Кіріспе
Жинақ теориясындағы дәлелдеу
In set theory, Cantor's diagonal argument, also called the diagonalisation argument, the diagonal slash argument, the anti diagonal argument, the diagonal method, and Cantor's diagonalization proof, was published in 1891 by Georg Cantor as a mathematical proof that there are infinite sets which cannot be put into one to one correspondence with the infinite set of natural numbers. Such sets are now known as uncountable sets, and the size of infinite sets is now treated by the theory of cardinal numbers which Cantor began. The diagonal argument was not Cantor's first proof of the uncountability of the real numbers, which appeared in 1874. However, it demonstrates a general technique that has since been used in a wide range of proofs, including the first of Gödel's incompleteness theorems and Richard's paradox. He begins with a constructive proof of the following lemma:
If s1, s2, , sn, is any enumeration of elements from T, then an element s of T can be constructed that doesn't correspond to any sn in the enumeration. The proof starts with an enumeration of elements from T, for example
{|
|
| s1 = || (0, || 0, || 0, || 0, || 0, || 0, || 0, || )
|
| s2 = || (1, || 1, || 1, || 1, || 1, || 1, || 1, || )
|
| s3 = || (0, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 0, || )
|
| s4 = || (1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || )
|
| s5 = || (1, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 1, || )
|
| s6 = || (0, || 0, || 1, || 1, || 0, || 1, || 1, || )
|
| s7 = || (1, || 0, || 0, || 0, || 1, || 0, || 0, || )
|
|
|}
Next, a sequence s is constructed by choosing the 1st digit as complementary to the 1st digit of s1 (swapping 0s for 1s and vice versa), the 2nd digit as complementary to the 2nd digit of s2, the 3rd digit as complementary to the 3rd digit of s3, and generally for every n, the nth digit as complementary to the nth digit of sn. For the example above, this yields
{|
|
| s1 || = || (0, || 0, || 0, || 0, || 0, || 0, || 0, || )
|
| s2 || = || (1, || 1, || 1, || 1, || 1, || 1, || 1, || )
|
| s3 || = || (0, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 0, || )
|
| s4 || = || (1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || )
|
| s5 || = || (1, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 1, || )
|
| s6 || = || (0, || 0, || 1, || 1, || 0, || 1, || 1, || )
|
| s7 || = || (1, || 0, || 0, || 0, || 1, || 0, || 0, || )
|
|
|
|
|
| s || = || (1, || 0, || 1, || 1, || 1, || 0, || 1, || )
|}
By construction, s is a member of T that differs from each sn, since their nth digits differ (highlighted in the example). Hence, s cannot occur in the enumeration. Based on this lemma, Cantor then uses a proof by contradiction to show that:
The set T is uncountable. The proof starts by assuming that T is countable. Then all its elements can be written in an enumeration s1, s2, , sn, Applying the previous lemma to this enumeration produces a sequence s that is a member of T, but is not in the enumeration. However, if T is enumerated, then every member of T, including this s, is in the enumeration. This contradiction implies that the original assumption is false. Therefore, T is uncountable. Constructing a bijection between T and R is slightly more complicated. Instead of mapping 0111 to the decimal 0.0111 , it can be mapped to the base b number: 0.0111 b. This leads to the family of functions: The functions are injections, except for This function will be modified to produce a bijection between T and R.
Construction of a bijection between T and R
This construction uses a method devised by Cantor that was published in 1878. He used it to construct a bijection between the closed interval [0, 1] and the irrationals in the open interval (0, 1). He first removed a countably infinite subset from each of these sets so that there is a bijection between the remaining uncountable sets. Since there is a bijection between the countably infinite subsets that have been removed, combining the two bijections produces a bijection between the original sets. Cantor's method can be used to modify the function to produce a bijection from T to (0, 1). Because some numbers have two binary expansions, is not even injective. For example, 0.1000 2 = 1/2 and 0.0111 2 = 1/2, so both 1000 and 0111 map to the same number, 1/2. To modify , observe that it is a bijection except for a countably infinite subset of (0, 1) and a countably infinite subset of T. It is not a bijection for the numbers in (0, 1) that have two binary expansions. These are called dyadic numbers and have the form where m is an odd integer and n is a natural number. Put these numbers in the sequence: r = (1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 3/8, 5/8, 7/8, ). Also, is not a bijection to (0, 1) for the strings in T appearing after the binary point in the binary expansions of 0, 1, and the numbers in sequence r. Put these eventually constant strings in the sequence: s = ( , , 1 , 0 , 01 , 00 , 11 , 10 , ). Define the bijection g(t) from T to (0, 1): If t is the nth string in sequence s, let g(t) be the nth number in sequence r; otherwise, g(t) = 0. t2. To construct a bijection from T to R, start with the tangent function tan(x), which is a bijection from (−π/2, π/2) to R (see the figure shown on the right). Next observe that the linear function h(x) = πx – π/2 is a bijection from (0, 1) to (−π/2, π/2) (see the figure shown on the left). The composite function tan(h(x)) = tan(πx – π/2) is a bijection from (0, 1) to R. Composing this function with g(t) produces the function tan(h(g(t))) = tan(πg(t) – π/2), which is a bijection from T to R.
