Кіріспе

Математикалық конструкциялардың сипаттамалық қасиеті

Математикада, әсіресе категориялар теориясында, әмбебап қасиет – кейбір конструкциялардың нәтижесін изоморфизмге дейін сипаттайтын қасиет. Осылайша, әмбебап қасиеттер кейбір объектілерді оларды құру әдісіне тәуелді емес түрде анықтауға мүмкіндік береді. Мысалы, бүтін сандарды табиғи сандардан, рационал сандарды бүтін сандардан, нақты сандарды рационал сандардан және полиномдық сақиналарды олардың коэффициенттерінің өрісінен анықтау әмбебап қасиеттер арқылы жүзеге асырылуы мүмкін. Атап айтқанда, әмбебап қасиет түсінігі нақты сандардың барлық құралымдары эквивалентті екенін қарапайым түрде дәлелдеуге мүмкіндік береді: олардың бірдей әмбебап қасиетті қанағаттандыратындығын көрсету жеткілікті. Техникалық тұрғыдан алғанда, әмбебап қасиет категориялар мен функторлар арқылы әмбебап морфизмдер тұрғысынан анықталады (төменде қараңыз). әмбебап морфизмдерді де, үтірлі категорияның бастапқы немесе соңғы объектілері ретінде абстрактілірек қарастыруға болады (төмендегіге қараңыз). әмбебап қасиеттер математиканың көптеген салаларында кездеседі, және осы түсінікті қолдану арқылы, жалпы қасиеттерді пайдаланып, әйтпесе көбінесе едәуір тексерулерді қажет ететін кейбір қасиеттерді оңай дәлелдеуге болады. Мысалы, R коммутативті сақина болғанда, R-дің p негізгі идеалы бойынша алынған бөлік сақинасының бөлшектер өрісі, R-дің p бойынша локализациясының қалдық өрісімен сәйкес келеді; яғни (осы құралымдардың барлығы әмбебап қасиеттермен анықталады). әмбебап қасиеттермен анықталатын басқа да объектілерге мыналар жатады: барлық еркін объектілер, тікелей көбейтінділер мен тікелей қосындылар, еркін топтар, еркін торлар, Гротендик тобы, метрикалық кеңістіктің толықтырылуы, сақинаның толықтырылуы, Дедекинд-Макнейл толықтырылуы, көбейтінді топологиялары, Стоун-Чех тығыздауы, тензор көбейтінділері, кері лимит және тікелей лимит, ядролар мен коядролар, бөлік топтар, бөлік векторлық кеңістіктер және басқа бөлік кеңістіктер.

Мотивация

Жалпы қасиеттердің формалды анықтамасын беруден бұрын, мұндай құрылымдарды зерттеуге себептерді қарастырайық. Нақты құрылымның егжей-тегжейі күрделі болуы мүмкін, бірақ егер құрылым жалпы қасиетті қанағаттандырса, осы егжей-тегжейлерді естен шығаруға болады: құрылым туралы білу керек барлық нәрсе жалпы қасиетте қамтылған. Дәлелдер көбінесе нақты егжей-тегжейлерден гөрі жалпы қасиетті қолданғанда қысқа әрі әдемі болады. Мысалы, векторлық кеңістіктің тензорлық алгебрасын құру сәл қиын, бірақ оның жалпы қасиеті арқылы жұмыс істеу әлдеқайда оңай. Жалпы қасиеттер объектілерді бірегей изоморфизмге дейін анықтайды. Сондықтан екі объектінің изоморфты екенін дәлелдеудің бір жолы – олардың бірдей жалпы қасиетті қанағаттандыратындығын көрсету. Жалпы құрылымдар өз табиғаты бойынша функторлық: егер C санатындағы әрбір объект үшін құрылымды жүзеге асыру мүмкін болса, онда C-де функтор пайда болады. Сонымен қатар, бұл функтор жалпы қасиеттің анықтамасында қолданылған U функторына оң немесе сол жақ қосымша функтор болып табылады. Жалпы қасиеттер математиканың барлық салаларында кездеседі. Олардың абстрактілі қасиеттерін түсіну арқылы осы құрылымдар туралы ақпарат алуға болады және әрбір жеке жағдайда бірдей талдауды қайталаудан аулақ болуға болады.

Мысалдар

Жалпы идеяны көрсету үшін төменде бірнеше мысал келтірілген. Оқырман кіріспеде аталған мақалаларды қарастырып, одан да көп мысалдар ойлап табуға болады.

Шектері мен шектері

Категориялық өнімдер – категориялар теориясындағы шектің нақты бір түрі. Жоғарыда келтірілген мысалды кез келген шектер мен кошектерге жалпылауға болады. Екі санат болсын, олардың бірі – кішкентай индекстік санат, ал екіншісі – сәйкес функторлық санат. Диагональдық функтор – бұл әрбір объектіні тұрақты функторға (яғни, әрбір үшін және әрбір үшін) және әрбір морфизмді табиғи түрлендіруге бейімдейтін функтор. Басқаша айтқанда, табиғи түрлендіру – бұл әрбір объекті үшін тұрақты компоненттер арқылы анықталады. Егер функтор (объект ретінде қарастырылса) болса, онда оның шегі, егер ол бар болса, – бұл D-ға әмбебап морфизм. Сол сияқты, функтордың кошегі – бұл -тан D-ға әмбебап морфизм.

Тарих

Пьер Самуэль 1948 жылы әртүрлі топологиялық құралымдардың әмбебап қасиеттерін көрсетті. Кейіннен Бурбаки оларды кеңінен пайдаланды. Тығыз байланысты адъюнктивтік функторлар тұжырымдамасын Дэниел Кан 1958 жылы тәуелсіз түрде енгізді.