Теория санаттарындағы жиындар санаты

Кіріспе

Математикадағы категориялар теориясының математикалық саласында жиынтар категориясы, Set деп белгіленеді, объектілері жиынтар болатын категория. A және B жиындары арасындағы жебелер немесе морфизмдер – A-дан B-ге дейінгі барлық функциялар, ал морфизмдердің композициясы – функциялардың композициясы. Көптеген басқа категориялар (мысалы, топтар категориясы, онда топтық гомоморфизмдер жебелер болып табылады) жиынтар категориясының объектілеріне қосымша құрылым береді және/немесе жебелерді белгілі бір типтегі функциялармен шектейді.

Жинақтар санатының қасиеттері

Категорияның аксиомалары жиынмен қанағаттандырылады, себебі функциялардың композициясы ассоциативті, және әрбір жиын X үшін функциялар композициясының сәйкестік элементе ретінде қызмет ететін idX: X → X сәйкестік функциясы бар. Жиынғы эпиморфизмдер – сюръективті бейнелеулер, мономорфизмдер – инъективті бейнелеулер, ал изоморфизмдер – биективті бейнелеулер. Бос жиын жиынның бастапқы объектісі болып табылады, бос функциялар морфизмдер ретінде қолданылады. Кез келген бір элементті жиын терминалды объекті болып табылады, функциялар бастапқы жиынның барлық элементтерін морфизмдер ретінде жалғыз мақсатты элементке бейнелейді. Сондықтан, жиында нөлдік объектілер жоқ. Жиын категориясы толық және ко-толық. Бұл категориядағы көбейтінді жиынның декарт көбейтіндісімен беріледі. Кокөбейтінді – жиынның одағы: егер Ai жиындары белгілі бір индекстік жиын I-дегі i индексі бойынша берілсе, онда ко-көбейтінді Ai×{i} (декарт көбейтіндісі i арқылы барлық компоненттердің бөлек болуын қамтамасыз етеді) жиындарының одағы ретінде құрастырылады. Жиын – нақты категорияның прототипі; басқа категориялар нақты болып саналады, егер олар белгілі бір анықталған тәсілмен жиынға «негізделген» болса. Кез келген екі элементті жиын жиында субобъект классификаторы болып табылады. A жиынының қуат жиыны оның қуат жиынымен беріледі, ал A және B жиындарының экспоненциалдық объектісі A-дан B-ға барлық функциялар жиынымен беріледі. Осылайша, жиын – топос (әсіресе, Барр мағынасында декарты жабық және дәл). Жиын абельдік, аддитивті немесе преаддитивті емес. Кез келген бос емес жиын жиында инъективті объекті болып табылады. Кез келген жиын жиында проективті объекті болып табылады (таңдау аксиомасы қабылданған жағдайда). Жиындағы шекті түрде берілген объектілер – шекті жиындар. Кез келген жиын өзінің шекті ішкі жиындарының тікелей шегі болғандықтан, жиын категориясы жергілікті шекті түрде берілген категория болып табылады. Егер C кез келген категория болса, онда C-ден жиынға дейінгі контравариантты функторлар зерттеудің маңызды объектісі болып табылады. Егер A – C объектісі болса, онда C-ден жиынға дейінгі функтор, X-ті HomC(X,A) (C-дегі X-тен A-ға дейінгі морфизмдер жиыны) жіберетін функтор, мұндай функтордың мысалы болып табылады. Егер C кішкентай категория болса (яғни оның объектілерінің жиыны жиынды құрайды), онда C-ден жиынға дейінгі контравариантты функторлар, морфизмдер ретінде табиғи түрлендірулермен бірге, жаңа категорияны құрайды, бұл C-дегі прешейвтер категориясы деп аталатын функтор категориясы.

The axioms of a category are satisfied by Set because composition of functions is associative, and because every set X has an identity function idX : X → X which serves as identity element for function composition. The epimorphisms in Set are the surjective maps, the monomorphisms are the injective maps, and the isomorphisms are the bijective maps. The empty set serves as the initial object in Set with empty functions as morphisms. Every singleton is a terminal object, with the functions mapping all elements of the source sets to the single target element as morphisms. There are thus no zero objects in Set. The category Set is complete and co complete. The product in this category is given by the cartesian product of sets. The coproduct is given by the disjoint union: given sets Ai where i ranges over some index set I, we construct the coproduct as the union of Ai×{i} (the cartesian product with i serves to ensure that all the components stay disjoint). Set is the prototype of a concrete category; other categories are concrete if they are "built on" Set in some well defined way. Every two element set serves as a subobject classifier in Set. The power object of a set A is given by its power set, and the exponential object of the sets A and B is given by the set of all functions from A to B. Set is thus a topos (and in particular cartesian closed and exact in the sense of Barr). Set is not abelian, additive nor preadditive. Every non empty set is an injective object in Set. Every set is a projective object in Set (assuming the axiom of choice). The finitely presentable objects in Set are the finite sets. Since every set is a direct limit of its finite subsets, the category Set is a locally finitely presentable category. If C is an arbitrary category, the contravariant functors from C to Set are often an important object of study. If A is an object of C, then the functor from C to Set that sends X to HomC(X,A) (the set of morphisms in C from X to A) is an example of such a functor. If C is a small category (i. e. the collection of its objects forms a set), then the contravariant functors from C to Set, together with natural transformations as morphisms, form a new category, a functor category known as the category of presheaves on C.

