Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Гиперкешендік сандар жүйесі
Hypercomplex number system
Математикада октониондар — нақты сандар үстіндегі нормаланған бөліну алгебрасы, гиперкешендік сандар жүйесінің бір түрі. Октониондар әдетте үлкен әріп "O" арқылы бейнеленеді, қалың шрифтпен немесе тақтадағы қалың шрифтпен. Октониондардың сегіз өлшемі бар; кватерниондардың өлшемдерінің санынан екі есе көп, олар олардың жалғасы болып табылады. Олар коммутативті емес және ассоциативті емес, бірақ ассоциативтіліктің әлсіз түрін қанағаттандырады; атап айтқанда, олар альтернативті. Олар сондай-ақ қуат бойынша ассоциативті. Октониондар кватерниондар мен кешенді сандар сияқты кеңінен танымал емес, олар көп зерттелген және қолданылады. Октониондар математикадағы ерекше құрылымдармен байланысты, соның ішінде ерекше Ли топтары да бар. Октониондардың қолданылу аймақтарына, мысалы, ішектік теория, арнайы салыстырмалылық теориясы және кванттық логика жатады. Октониондарға Кейли-Диксон құрылымын қолдану седениондарды тудырады.
In mathematics, the octonions are a normed division algebra over the real numbers, a kind of hypercomplex number system. The octonions are usually represented by the capital letter O, using boldface 'O' or blackboard bold Octonions have eight dimensions; twice the number of dimensions of the quaternions, of which they are an extension. They are noncommutative and nonassociative, but satisfy a weaker form of associativity; namely, they are alternative. They are also power associative. Octonions are not as well known as the quaternions and complex numbers, which are much more widely studied and used. Octonions are related to exceptional structures in mathematics, among them the exceptional Lie groups. Octonions have applications in fields such as string theory, special relativity and quantum logic. Applying the Cayley–Dickson construction to the octonions produces the sedenions.
Тарих
Октониондарды 1843 жылы Джон Т. Грейвс, өзінің досы Уильям Роуэн Гамильтонның квартерниондарды ашуынан шабыдаланып ашқан. Грейвс өзінің ашылуын "октавалар" деп атады және оны 1843 жылғы 26 желтоқсанда Гамильтонға жазған хатында айтты. Ол өзінің нәтижесін Артур Кейлидің мақаласынан аздап кейін жариялады. Октониондарды Кейли де тәуелсіз түрде ашқан, сондықтан оларды кейде "Кейли сандары" немесе "Кейли алгебрасы" деп те атайды. Гамильтон Грейвстің ашылу тарихын сипаттады.
The octonions were discovered in 1843 by John T. Graves, inspired by his friend William Rowan Hamilton's discovery of quaternions. Graves called his discovery "octaves", and mentioned them in a letter to Hamilton dated 26 December 1843. He first published his result slightly later than Arthur Cayley's article. The octonions were discovered independently by Cayley and are sometimes referred to as "Cayley numbers" or the "Cayley algebra". Hamilton described the early history of Graves's discovery.
Изотоптар
Алгебраның изотопиясы – а, b, c өзара тең сызықтық бейнелеулердің үштігі, егер онда бұл автоморфизммен сәйкес келеді. Алгебраның изотопиялық тобы – барлық изотопиялардың тобы, және автоморфизмдер тобы оның ішкі тобы болып табылады. Октониондардың изотопиялық тобы Spin8(ℝ) тобы болып табылады, мұнда a, b, c үш 8-өлшемді өкілдік ретінде әрекет етеді. c элементі бірлікке бекітілген элементтердің ішкі тобы Spin7(ℝ) ішкі тобын құрайды, ал a, b, c элементтерінің барлығы бірлікке бекітілген элементтердің ішкі тобы G2 автоморфизм тобы болып табылады.
An isotopy of an algebra is a triple of bijective linear maps a, b, c such that if then For this is the same as an automorphism. The isotopy group of an algebra is the group of all isotopies, which contains the group of automorphisms as a subgroup. The isotopy group of the octonions is the group Spin8('R'), with a, b, c acting as the three 8 dimensional representations. The subgroup of elements where c fixes the identity is the subgroup Spin7('R'), and the subgroup where a, b, c all fix the identity is the automorphism group G2.
Қолданбалар
Октониондар математикалық нысандарды жіктеуде және құрастыруда маңызды рөл атқарады. Мысалы, ерекше Лай тобы [[G2 (математика)] – октониондардың автоморфизм тобы, ал басқа ерекше Лай топтары [[F4 (математика)], [[E6 (математика)], [[E7 (математика)] және [[E8 (математика)] октониондарды қолдану арқылы анықталатын белгілі бір проективті жазықтықтың изометриялары ретінде түсіндірілуі мүмкін. Симметрияланған матрицалық көбейтіндімен жабдықталған 3 × 3 октониондық матрицалар жиынтығы Альберт алгебрасын анықтайды. Дискретті математикада октониондар Лич торларының элементарлы туындысын қамтамасыз етеді, сондықтан олар спорадикалық қарапайым топтармен тығыз байланысты. Октониондардың физикаға қолданылуы көбінесе болжамдық сипатта болып келді. Мысалы, 1970-ші жылдары кварктарды октониондық Гильберт кеңістігі арқылы түсінуге әрекеттер жасалды. Октониондардың және тек төрт нормаланған бөліну алгебрасы ғана болуы мүмкін екендігі белгілі, бұл суперсимметриялық кванттық өріс теорияларын құрастыруға болатын кеңістік-уақыт өлшемдерімен байланысты. Сондай-ақ, элементарлық бөлшектер физикасының Стандартты моделін октониондық құрастырулардан алуға тырысулар жасалды, мысалы, "Диксон алгебрасын" 'C' ⊗ 'H' ⊗ 'O' пайдалана отырып. Октониондар қара тесік энтропиясын, кванттық ақпарат ғылымын және іс жіп теориясын зерттеуде де қолданылды. Октониондар робототехникадағы қол-көз калибрлеу мәселесін шешуде пайдаланылды. Терең октониондық желілер машиналық оқытуда тиімді және ықшам түрде бейнелеу құралын ұсынады.
The octonions play a significant role in the classification and construction of other mathematical entities. For example, the exceptional Lie group [[G2 (mathematics) is the automorphism group of the octonions, and the other exceptional Lie groups [[F4 (mathematics), [[E6 (mathematics), [[E7 (mathematics) and [[E8 (mathematics) can be understood as the isometries of certain projective planes defined using the octonions. The set of self adjoint 3 × 3 octonionic matrices, equipped with a symmetrized matrix product, defines the Albert algebra. In discrete mathematics, the octonions provide an elementary derivation of the Leech lattice, and thus they are closely related to the sporadic simple groups. Applications of the octonions to physics have largely been conjectural. For example, in the 1970s, attempts were made to understand quarks by way of an octonionic Hilbert space. It is known that the octonions, and the fact that only four normed division algebras can exist, relates to the spacetime dimensions in which supersymmetric quantum field theories can be constructed. Also, attempts have been made to obtain the Standard Model of elementary particle physics from octonionic constructions, for example using the "Dixon algebra" 'C' ⊗ 'H' ⊗ 'O'. Octonions have also arisen in the study of black hole entropy, quantum information science, and string theory. Octonions have been used in solutions to the hand eye calibration problem in robotics. Deep octonion networks provide a means of efficient and compact expression in machine learning applications.