Жинақ теориясында Кантордың диагональдық аргументі, сондай-ақ диагональдық аргумент, диагональдық кесу аргументі, антидиагональдық аргумент, диагональдық әдіс және Кантордың диагональдық дәлелдеуі деп те аталады, 1891 жылы Георг Кантор математикалық дәлелдеу ретінде жариялады. Бұл дәлелдеудің мәні – шексіз жиындардың арасында, натурал сандар жиынымен бір-бірге сәйкес келе бермейтін, яғни санауға келмейтін жиындар бар екенін көрсету. Мұндай жиындар қазір санаусыз жиындар деп аталады, ал шексіз жиындардың өлшемі Кантор бастаған кардиналдық сандар теориясымен қарастырылады. Диагональдық аргумент – 1874 жылы пайда болған нақты сандардың санаусыздығының Кантордың алғашқы дәлелі емес. Дегенмен, ол кейіннен көптеген дәлелдемелерде қолданылған, мысалы Гёдельдің толық емес теоремаларының біріншісі мен Ричардтың парадоксы сияқты. Кантор келесі лемманың конструктивті дәлелімен бастайды: Егер s1, s2, …, sn – T элементтерінің кез келген тізімі болса, онда осы тізімдегі ешқайсысына сәйкес келмейтін T элементі s құрастырылуы мүмкін. Осыған байланысты s тізімде кездеспейді. Осы лемманы негізге алған Кантор қарама-қайшылық арқылы дәлелдеуді қолданады: T жиыны санауға келмейді. Дәлел T жиынының санауға болатындығын болжаудан басталады. Онда оның барлық элементтерін s1, s2, …, sn тізіміне жазуға болады. Алдыңғы лемманы осы тізімге қолдану T мүшесі болып табылатын, бірақ тізімде жоқ s тізбесін береді. Алайда, егер T саналып жатса, онда T-ның әрбір мүшесі, оның ішінде осы s, тізімде болуы керек. Бұл қарама-қайшылық бастапқы болжамның жалған екенін көрсетеді. Сондықтан T санауға келмейді. T және R арасындағы бір-бірге сәйкестікті құру сәл күрделірек. 0111-ді ондыққа сәйкестендірудің орнына, оны b негізіндегі санға сәйкестендіруге болады: 0.0111b. Бұл функциялар отбасына әкеледі: функциялар инъекциялар, ал T және R арасындағы бір-бірге сәйкестікті жасау үшін бұл функция өзгертіледі. T және R арасындағы бір-бірге сәйкестіктің құрылысы. Бұл құрылыс Кантордың 1878 жылы жариялаған әдісін қолданады. Ол оны жабық аралық [0, 1] мен ашық аралықтағы (0, 1) иррационал сандар арасындағы бір-бірге сәйкестікті құру үшін қолданды. Ол ең алдымен осы жиынтықтардың әрқайсысынан санауға болатын шексіз қосалқы жиынтығын алып тастады, осылайша қалған санауға келмейтін жиынтықтардың арасында бір-бірге сәйкестік пайда болды. Алып тасталған сансыз қосалқы жиынтықтардың арасында бір-бірге сәйкестік болғандықтан, екі бір-бірге сәйкестікті біріктіру бастапқы жиынтықтардың арасында бір-бірге сәйкестікті тудырады. Кантор әдісі функцияны T-ден (0, 1) аралығына дейінгі бір-бірге сәйкестікке өзгертуге болады. Кейбір сандар екі екілік кеңейтуге ие болғандықтан, ол тіпті инъективті емес. Мысалы, 0.10002 = 1/2 және 0.01112 = 1/2, яғни 1000 және 0111 екеуі де бірдей санға, яғни 1/2-ге сәйкес келеді. Оны өзгерту үшін, оның (0, 1) және T сандарының сансыз қосалқы жиынтығын қоспағанда, бір-бірге сәйкестік екенін байқаңыз. Бұл (0, 1) сандарының екі бинарлық кеңейтуі бар сандары үшін бір-бірге сәйкестік емес. Бұлар диадтық сандар деп аталады және m – тақ бүтін сан, n – табиғи сан түрінде болады. Бұл сандарды келесі ретпен тізімдеңіз: r = (1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 3/8, 5/8, 7/8, …). Сонымен қатар, 0, 1 сандарының екілік кеңейтулеріндегі екілік үтірден кейін пайда болатын T-дегі тізбектер үшін (0, 1) аралығында бір-бірге сәйкестік жоқ және r тізбегіндегі сандар. Осы соңғы тұрақты тізбектерді тізімдеңіз: s = ( , 1 , 0 , 01 , 00 , 11 , 10 , …). T-ден (0, 1) аралығына g(t) бір-бірге сәйкестігін анықтаңыз: егер t – s тізіміндегі n-ші тізбек болса, g(t) r тізіміндегі n-ші сан болсын; әйтпесе, g(t) = 0.t2. T-ден R аралығына бір-бірге сәйкестік құру үшін тангенс функциясынан бастаңыз tan(x), ол (−π/2, π/2) аралығынан R аралығына бір-бірге сәйкестік (оң жақтағы суретті қараңыз). Бұдан кейін h(x) = πx – π/2 сызықтық функциясы (0, 1) аралығынан (−π/2, π/2) аралығына бір-бірге сәйкестік екенін байқаңыз (сол жақтағы суретті қараңыз). Композициялық функция tan(h(x)) = tan(πx – π/2) (0, 1) аралығынан R аралығына бір-бірге сәйкестік. Бұл функцияны g(t) функциясымен құрастырудан tan(h(g(t))) = tan(πg(t) – π/2) функциясы пайда болады, ол T-ден R аралығына бір-бірге сәйкестік.
