Категориялық теориядағы иірімді шаршыны толықтырудың жалпылама түрі

Кіріспе

Бір домендегі екі морфизм берілген коммутативтік квадраттың ең жалпы толықтырылуы. Категориялар теориясында, математиканың бір саласы, pushout (сонымен қатар талшықты копродукт, талшықты сома, кокартезиялық квадрат немесе біріктірілген сома деп аталады) – ортақ домені бар екі морфизм f: Z → X және g: Z → Y құрайтын диаграмманың колимиті болып табылады. Pushout P объектісінен және X → P және Y → P морфизмдерінен тұрады, олар берілген f және g морфизмдерімен бірге коммутативтік квадратты толықтырады. Шындығында, pushout-тың анықтамалық универсалды қасиеті (төменде келтірілген) осы коммутативтік квадратты толықтырудың "ең жалпы" тәсілі екенін көрсетеді. Pushout үшін жиі қолданылатын белгілер: және . Pushout – кері тартылудың категориялық дуалы болып табылады.

Көшіру үлгілері

Міне, таныс санаттардағы түрткілердің кейбір мысалдары. Еске сала кетейік, әр жағдайда біз тек түрткілердің изоморфизм класындағы объектінің құрылысын ұсынамыз; жоғарыда айтылғандай, оны құрудың басқа жолдары болуы мүмкін, бірақ олардың барлығы эквивалентті. Жоғарыда көрсетілген X, Y және Z жиындары, және f: Z → X және g: Z → Y жиындар функциялары деп есептейік. f және g-нің түрткісі – X және Y-дің ажыратылған одағы, онда ортақ преобразді бөлісетін элементтер (Z-де) X және Y-ден i1, i2 морфизмдерімен бірге анықталады, яғни ~ – ең жақсы эквиваленттілік қатынасы (сондай-ақ, қараңыз), f(z) ~ g(z) барлық z үшін Z. Атап айтқанда, егер X және Y кейбір үлкен жиынның кіші жиындары болса W және Z олардың қиылысы болса, f және g Z-нің X және Y-ге енгізу карталары болса, онда түрткілеуді каноникалық түрде біріктірумен сәйкестендіруге болады. Бұның нақты жағдайы функцияның кографы болып табылады. Егер f функциясы болса, онда функцияның кографы – f-тің X-тің сәйкестік функциясы бойымен түрткісі. Элементарлық тұрғыдан алғанда, кограф – бұл A функциясымен сәйкестендіру арқылы пайда болған эквиваленттілік қатынасы, өйткені оның әрбір эквиваленттілік класы Y-дің дәл бір элементін қамтиды. Кографтар функциялар графиктеріне дуалды, өйткені графикті Y сәйкестігі бойынша f кері тартылуы ретінде анықтауға болады. Қосылма кеңістіктердің құрылысы – топологиялық кеңістіктер санатындағы түрткілердің мысалы. Нақтырақ айтқанда, егер Z Y-нің қосалқы кеңістігі болса және g: Z → Y енгізу картасы болса, біз "қосқышты" f: Z → X арқылы Z бойымен басқа X кеңістігіне "қосамыз". Нәтижесінде f және g-нің түрткісі болатын қосылу кеңістігі пайда болады. Жалпы алғанда, барлық сәйкестендіру кеңістіктерін осылайша түрткі ретінде қарастыруға болады. Жоғарыда айтылғанның ерекше жағдайы – клиндік жиын немесе бір нүктелік одақ; мұнда біз X және Y нүктелі кеңістіктер ретінде, ал Z бір нүктелі кеңістікті аламыз. Бұл X-тің негізін Y-нің негізін жапсыру арқылы алынған кеңістік. Абельдік топтар санатында түрткілерді "жапсырмамен тікелей жиынтық" деп ойлауға болады, ал қосымша кеңістіктерді "жапсырмамен ажыратылған одақ" деп ойлаймыз. Нөлдік топ – әрбір топтың кіші тобы, сондықтан кез келген Абельдік топтар A және B үшін бізде гомоморфизмдер бар және осы карталардың түрткісі A мен B-ның тікелей қосындысы болып табылады. f және g ортақ доменнен кездейсоқ гомоморфизмдер болған жағдайда жалпылау Z, түрткі үшін тікелей қосындының үлестік тобын алады; атап айтқанда, біз жұптардан тұратын кіші топпен (f(z), −g(z)) бөлеміз. Осылайша біз f және g-тің астындағы Z кескіндерін "жапсырамыз". Осыған ұқсас тәсіл кез келген R сақинасы үшін R модульдер санатындағы түрткілеуді береді. Топтар санатында түрткілеуді біріктірумен еркін өнім деп атайды. Ол алгебралық топологияның Сейферт–ван Кампен теоремасында (төмендегі бетті қараңыз) көрінеді. CRing-те, коммутативті сақиналар санатында (сақиналар санатының толық кіші санаты), түрткілеу морфизмдермен және қанағаттандыратын сақиналардың тензорлы көбейтіндісімен беріледі. Шын мәнінде, түрткілеу аралықтың колимині, ал кері тарту аралықтың шегі болғандықтан, біз сақиналардың тензорлы көбейтіндісі мен сақиналардың талшықты көбейтіндісін (мысалдар бөлімін қараңыз) бір-біріне қос ұғым ретінде қарастыра аламыз. Атап айтқанда, A, B және C нысандар (біртекті коммутативті сақиналар) болсын CRing және f: C → A және g: C → B CRing морфизмдері (сақина гомоморфизмдері) болсын. Онда тензорлы көбейтінді: Коммутативті емес сақиналар жағдайында ассоциативтік алгебралардың еркін көбейтіндісін қараңыз. Бір объектісі бар категория ретінде қарастырылатын оң бүтін сандардың көбейту моноидінде m және n екі оң бүтін сандарының түрткісі тек жұп болып табылады, мұнда санаушылар m және n-нің ең кіші ортақ еселі болып табылады. Сондай-ақ, осы жұп кері тарту болып табылады.

