Введение

Наиболее общее завершение коммутативного квадрата для двух морфизмов с одинаковым областью определения. В теории категорий, ветви математики, пушаут (также называемый волокнистым сопродуктом, волокнистой суммой, кокартезианским квадратом или объединенной суммой) является колимитом диаграммы, состоящей из двух морфизмов f : Z → X и g : Z → Y с общим областью определения. Пушаут состоит из объекта P вместе с двумя морфизмами X → P и Y → P, которые дополняют коммутативный квадрат вместе с данными морфизмами f и g. Фактически, определяющее универсальное свойство пушаута (определенное ниже) по существу утверждает, что пушаут является "наиболее общим" способом дополнить этот коммутативный квадрат. Распространенные обозначения для пушаута – и . Пушаут является категориальным дуалом пуллбэка.

Примеры отжима

Вот несколько примеров отталкиваний в знакомых категориях. Обратите внимание, что в каждом случае мы предоставляем только конструкцию объекта в классе изоморфизма отталкиваний; как упоминалось выше, хотя могут быть и другие способы ее построения, все они эквивалентны. Предположим, что X, Y и Z, как и выше, являются множествами, и что f: Z → X и g: Z → Y – функции между множествами. Отталкивание f и g – это дизъюнктное объединение X и Y, где элементы, имеющие общий прообраз (в Z), отождествляются, вместе с морфизмами i1, i2 из X и Y, то есть, где ~ – наименьшее отношение эквивалентности (см. также это), такое что f(z) ~ g(z) для всех z из Z. В частности, если X и Y – подмножества некоторого большего множества W, а Z – их пересечение, с f и g – включениями Z в X и Y, то отталкивание можно канонически отождествить с объединением. Частным случаем этого является кограф функции. Если f – функция, то кограф функции – это отталкивание f вдоль тождественного отображения X. В элементарных терминах, кограф – это фактормножество по отношению эквивалентности, порожденному отождествлением с функцией A. Функция может быть восстановлена по ее кографу, поскольку каждый класс эквивалентности в содержит ровно один элемент из Y. Кографы двойственны графам функций, поскольку граф можно определить как обратное отображение f вдоль тождественного отображения Y. Конструкция пространств присоединения является примером отталкиваний в категории топологических пространств. Более точно, если Z – подпространство Y, а g: Z → Y – отображение включения, мы можем «склеить» Y с другим пространством X вдоль Z, используя «отображение присоединения» f: Z → X. Результатом является пространство присоединения, которое является просто отталкиванием f и g. В более общем смысле, все пространства, полученные склеиванием, можно рассматривать как отталкивания таким образом. Особым случаем вышеизложенного является клиновая сумма или одноточечное объединение; здесь мы берем X и Y как пространства с выделенной точкой, а Z – одноточечное пространство. Тогда отталкивание – это пространство, полученное склеиванием выделенной точки X с выделенной точкой Y. В категории абелевых групп отталкивания можно рассматривать как «прямую сумму со склеиванием» так же, как мы рассматриваем пространства присоединения как «дизъюнктное объединение со склеиванием». Нулевая группа является подгруппой каждой группы, поэтому для любых абелевых групп A и B у нас есть гомоморфизмы и отталкивание этих отображений – это прямая сумма A и B. Обобщая случай, когда f и g – произвольные гомоморфизмы из общей области Z, мы получаем для отталкивания факторгруппу прямой суммы; а именно, мы выходим по подгруппе, состоящей из пар (f(z), −g(z)). Таким образом, мы «склеили» по образам Z под f и g. Аналогичный подход дает отталкивание в категории R-модулей для любого кольца R. В категории групп отталкивание называется свободным произведением по общей подгруппе. Оно появляется в теореме Зейферта — ван Кампена алгебраической топологии (см. ниже). В CRing, категории коммутативных колец (полная подкатегория категории колец), отталкивание задается тензорным произведением колец с морфизмами, удовлетворяющими. Фактически, поскольку отталкивание является колимитом диаграммы, а обратное отображение – пределом кодиаграммы, мы можем рассматривать тензорное произведение колец и волокнистое произведение колец (см. раздел «Примеры») как двойственные понятия друг к другу. В частности, пусть A, B и C – объекты (коммутативные кольца с единицей) в CRing, и пусть f: C → A и g: C → B – морфизмы (гомоморфизмы колец) в CRing. Тогда тензорное произведение: см. Свободное произведение ассоциативных алгебр для случая некоммутативных колец. В мультипликативном моноиде положительных целых чисел, рассматриваемом как категория с одним объектом, отталкивание двух положительных целых чисел m и n – это просто пара, где числители – наименьшее общее кратное m и n. Обратите внимание, что та же пара также является обратным отображением.