In set theory, Cantor's diagonal argument, also called the diagonalisation argument, the diagonal slash argument, the anti diagonal argument, the diagonal method, and Cantor's diagonalization proof, was published in 1891 by Georg Cantor as a mathematical proof that there are infinite sets which cannot be put into one to one correspondence with the infinite set of natural numbers. Such sets are now known as uncountable sets, and the size of infinite sets is now treated by the theory of cardinal numbers which Cantor began. The diagonal argument was not Cantor's first proof of the uncountability of the real numbers, which appeared in 1874. However, it demonstrates a general technique that has since been used in a wide range of proofs, including the first of Gödel's incompleteness theorems and Richard's paradox. He begins with a constructive proof of the following lemma:
If s1, s2, , sn, is any enumeration of elements from T, then an element s of T can be constructed that doesn't correspond to any sn in the enumeration. The proof starts with an enumeration of elements from T, for example
{|
|
| s1 = || (0, || 0, || 0, || 0, || 0, || 0, || 0, || )
|
| s2 = || (1, || 1, || 1, || 1, || 1, || 1, || 1, || )
|
| s3 = || (0, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 0, || )
|
| s4 = || (1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || )
|
| s5 = || (1, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 1, || )
|
| s6 = || (0, || 0, || 1, || 1, || 0, || 1, || 1, || )
|
| s7 = || (1, || 0, || 0, || 0, || 1, || 0, || 0, || )
|
|
|}
Next, a sequence s is constructed by choosing the 1st digit as complementary to the 1st digit of s1 (swapping 0s for 1s and vice versa), the 2nd digit as complementary to the 2nd digit of s2, the 3rd digit as complementary to the 3rd digit of s3, and generally for every n, the nth digit as complementary to the nth digit of sn. For the example above, this yields
{|
|
| s1 || = || (0, || 0, || 0, || 0, || 0, || 0, || 0, || )
|
| s2 || = || (1, || 1, || 1, || 1, || 1, || 1, || 1, || )
|
| s3 || = || (0, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 0, || )
|
| s4 || = || (1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || )
|
| s5 || = || (1, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 1, || )
|
| s6 || = || (0, || 0, || 1, || 1, || 0, || 1, || 1, || )
|
| s7 || = || (1, || 0, || 0, || 0, || 1, || 0, || 0, || )
|
|
|
|
|
| s || = || (1, || 0, || 1, || 1, || 1, || 0, || 1, || )
|}
By construction, s is a member of T that differs from each sn, since their nth digits differ (highlighted in the example). Hence, s cannot occur in the enumeration. Based on this lemma, Cantor then uses a proof by contradiction to show that:
The set T is uncountable. The proof starts by assuming that T is countable. Then all its elements can be written in an enumeration s1, s2, , sn, Applying the previous lemma to this enumeration produces a sequence s that is a member of T, but is not in the enumeration. However, if T is enumerated, then every member of T, including this s, is in the enumeration. This contradiction implies that the original assumption is false. Therefore, T is uncountable. Constructing a bijection between T and R is slightly more complicated. Instead of mapping 0111 to the decimal 0.0111 , it can be mapped to the base b number: 0.0111 b. This leads to the family of functions: The functions are injections, except for This function will be modified to produce a bijection between T and R.