Here are some examples of pushouts in familiar categories. Note that in each case, we are only providing a construction of an object in the isomorphism class of pushouts; as mentioned above, though there may be other ways to construct it, they are all equivalent. Suppose that X, Y, and Z as above are sets, and that f : Z → X and g : Z → Y are set functions. The pushout of f and g is the disjoint union of X and Y, where elements sharing a common preimage (in Z) are identified, together with the morphisms i1, i2 from X and Y, i. e. where ~ is the finest equivalence relation (cf. also this) such that f(z) ~ g(z) for all z in Z. In particular, if X and Y are subsets of some larger set W and Z is their intersection, with f and g the inclusion maps of Z into X and Y, then the pushout can be canonically identified with the union A specific case of this is the cograph of a function. If is a function, then the cograph of a function is the pushout of f along the identity function of X. In elementary terms, the cograph is the quotient of by the equivalence relation generated by identifying with A function may be recovered by its cograph because each equivalence class in contains precisely one element of Y. Cographs are dual to graphs of functions since the graph may be defined as the pullback of f along the identity of Y. The construction of adjunction spaces is an example of pushouts in the category of topological spaces. More precisely, if Z is a subspace of Y and g : Z → Y is the inclusion map we can "glue" Y to another space X along Z using an "attaching map" f : Z → X. The result is the adjunction space , which is just the pushout of f and g. More generally, all identification spaces may be regarded as pushouts in this way. A special case of the above is the wedge sum or one point union; here we take X and Y to be pointed spaces and Z the one point space. Then the pushout is , the space obtained by gluing the basepoint of X to the basepoint of Y. In the category of abelian groups, pushouts can be thought of as "direct sum with gluing" in the same way we think of adjunction spaces as "disjoint union with gluing". The zero group is a subgroup of every group, so for any abelian groups A and B, we have homomorphisms and The pushout of these maps is the direct sum of A and B. Generalizing to the case where f and g are arbitrary homomorphisms from a common domain Z, one obtains for the pushout a quotient group of the direct sum; namely, we mod out by the subgroup consisting of pairs (f(z), −g(z)). Thus we have "glued" along the images of Z under f and g. A similar approach yields the pushout in the category of R modules for any ring R.
In the category of groups, the pushout is called the free product with amalgamation. It shows up in the Seifert–van Kampen theorem of algebraic topology (see below). In CRing, the category of commutative rings (a full subcategory of the category of rings), the pushout is given by the tensor product of rings with the morphisms and that satisfy In fact, since the pushout is the colimit of a span and the pullback is the limit of a cospan, we can think of the tensor product of rings and the fibered product of rings (see the examples section) as dual notions to each other. In particular, let A, B, and C be objects (commutative rings with identity) in CRing and let f : C → A and g : C → B be morphisms (ring homomorphisms) in CRing. Then the tensor product is:

See Free product of associative algebras for the case of non commutative rings. In the multiplicative monoid of positive integers , considered as a category with one object, the pushout of two positive integers m and n is just the pair , where the numerators are both the least common multiple of m and n. Note that the same pair is also the pullback.