry). The loops are homeomorphic to circles, although they are not geometric circles. There are numerous generalizations of the Hopf fibration. The unit sphere in complex coordinate space 'C'^(n+1) fibers naturally over the complex projective space 'CP'^(n) with circles as fibers, and there are also real, quaternionic, and octonionic versions of these fibrations. In particular, the Hopf fibration belongs to a family of four fiber bundles in which the total space, base space, and fiber space are all spheres:
By Adams's theorem such fibrations can occur only in these dimensions. The Hopf fibration is important in twistor theory.
Определение и конструкция
Для любого натурального числа n, n-мерная сфера, или n-сфера, может быть определена как множество точек в n-мерном пространстве, находящихся на фиксированном расстоянии от центральной точки. Для конкретности, центральную точку можно принять за начало координат, а расстояние от точек на сфере до этого начала – за единицу длины. При такой условности, n-сфера, Sⁿ, состоит из точек x = (x₁, x₂, …, xₙ₊₁) в ℝⁿ⁺¹ таких, что x₁² + x₂² + … + xₙ₊₁² = 1. Например, 3-сфера состоит из точек (x₁, x₂, x₃, x₄) в ℝ⁴, удовлетворяющих условию x₁² + x₂² + x₃² + x₄² = 1. Фибрация Хопфа p: S³ → S² над 2-сферой может быть определена несколькими способами.
Геометрическая интерпретация с использованием сложной проективной линии
Геометрическая интерпретация фибрации может быть получена с использованием комплексной проективной прямой CP¹ , которая определяется как множество всех комплексных одномерных подпространств C². Эквивалентно, CP¹ является факторпространством C² \ {0} по отношению эквивалентности, отождествляющему (z₀, z₁) с (λz₀, λz₁) для любого ненулевого комплексного числа λ. На любой комплексной прямой в C² существует окружность единичной нормы, и поэтому ограничение отображения факторизации на точки единичной нормы является фибрацией S³ над CP¹. CP¹ диффеоморфна 2-сфере: действительно, её можно отождествить со сферой Римана 1 = C∞ = C ∪ {∞}, которая является одноточечной компактификацией C (полученной добавлением точки на бесконечности). Формула, данная выше для p, определяет явный диффеоморфизм между комплексной проективной прямой и обычной 2-сферой в трехмерном пространстве. Альтернативно, точка (z₀, z₁) может быть отображена в отношение z₁/z₀ на сфере Римана C∞.
Структура волокна
Фибрация Хопфа определяет расслоение, с проекцией p. Это означает, что она обладает "локальной структурой произведения", в том смысле, что для каждой точки 2-сферы существует окрестность U, обратный образ которой в 3-сфере может быть отождествлен с произведением U и окружности: p⁻¹(U) ≅ U × S¹. Такие расслоения называются локально тривиальными. Для фибрации Хопфа достаточно удалить одну точку m из S² и соответствующую окружность p⁻¹(m) из S³; таким образом, можно взять U = S² \ {m}, и любая точка в S² имеет окрестность такого вида.
Механика жидкостей
Если фибрация Хопфа рассматривается как векторное поле в трехмерном пространстве, то существует решение (сжимаемых, невязких) уравнений Навье-Стокса гидродинамики, в котором жидкость течет вдоль окружностей проекции фибрации Хопфа в трехмерном пространстве. Величины скоростей, плотность и давление могут быть подобраны в каждой точке таким образом, чтобы удовлетворять уравнениям. Все эти величины стремятся к нулю при удалении от центра. Если *a* – расстояние до внутреннего кольца, то поля скоростей, давления и плотности задаются следующим образом:
для произвольных констант A и B. Аналогичные структуры полей обнаруживаются в виде солитонных решений магнитогидродинамики:
Обобщения
Конструкция Хопфа, рассматриваемая как расслоение p: S3 → CP1, допускает несколько обобщений, которые также часто называют фибрациями Хопфа. Во-первых, можно заменить проективную линию на n-мерное проективное пространство. Во-вторых, можно заменить комплексные числа любой (действительной) алгеброй с делением, включая (для n = 1) октонионы.
Комплексные фибрации Хопфа
Конструкция Хопфа задает расслоения окружностей p : S^(2n+1) → CPⁿ над комплексным проективным пространством. Это, по сути, ограничение таутологического линейного расслоения над CPⁿ на единичную сферу в C^(n+1).
Квартернионные фибрации Хопфа
Аналогично, можно рассматривать S4n+3 как лежащее в Hn+1 (квартернионном n-пространстве) и факторизовать его делением на умножение на единичный кватернион (= S3), чтобы получить кватернионное проективное пространство HPn. В частности, поскольку S4 = HP1, существует расслоение S7 → S4 с волокном S3.
Октонионные фибрации Хопфа
Аналогичная конструкция с октонионами дает расслоение S15 → S8 с волокном S7. Но сфера S31 не является расслоением над S16 с волокном S15. Можно рассматривать S8 как октонионную проективную прямую OP1. Хотя можно также определить октонионную проективную плоскость OP2, сфера S23 не расслаивается над OP2 с волокном S7.
with fiber S7.
Геометрия и применения
У фибрации Хопфа множество следствий, некоторые чисто привлекательные, другие – более глубокие. Например, стереографическая проекция S³ → R³ индуцирует замечательную структуру в R³, которая, в свою очередь, проясняет топологию расслоения. Стереографическая проекция сохраняет окружности и отображает волокна Хопфа в геометрически правильные окружности в R³, которые заполняют пространство. Здесь есть одно исключение: окружность Хопфа, содержащая точку проекции, отображается в прямую линию в R³ – «окружность на бесконечности». Волокна над окружностью широты на S² образуют тор в S³ (топологически тор является произведением двух окружностей), и они проецируются на вложенные торы в R³, которые также заполняют пространство. Отдельные волокна отображаются в сцепляющиеся окружности Вильярсо на этих торах, за исключением окружности, проходящей через точку проекции, и окружности, проходящей через противоположную точку: первая отображается в прямую линию, вторая – в единичную окружность, перпендикулярную этой линии и с центром на ней, которую можно рассматривать как вырожденный тор, чей малый радиус стянут до нуля. Каждое другое изображение волокна также охватывает эту линию, и поэтому, по симметрии, каждая окружность сцеплена с каждой окружностью как в R³, так и в S³. Две такие сцепляющиеся окружности образуют связь Хопфа в R³.
Хопф доказал, что отображение Хопфа имеет инвариант Хопфа, равный 1, и, следовательно, не является гомотопно нулевому. Фактически, оно порождает гомотопическую группу π₃(S²) и имеет бесконечный порядок. В квантовой механике сфера Римана известна как сфера Блоха, а фибрация Хопфа описывает топологическую структуру квантовомеханической двухуровневой системы или кубита. Аналогично, топология пары запутанных двухуровневых систем задается фибрацией Хопфа. Более того, фибрация Хопфа эквивалентна структуре расслоения монополя Дирака. Фибрация Хопфа также нашла применение в робототехнике, где она использовалась для генерации равномерных выборок на SO(3) для алгоритма вероятностной дорожной карты в планировании движения. Она также нашла применение в автоматическом управлении квадрокоптерами.
Moreover, the Hopf fibration is equivalent to the fiber bundle structure of the Dirac monopole. Hopf fibration also found applications in robotics, where it was used to generate uniform samples on SO(3) for the probabilistic roadmap algorithm in motion planning. It also found application in the automatic control of quadrotors.