Construction of a bijection between T and R
This construction uses a method devised by Cantor that was published in 1878. He used it to construct a bijection between the closed interval [0, 1] and the irrationals in the open interval (0, 1). He first removed a countably infinite subset from each of these sets so that there is a bijection between the remaining uncountable sets. Since there is a bijection between the countably infinite subsets that have been removed, combining the two bijections produces a bijection between the original sets. Cantor's method can be used to modify the function to produce a bijection from T to (0, 1). Because some numbers have two binary expansions, is not even injective. For example, 0.1000 2 = 1/2 and 0.0111 2 = 1/2, so both 1000 and 0111 map to the same number, 1/2. To modify , observe that it is a bijection except for a countably infinite subset of (0, 1) and a countably infinite subset of T. It is not a bijection for the numbers in (0, 1) that have two binary expansions. These are called dyadic numbers and have the form where m is an odd integer and n is a natural number. Put these numbers in the sequence: r = (1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 3/8, 5/8, 7/8, ). Also, is not a bijection to (0, 1) for the strings in T appearing after the binary point in the binary expansions of 0, 1, and the numbers in sequence r. Put these eventually constant strings in the sequence: s = ( , , 1 , 0 , 01 , 00 , 11 , 10 , ). Define the bijection g(t) from T to (0, 1): If t is the nth string in sequence s, let g(t) be the nth number in sequence r; otherwise, g(t) = 0. t2. To construct a bijection from T to R, start with the tangent function tan(x), which is a bijection from (−π/2, π/2) to R (see the figure shown on the right). Next observe that the linear function h(x) = πx – π/2 is a bijection from (0, 1) to (−π/2, π/2) (see the figure shown on the left). The composite function tan(h(x)) = tan(πx – π/2) is a bijection from (0, 1) to R. Composing this function with g(t) produces the function tan(h(g(t))) = tan(πg(t) – π/2), which is a bijection from T to R.
Жалпы жиынтықтар
Кантор диагональдық аргументтің жалпыланған түрін Кантор теоремасын дәлелдеу үшін қолданды: кез келген S жиыны үшін S жиынының қуат жиыны, яғни S жиынының барлық ішкі жиындарының жиыны (мұнда P(S) деп белгіленеді) S жиынының өзімен сәйкес келе алмайды. Бұл дәлелдеме келесідей жүзеге асырылады:
f функциясын S жиынынан P(S) жиынына кез келген функция деп есептейік. f функциясы проективті бола алмайтынын дәлелдеу жеткілікті. Яғни, P(S) жиынының кейбір T мүшесі, яғни S жиынының кейбір ішкі жиыны, f функциясының мәнінің ішінде болмайды. Үміткер ретінде келесі жиынды қарастырайық:
T = { s ∈ S: s ∉ f(s) }. S жиынындағы әр s үшін, s жиыны T-де болады немесе болмайды. Егер s жиыны T-де болса, онда T жиынының анықтамасы бойынша s, f(s) жиынында болмайды, демек T жиыны f(s) жиынына тең емес. Екінші жағынан, егер s жиыны T-де болмаса, онда T жиынының анықтамасы бойынша s, f(s) жиынында болады, демек T жиыны f(s) жиынына тең емес; суретті қараңыз. Бұл дәлелдің толық түсіндірілуі үшін Кантор теоремасына жүгініңіз.