Жинақтардың санатының негіздері

Зермело-Франкельдің жиынтық теориясында барлық жиынтықтардың жиынтығы жиынтық емес; бұл негіз аксиомасынан туындайды. Мұндай жинақтарға қатысты, олар жиынтық емес, тиісті сыныптар деп аталады. Тиісті сыныптарды жиынтықтарды өңдейтіндей өңдеуге болмайды; әсіресе, тиісті сыныптардың жиынтыққа (жиынтыққа немесе тиісті сыныпқа) тиесілі екенін жазуға болмайды. Бұл мәселе туғызады, себебі бұл жағдайда жиынтықтар санатын тікелей формальдау мүмкін емес. Нысандар жиынтығы тиісті сыныпты құрайтын санаттар үлкен санаттар деп аталады, оларды нысандары жиынтық құрайтын кіші санаттардан ажырату үшін. Мәселені шешудің бір жолы – НБГ жиынтық теориясы сияқты тиісті сыныптарға ресми мәртебе беретін жүйеде жұмыс істеу. Бұл жағдайда жиынтықтардан құрылған санаттар кіші деп аталады, ал тиісті сыныптардан құрылғандар (мысалы, Set) үлкен деп аталады. Басқа шешім – Гротендик ғаламдарының бар екенін қабылдау. Шамамен айтқанда, Гротендик ғаламы – өзі ZF(C) моделі болып табылатын жиынтық (мысалы, егер жиынтық ғаламға тиесілі болса, оның элементтері және оның қуат жиынтығы ғаламға тиесілі болады). Гротендик ғаламдарының болуы (бос жиынтық пен барлық тұқым қуалайтын шекті жиынтықтар жиынтығынан басқа) әдеттегі ZF аксиомаларынан туындамайды; бұл қосымша, тәуелсіз аксиома, шамамен күшті қолжетімсіз кардиналдардың болуына тең. Осы қосымша аксиоманы қабылдағанда, Set жиынтығының нысандарын белгілі бір ғаламның элементтерімен шектеуге болады. (Модельде «барлық жиынтықтар жиынтығы» жоқ, бірақ U класының барлық ішкі жиынтықтары, яғни U элементтері туралы ойлануға болады.) Бұл схеманың бір нұсқасында жиынтықтар класы – Гротендик ғаламдарының бүкіл мұнарасының бірігуі. (Бұл міндетті түрде тиісті сынып, бірақ әрбір Гротендик ғаламы жиынтық, өйткені ол кейбір үлкен Гротендик ғаламының элементі болып табылады.) Дегенмен, «барлық жиынтықтар санатымен» тікелей жұмыс істемейді. Оның орнына теоремалар жеткілікті үлкен Гротендик ғаламы U-дың элементтері нысандары болатын SetU санатының түрінде айтылады, содан кейін бұл теоремалар U-дың нақты таңдауына тәуелді емес екені көрсетіледі. Категория теориясының негізі ретінде бұл тәсіл Тарски-Гротендик жиынтық теориясы сияқты жүйеге жақсы сәйкес келеді, онда тиісті сыныптар туралы тікелей ой жүгіртуге болмайды; оның басты кемшілігі – теорема барлық SetU үшін дұрыс болуы мүмкін, бірақ Set үшін дұрыс болмауы мүмкін. Жоғарыда айтылғандардың басқа да түрлі шешімдері мен нұсқалары ұсынылды. Осы мәселелер басқа нақты санаттармен де туындайды, мысалы, топтар санаты немесе топологиялық кеңістіктер санаты.

In Zermelo–Fraenkel set theory the collection of all sets is not a set; this follows from the axiom of foundation. One refers to collections that are not sets as proper classes. One cannot handle proper classes as one handles sets; in particular, one cannot write that those proper classes belong to a collection (either a set or a proper class). This is a problem because it means that the category of sets cannot be formalized straightforwardly in this setting. Categories like Set whose collection of objects forms a proper class are known as large categories, to distinguish them from the small categories whose objects form a set. One way to resolve the problem is to work in a system that gives formal status to proper classes, such as NBG set theory. In this setting, categories formed from sets are said to be small and those (like Set) that are formed from proper classes are said to be large. Another solution is to assume the existence of Grothendieck universes. Roughly speaking, a Grothendieck universe is a set which is itself a model of ZF(C) (for instance if a set belongs to a universe, its elements and its powerset will belong to the universe). The existence of Grothendieck universes (other than the empty set and the set of all hereditarily finite sets) is not implied by the usual ZF axioms; it is an additional, independent axiom, roughly equivalent to the existence of strongly inaccessible cardinals. Assuming this extra axiom, one can limit the objects of Set to the elements of a particular universe. (There is no "set of all sets" within the model, but one can still reason about the class U of all inner sets, i. e., elements of U.) In one variation of this scheme, the class of sets is the union of the entire tower of Grothendieck universes. (This is necessarily a proper class, but each Grothendieck universe is a set because it is an element of some larger Grothendieck universe.) However, one does not work directly with the "category of all sets". Instead, theorems are expressed in terms of the category SetU whose objects are the elements of a sufficiently large Grothendieck universe U, and are then shown not to depend on the particular choice of U. As a foundation for category theory, this approach is well matched to a system like Tarski–Grothendieck set theory in which one cannot reason directly about proper classes; its principal disadvantage is that a theorem can be true of all SetU but not of Set. Various other solutions, and variations on the above, have been proposed. The same issues arise with other concrete categories, such as the category of groups or the category of topological spaces.