Кіріспе
Өзін-өзі морфизм
Математикада эндоморфизм – математикалық объектінің өзіне қабаттама. Эндоморфизм, сонымен қатар изоморфизм болса, автоморфизм деп аталады. Мысалы, V векторлық кеңістігінің эндоморфизмі – f: V → V сызықтық бейнелеуі, ал G тобының эндоморфизмі – f: G → G топ гомоморфизмі. Жалпы алғанда, кез келген санатта эндоморфизмдер туралы айтуға болады. Жинақтар санатында эндоморфизмдер – S жиынынан өзіне функциялар. Кез келген санатта X-тің кез келген екі эндоморфизмінің құрамы X-тің тағы бір эндоморфизмі болады. Осыдан X-тің барлық эндоморфизмдері жиыны моноидты, толық трансформация моноидын құрайды және End(X) деп белгіленеді (немесе C санатын ерекше атап көрсету үшін).
Эндоморфизм сақиналары
Кез келген абельдік топтың A эндоморфизмінің екісін бір ереже бойынша қосуға болады. Осы қосу арқылы, ал көбейту функциялық композиция ретінде анықталса, абельдік топтың эндоморфизмдері сақинаны (эндоморфизм сақинасы) құрайды. Мысалы, эндоморфизмдер жиыны бүтін сандармен жазылған барлық n × n матрицалардың сақинасы болып табылады. Векторлық кеңістіктің немесе модульдің эндоморфизмдері де, сондай-ақ, кез келген объектінің эндоморфизмдері, алдын ала қосу категориясында сақина құрайды. Нонабельдік топтың эндоморфизмдері жақын сақина деп аталатын алгебралық құрылымды жасайды. Кез келген бірлік сақинасы өзінің реттелген модулінің эндоморфизм сақинасы болып табылады, сонымен қатар абельдік топтың эндоморфизм сақинасының ішкі сақинасы болып табылады; алайда, кез келген абельдік топтың эндоморфизм сақинасы емес сақиналар да бар.
Оператор теориясы
Кез келген нақты санатта, әсіресе векторлық кеңістіктерде, эндоморфизмдер – жиынның өзіне бейнелейтін функциялар болып табылады, оларды сол жиынның элементтеріне әсер ететін, бірлік операторлар ретінде қарастыруға болады, бұл элемент орбиталарының ұғымын анықтауға және т.б. мүмкіндік береді. Нақты санатта анықталған қосымша құрылымға байланысты (топология, метрика, ), мұндай операторлар үздіксіздік, шектеулілік сияқты қасиеттерге ие болуы мүмкін. Операторлар теориясы туралы мақалада толыққанды мәліметтерді табуға болады.
Эндофункциялар
Эндофункция – домені кодоменімен бірдей функция. Гомоморфты эндофункция – эндоморфизм. S кез келген жиын болсын. S жиынындағы эндофункциялардың арасында S-тің өзгешеліктері (пермутациялары) және S-дегі әр x элементін S-дегі бірдей c элементімен байланыстыратын тұрақты функциялар кездеседі. S-тің кез келген өзгешелігінің домені оның кодоменімен бірдей, және ол биективті және кері өршілді (инвертируемый). Егер S жиыны бір элементтен көп элементтерді қамтитын болса, онда S-тегі тұрақты функцияның бейнесі оның кодоменінің нақты кіші жиыны болады, демек, ол биективті емес (соған сәйкес, кері өршілді емес). Кез келген n/2-нің ең үлкен бүтін бөлігін (floor) қайтаратын функцияның бейнесі оның кодоменімен бірдей, бірақ ол кері өршілді емес. Шектеулі эндофункциялар бағытталған псевдоормандармен эквивалентті. n өлшемді жиындар үшін жиында эндофункциялар бар. Биективті эндофункциялардың нақты мысалдары – инволюциялар; яғни, өздерінің кері функцияларымен сәйкес келетін функциялар.