Кардиналдардың ордені
Теңдік олардың негізгі жиындары арасындағы биекция ретінде анықталса, Кантор сонымен қатар кардиналдардың екілік предикатын және арасында инъекциялардың болуы тұрғысынан анықтайды. Ол алдын ала тәртіп қасиеттеріне ие және мұнда "" деп жазылады. Натурал сандарды екілік тізбектерге енгізуге болады, осылайша әртүрлі инъекциялардың бар екенін нақты дәлелдейді, сондықтан осы мағынада , мұнда функция кеңістігін білдіреді. Бірақ бұрынғы бөлімдердегі аргументке сәйкес, сюржекция жоқ, сондықтан биекция да жоқ, яғни жиынтық санауға келмейді. Осы мағынада, көрсетілгендей, және сонымен бірге , барлық жиындар үшін. Ортасы алынып тасталған заңдылықпен, сипаттамалық функциялар қуат жиындарына сюржекцияланады, содан кейін санауға келмейтін сан да санауға келмейді және оны классикалық түрде бейнелеуге болады. Шрёдер–Бернштейн теоремасы жарамды және егер екі жиынның біреуі екіншісінің инъекциялық бейнесінде болса, онда олар биекцияда болады деуге болады. Мұнда, -нің кез келген шексіз ішкі жиыны өзімен биекцияда болады, ал әрбір саналатын жиын (сюржекциялар тұрғысынан сипатталған қасиет) содан кейін саналатын болады, яғни сюржекциялық бейнеде. Осы жағдайда мүмкіндіктер толығымен таусылады, соның салдарынан "" қатаң емес ішінара тәртіпке айналады, тіпті таңдау аксиомасын қабылдағанда толық тәртіпке де айналуы мүмкін. Диагональдық аргумент осылайша, қарастырылып отырған екі жиынның да шексіз болғанымен, бірліктер мен нөлдердің шексіз тізбектерінің саны натурал сандардың санынан көп екенін көрсетеді. Кантордың нәтижесі сонымен қатар барлық жиындардың жиынының түсінігінің дұрыс еместігін білдіреді: Егер барлық жиындардың жиыны болса, онда ол бір уақытта -дан үлкен және -тың ішкі жиыны болар еді.
Assuming the law of excluded middle, characteristic functions surject onto powersets, and then So the uncountable is also not enumerable and it can also be mapped onto Classically, the Schröder–Bernstein theorem is valid and says that any two sets which are in the injective image of one another are in bijection as well. Here, every unbounded subset of is then in bijection with itself, and every subcountable set (a property in terms of surjections) is then already countable, i. e. in the surjective image of In this context the possibilities are then exhausted, making "" a non strict partial order, or even a total order when assuming choice. The diagonal argument thus establishes that, although both sets under consideration are infinite, there are actually more infinite sequences of ones and zeros than there are natural numbers. Cantor's result then also implies that the notion of the set of all sets is inconsistent: If were the set of all sets, then would at the same time be bigger than and a subset of .
