Кіріспе

Жинақ теориясындағы парадокс

Математиканың бір саласы – жинақ теориясында Бурали Форти парадоксы "барлық ординал сандар жиынын" құруға қарама-қайшылық алып келетінін, демек, оны құруға рұқсат ететін жүйеде антиномия бар екенін көрсетеді. Ол 1897 жылы Чезаре Бурали Фортидің Георг Кантордың бұрын дәлелдеген нәтижесіне қайшы келетін теореманы дәлелдеген мақаласын жариялағаннан кейін оның есімімен аталды. Бертран Расселл кейіннен бұл қарама-қайшылықты байқады және 1903 жылы жарық көрген «Математика негіздері» кітабында бұл туралы Бурали Фортидің мақаласынан оған ұсынылғанын мәлімдеді, соның нәтижесінде парадокс Бурали Форти есімімен танылды.

Фон Нойманның ординалдар түрінде көрсетілген

Біз мұны қарама-қайшылық арқылы дәлелдейміз. Ω – барлық реттік сандардан тұратын жиын болсын. Ω транзитивті, себебі Ω-ның кез келген x элементі үшін (бұл реттік сан және кез келген реттік сан болуы мүмкін) және x-тың кез келген y элементі үшін (яғни, фон Нейман реттік сандарының анықтамасы бойынша, кез келген реттік сан үшін), y – Ω-ның элементі болады, өйткені кез келген реттік сан осы реттік құрылыстың анықтамасы бойынша тек реттік сандарды ғана қамтиды. Ω мүшелік қатынасы бойынша жақсы реттелген, себебі оның барлық элементтері осы қатынас бойынша жақсы реттелген. Осылайша, 2- және 3-қадамдар бойынша, Ω – ординалдық сынып, ал 1-қадам бойынша – ординалдық сан, өйткені жиын болатын барлық ординалдық сыныптар да ординалдық сандар болып табылады. Бұл Ω – Ω-ның элементі дегенді білдіреді. Фон Нейман ординалдарының анықтамасы бойынша, Ω-ның Ω-ның элементі болуы – Ω = Ω дегенмен бірдей. Соңғы тұжырым 5-қадаммен дәлелденді. Бірақ ешбір ординалдық сынып өзінен кіші болмайды, соның ішінде Ω да, себебі 4-қадамда (Ω – ординалдық сынып) көрсетілгендей. Яғни, біз Ω-ның жиын екендігінен екі қарама-қайшы тұжырымды (және ) шығардық, демек, Ω – жиын екенін жоққа шығардық.

Парадокстің шешімдері

Қазіргі заманғы формалды жиын теориясының аксиомалары, мысалы ZF және ZFC, осы антиномияны "берілген қасиеті бар барлық жиындар" сияқты терминдерді пайдаланып жиындар құруға рұқсат бермей, оны айналып өтеді, бұл наивті жиын теориясында мүмкін, сондай-ақ Готтлоб Фреге аксиомаларында, атап айтқанда "Арифметиканың негізгі заңдарында" негізгі V заңында мүмкін. Куайннің New Foundations (NF) жүйесі басқа шешімді қолданады. Куайннің "Математикалық логика" (ML) жүйесінің бастапқы нұсқасында, New Foundations-тың кеңейтілімінде, Бурали-Форти парадоксын тудыруға болатыны көрсетілді, бұл жүйенің қайшылыққа толы екенін көрсетті. Россердің жаңалығынан кейін Куайннің ML-ді қайта қарауы бұл кемшіліктен зардап шекпейді, және іс жүзінде кейіннен Хао Ванг оны NF-пен эквивалентті екенін дәлелдеді.