Математикалық құрылымдардың жалпы теориясы

Кіріспе

Категория теориясы – математикалық құрылымдар мен олардың қатынастарының жалпы теориясы, оны 20-шы ғасырдың ортасында Сэмюэл Эйленберг пен Сондерс Мак Лейн алгебралық топология саласындағы негізгі жұмыстарында енгізді. Категория теориясы математиканың дерлік барлық салаларында қолданылады. Атап айтқанда, бірнеше контексте ұқсас келетін бұрынғы математикалық объектілердің көптеген құрылыстары категориялар арқылы ыңғайлы түрде беріліп, біріктіріледі. Мысалдарға үлестік кеңістіктер, тікелей көбейтінділер, толықтыру және дуалдық жатады. Компьютерлік ғылымның көптеген салалары да категория теориясына сүйенеді, мысалы, функционалдық бағдарламалау және семантика. Категория екі түрлі нысандардан тұрады: категорияның объектілері және морфизмдер, олар морфизмнің бастапқы және соңғы нүктесі деп аталатын екі объектіні байланыстырады. Көбінесе морфизм – бастапқы нүктесін соңғы нүктеге бейнелейтін жебе деп айтылады. Егер бірінші морфизмнің соңғы нүктесі екінші морфизмнің бастапқы нүктесімен сәйкес келсе, морфизмдерді құрастыруға болады, ал морфизмдерді құрастырудың қасиеттері функцияларды құрастыруға ұқсас (ассоциативтілік және әрбір объект үшін сәйкес морфизмнің болуы). Морфизмдер көбінесе функциялардың бір түрі, бірақ бұл әрқашан солай бола бермейді. Мысалы, моноидты бір объектісі бар категория ретінде қарастыруға болады, онда морфизмдер моноидтың элементтері болып табылады. Категория теориясының екінші негізгі түсінігі – функтор, ол C1 және C2 екі категориясы арасындағы морфизм рөлін атқарады: ол C1 объектілерін C2 объектілеріне және C1 морфизмдерін C2 морфизмдеріне бейнелейді, яғни бастапқы нүктелер бастапқы нүктелерге, ал соңғы нүктелер соңғы нүктелерге бейнеленеді (немесе ковариант емес функтор болған жағдайда бастапқы нүктелер соңғы нүктелерге және керісінше бейнеленеді). Үшінші негізгі ұғым – табиғи трансформация, оны функторлардың морфизмі ретінде қарастыруға болады.

Жалпыға бірдей конструкциялар, шектер және колимиттер

Категориялар теориясының тілін қолданып, математикалық зерттеулердің көптеген салаларын жіктеуге болады. Категорияларға жиынтар, топтар және топологиялар жатады. Әрбір категорияны оның барлық объектілерінің ортақ қасиеттерімен ерекшелендіріледі, мысалы, бос жиын немесе екі топологияның көбейтіндісі. Алайда, категорияның анықтамасы бойынша объектілер атомдық деп есептеледі, яғни A объектісі жиын, топология, немесе кез келген басқа абстрактілі ұғым екенін білмейміз. Сондықтан, қиындық – арнайы объектілерді олардың ішкі құрылымына сілтеме жасамай анықтау болып табылады. Элементтерге сілтеме жасамай бос жиынды, ал ашық жиындарға сілтеме жасамай көбейтінді топологиясын анықтау үшін, осы объектілерді басқа объектілермен байланыстары арқылы сипаттауға болады, бұл байланыстар тиісті категориялардың морфизмдерімен беріледі. Осылайша, мақсат – қызығушылық тудыратын объектілерді бірегей анықтайтын әмбебап қасиеттерді табу. Категорияның лимітін дамытып, оның дуалы түрін жасау арқылы колимит ұғымын алуға болатын көптеген маңызды құралымдарды таза категориялық тұрғыдан сипаттауға болады.

Теңдес санаттар

Табиғи сұрақ туындайды: екі категорияны қай жағдайда бірдей деп санауға болады, яғни бір категория туралы теоремаларды екінші категория туралы теоремаларға оңай түрлендіруге болатындай? Мұндай жағдайды сипаттау үшін қолданылатын маңызды құрал – категориялардың эквиваленттілігі деп аталады, ол екі категория арасындағы сәйкес функторлармен беріледі. Категориялық эквиваленттілік математикада көптеген қолданыстар тапқан.