Орталық бөлшек жоқ болған жағдайда
Сондай-ақ, конструктивті математикада толық доменнен функциялар кеңістігіне немесе кіші жиынтықтар жиынына ешқандай сюръекция жоқ, яғни бұл екі жиынның санағы жоқ. Тағы да, «» инъекцияның дәлелденген болуымен қатар биекцияның болмауы үшін қолданылады, бұрын айтылғандай, және одан әрі, . Сол сияқты, , және, әрине, конструктивті жиынтық теориясында да. Дегенмен, ординалдар мен кардиналдарды конструктивті түрде реттеу қиынырақ немесе мүмкін емес. Мысалы, Шрёдер–Бернштейн теоремасы үшін орталық принциптің болуы қажет. Шындығында, рационал сандар реттілігін кеңейтетін нақты сандар бойынша стандартты рет, міндетті түрде шешілмейді. Райс теоремасы бойынша функциялардың қызықты кластарының көптеген қасиеттері де шешілмейді, яғни саналатын жиынтықтар үшін санау сандары жиыны рекурсивті болмауы мүмкін, сондықтан санауға келмейді. Жинақтың кіші жиынтықтары жиыны оның сипаттамалық функциялары жиынымен конструктивті түрде алмастырылмайды. Басқаша конструктивті жағдайда (орталық принципті аксиома ретінде қабылдамайтын жағдайда), орталық принциптің салдарымен қайшы келетін классикалық емес аксиомаларды қабылдау дұрыс. Санауға келмейтін жиынтықтар, мысалы, немесе , олардың саналатындығы дәлелденуі мүмкін. Бұл классикалық жағдайда артық өлшем ұғымы, бірақ басқа жағдайда санауға келуді білдірмейді. Бұл жерде де санаусыздан немесе оған инъекциялардың болуы мүмкін. Сондықтан кардиналдық қатынас антисимметриялық бола алмайды. Осыған байланысты, тіпті классикалық түрде санауға келмейтін функциялық кеңістік жиынтықтарында да интуиционистер бұл қатынасты трансфиниттік өлшемдердің иерархиясын құрайды деп қабылдамайды. Күш жиыны аксиомасы қабылданбаған конструктивті жағдайда, барлық жиынтықтың саналатындығы да дұрыс. Бәрін айтқаннан кейін, жалпы жиынтық теорияларында барлық жиынтықтар жиынының болмауы алдын ала болжаушы бөлінуден де туындайды. Жинақ теориясында математика теориялары модельденеді. Әлсіз логикалық аксиомалар аз шектеулерді білдіреді, сондықтан модельдердің бай класына мүмкіндік береді. Жинақ нақты сандар өрісінің моделі ретінде нақты сандардың кейбір аксиомаларын немесе олардың конструктивті қайта формулировкасын орындағанда анықталады. Коши нақтылары немесе Дедекинд нақтылары сияқты әртүрлі модельдер зерттелді. Біріншісі реттіліктердің бөлінділерімен байланысты, ал екіншісі, егер олар бар болса, қуат жиынынан алынған жақсы мінез-құлықты кесулер болып табылады. Орталық принцип болғанда, олардың барлығы изоморфты және санауға келмейді. Әйтпесе, Дедекинд нақтыларының варианттары саналатын болуы мүмкін немесе натурал сандарға инъекцияланады, бірақ бірдей емес. Саналатын таңдауды қабылдағанда, конструктивті Коши нақтылары тіпті нақты конвергенция модулі болмаса да, Коши толық болады және Дедекинд нақтылары оларға изоморфты болу үшін оңайлатылады. Шындығында, таңдау диагональдық құрылымдарға да көмектеседі және оны қабылдағанда, нақты сандардың Коши толық модельдері санауға келмейді.
Ашық сұрақтар
Нақты сандар жиыны табиғи сандар жиынынан "үлкен" деген ойға келіп, бүтін сандар мен нақты сандардың "кардиналдылығы" арасындағы жиын бар ма деген сұрақ туындайды. Осы сұрақ әйгілі континуум гипотезасына алып келеді. Сол сияқты, кейбір шексіз S үшін |S| мен |P(S)| арасында кардиналдылығы бар жиынның болуы жалпыланған континуум гипотезасына әкеледі.
Диагонализация кең мағынада
Расселлдің парадоксы шексіз түсіністік принципіне негізделген қарапайым жиын теориясының қайшылыққа келетінін көрсетті. Т құрылысы мен Расселдің парадоксындағы жиынның арасындағы ұқсастыққа назар аударыңыз. Сондықтан, Расселдің парадоксын болдырмау үшін түсіністік аксиомалық принципін қалай өзгертуге байланысты, барлық жиындар жиынының жоқтығы туралы аргументтер күшін жоғалта да, жоғалта да қоймауы мүмкін. Диагональ аргументінің аналогтары математикада белгілі бір объектілердің болуын немесе болмауын дәлелдеу үшін кеңінен қолданылады. Мысалы, тоқтау мәселесінің шешілмейтінін дәлелдеудің дәстүрлі тәсілі негізінен диагональ аргументі болып табылады. Сонымен қатар, диагонализация бастапқыда кез келген қиындық деңгейіндегі күрделілік кластарының бар екенін көрсету үшін пайдаланылды және P ≠ NP екенін дәлелдеуге жасалған алғашқы тырастың маңызды бөлігі болды.