Қосымша тұжырымдамалар мен нәтижелер

Категориялар мен функторлардың анықтамалары категориялық алгебраның ең қарапайым негіздерін ғана ұсынады; қосымша маңызды тақырыптар төменде тізілген. Осы тақырыптардың барлығы өте тығыз байланысты болғанымен, берілген реттілікті одан әрі оқуға арналған нұсқау ретінде қарастыруға болады. DC функтор санатының объектілері C-ден D-ге дейінгі функторлар, ал морфизмдері – мұндай функторлардың табиғи түрлендірулері болып табылады. Йонеда леммасы – категориялар теориясының ең белгілі негізгі нәтижелерінің бірі; ол функторлар санатындағы өкілдік ететін функторларды сипаттайды. Дуальділік: Категория теориясындағы әрбір мәлімдеме, теорема немесе анықтаманың дуалы бар, ол негізінен «барлық жебелерді кері қайтару» арқылы алынады. Егер бір мәлімдеме C санатында дұрыс болса, онда оның дуалы Cop дуал санатында дұрыс болады. Категориялар теориясы деңгейінде айқын болатын бұл дуальділік көбінесе қолданыстарда жасырынып, күтпеген қатынастарға әкелуі мүмкін. Қосымша функторлар: Бір функтор екінші функторға қарама-қарсы бағытта бейнелейтіндей сол жақтан (немесе оң жақтан) қосымша бола алады. Мұндай қосымша функторлар жұбы әдетте жалпы қасиетпен анықталған құрылымнан туындайды; мұны жалпы қасиеттерге қарайтын көбірек абстрактілі және қуатты көзқарас деп қарастыруға болады.

Жоғары өлшемді санаттар

Жоғарыда аталған көптеген ұғымдар, әсіресе категориялардың теңдестігі, қосылған функторлық жұптар және функторлық категориялар, жоғары өлшемді категориялар контексінде қарастырылуы мүмкін. Қысқаша айтқанда, егер екі объекті арасындағы морфизмді "бір объектіден екіншісіне жеткізетін процесс" деп қарастырсақ, жоғары өлшемді категориялар осыны "жоғары өлшемді процестерді" қарастыру арқылы тиімді түрде жалпылауға мүмкіндік береді. Мысалы, (қатаң) 2-категория – бұл "морфизмдердің арасындағы морфизмдері" бар категория, яғни бір морфизмді екіншісіне түрлендіруге мүмкіндік беретін процестер. Мұндай "биморфизмдерді" көлденең және тік бағытта "құрастыруға" болады, сондай-ақ екі композиция заңын байланыстыратын 2-өлшемді "алмасу заңының" орындалуы қажет. Бұл жағдайдағы стандартты мысал – барлық (кішкентай) категориялардың 2-категориясы Cat, және осы мысалда морфизмдердің биморфизмдері – морфизмдердің әдеттегі мағынадағы табиғи трансформациялары. Тағы бір негізгі мысал – жалғыз объектісі бар 2-категорияны қарастыру; бұл, негізінен, моноидтік категориялар. Бикатегориялар – морфизмдердің композициясы қатаң түрде ассоциативті емес, тек "изоморфизмге дейін" ғана ассоциативті болатын 2-өлшемді категориялардың әлсіз түсінігі. Бұл процесс барлық натурал сандар n үшін кеңейтілуі мүмкін, олар n-категориялар деп аталады. Тіпті ω санына сәйкес келетін ω-категория деген ұғым да бар. Жоғары өлшемді категориялар – жоғары өлшемді алгебраның кең математикалық саласының бір бөлігі, бұл ұғымды Рональд Браун енгізді. Осы идеяларға енгізу үшін Джон Баездің "n-категориялар туралы әңгімесі" (1996) еңбегіне жүгініңіз.

Тарихи жазбалар

Функторлар мен табиғи трансформациялардың нақты мысалдарын Сэмюэл Эйленберг пен Сондерс Мак Лейн 1942 жылы топтар теориясы бойынша жариялаған мақаласында келтірген. Алайда, бұл ұғымдар 1945 жылы сол авторлардың мақаласында категориялар туралы қосымша түсінікпен бірге толыққанды енгізілді. Олардың еңбегі интуитивті және геометриялық гомологиядан гомологиялық алгебраға көшуде маңызды рөл атқарды. Эйленберг пен Мак Лейн кейіннен олардың мақсаты табиғи трансформацияларды түсіну болғанын, ал бұл үшін ең алдымен функторларды, содан кейін категорияларды анықтау қажет болғанын жазды. Станислав Улам мен оның атынан жазылған еңбектер 1930 жылдардың соңында Польшада осыған ұқсас идеялар талқыланғанын көрсетеді. Эйленберг поляк және 1930 жылдары Польшада математика оқыған. Категория теориясы, белгілі бір мағынада, Эмма Ноэтердің (Мак Лейннің ұстаздарының бірі) абстрактті процестерді формализациялау жұмысының жалғасы болып табылады. Ноэтер математикалық құрылымның түрін түсіну үшін, осы құрылымды сақтайтын процестерді (гомоморфизмдерді) түсіну қажет екенін көрсетті. Эйленберг пен Мак Лейн топологиялық құрылымдарды сипаттайтын алгебралық құрылымдармен (топологиялық инварианттармен) байланыстыратын процестерді (функторларды) түсіну және формализациялау үшін категорияларды енгізді. Категория теориясы бастапқыда гомологиялық алгебраның қажеттілігі үшін пайда болды және кейіннен қазіргі алгебралық геометрияның (схемалар теориясының) қажеттілігі үшін кеңінен дамыды. Категория теориясын әмбебап алгебраның кеңейтілген түрі деп қарастыруға болады, себебі соңғысы алгебралық құрылымдарды зерттейді, ал біріншісі кез келген математикалық құрылымға қолданылады және әртүрлі табиғаттағы құрылымдар арасындағы қатынастарды зерттейді. Осы себепті ол математиканың барлық саласында қолданылады. Математикалық логика мен семантикаға (категориялық абстрактілі машина) қатысты қолданылулар кейінірек пайда болды. Топостар (бірлік топостар) деп аталатын кейбір категориялар тіпті аксиоматикалық жиын теориясының математика негізі ретінде баламасы ретінде қолданылуы мүмкін. Топос екі қосымша топостық аксиомасы бар категорияның ерекше түрі ретінде де қарастырылады. Категория теориясының осы негіздік қолданылулары конструктивті математиканың негізі мен дұрыстығын дәлелдеу үшін толыққанды әзірленді. Топос теориясы геометриялық бастаулары бар абстрактілі бушақтар теориясының бір түрі болып табылады және мәнсіз топология сияқты идеяларға әкеледі. Категориялық логика қазір интуиционистік логика үшін типтік теорияға негізделген, функционалдық бағдарламалау және домендер теориясында қолданылады, онда картезиялық жабық категория ламбда-есептеудің синтаксистік емес сипаттамасы ретінде қарастырылады. Ең болжанасы, категориялық теориялық тіл осымен байланысты салалардың қандай ортақ белгілері бар екенін (абстрактілі мағынада) нақтылайды. Категория теориясы басқа салаларда да қолданылған, оны Қолданбалы категория теориясы тақырыбында қараңыз. Мысалы, Джон Баез физикадағы Фейнман диаграммалары мен моноиділдік категориялар арасындағы байланысты көрсетті. Категория теориясының тағы бір қолданылуы, әсіресе топос теориясы, математикалық музыка теориясында қолданылды, мысалы, Г. Маццоланың "Музыка топосы, концепциялардың геометриялық логикасы, теориясы және орындалуы" кітабында көрсетілген. Математиканың негізі ретінде студенттерді категориялармен таныстыруға жасалған соңғы әрекеттерге Уильям Ловер мен Розбрю (2003), Ловер мен Стивен Шануэл (1997) және Мирослав Йотов (2012) кіретін еңбектері жатады.

Whilst specific examples of functors and natural transformations had been given by Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane in a 1942 paper on group theory, these concepts were introduced in a more general sense, together with the additional notion of categories, in a 1945 paper by the same authors Their work was an important part of the transition from intuitive and geometric homology to homological algebra, Eilenberg and Mac Lane later writing that their goal was to understand natural transformations, which first required the definition of functors, then categories. Stanislaw Ulam, and some writing on his behalf, have claimed that related ideas were current in the late 1930s in Poland. Eilenberg was Polish, and studied mathematics in Poland in the 1930s. Category theory is also, in some sense, a continuation of the work of Emmy Noether (one of Mac Lane's teachers) in formalizing abstract processes; Noether realized that understanding a type of mathematical structure requires understanding the processes that preserve that structure (homomorphisms). Eilenberg and Mac Lane introduced categories for understanding and formalizing the processes (functors) that relate topological structures to algebraic structures (topological invariants) that characterize them. Category theory was originally introduced for the need of homological algebra, and widely extended for the need of modern algebraic geometry (scheme theory). Category theory may be viewed as an extension of universal algebra, as the latter studies algebraic structures, and the former applies to any kind of mathematical structure and studies also the relationships between structures of different nature. For this reason, it is used throughout mathematics. Applications to mathematical logic and semantics (categorical abstract machine) came later. Certain categories called topoi (singular topos) can even serve as an alternative to axiomatic set theory as a foundation of mathematics. A topos can also be considered as a specific type of category with two additional topos axioms. These foundational applications of category theory have been worked out in fair detail as a basis for, and justification of, constructive mathematics. Topos theory is a form of abstract sheaf theory, with geometric origins, and leads to ideas such as pointless topology. Categorical logic is now a well defined field based on type theory for intuitionistic logics, with applications in functional programming and domain theory, where a cartesian closed category is taken as a non syntactic description of a lambda calculus. At the very least, category theoretic language clarifies what exactly these related areas have in common (in some abstract sense). Category theory has been applied in other fields as well, see applied category theory. For example, John Baez has shown a link between Feynman diagrams in physics and monoidal categories. Another application of category theory, more specifically topos theory, has been made in mathematical music theory, see for example the book The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance by Guerino Mazzola. More recent efforts to introduce undergraduates to categories as a foundation for mathematics include those of William Lawvere and Rosebrugh (2003) and Lawvere and Stephen Schanuel (1997) and Mirroslav Yotov (2012).