Введение

Парадокс в теории множеств

В теории множеств, области математики, парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что построение "множества всех ординальных чисел" приводит к противоречию и, следовательно, выявляет антиномию в системе, допускающей такое построение. Он назван в честь Чезаре Бурали-Форти, который в 1897 году опубликовал статью, доказывающую теорему, противоречащую, как он не знал, ранее доказанному результату Георга Кантора. Бертран Рассел впоследствии заметил это противоречие, и когда он опубликовал его в своей книге 1903 года «Принципы математики», он указал, что на это противоречие его натолкнула работа Бурали-Форти, в результате чего оно стало известно как парадокс Бурали-Форти.

Выражается в терминах ординала фон Неймана

Мы докажем это от противного. Пусть Ω – множество, состоящее из всех ординалов. Ω транзитивно, потому что для каждого элемента x из Ω (который является ординалом и может быть любым ординалом) и каждого элемента y из x (то есть, в соответствии с определением ординалов фон Неймана, для каждого ординала), y является элементом Ω, поскольку любой ординал содержит только ординалы по определению этой конструкции ординалов. Ω хорошо упорядочен отношением принадлежности, поскольку все его элементы также хорошо упорядочены этим отношением. Таким образом, из шагов 2 и 3 следует, что Ω является ординальным классом, а также, из шага 1, ординалом, поскольку все ординальные классы, являющиеся множествами, также являются ординалами. Это означает, что Ω является элементом Ω. В соответствии с определением ординала фон Неймана, это эквивалентно тому, что Ω является элементом Ω. Это последнее утверждение доказано в шаге 5. Но ни один ординальный класс не меньше самого себя, включая Ω, поскольку Ω является ординальным классом (шаг 4), то есть. Мы получили два противоречивых утверждения ( и ) из того, что Ω является множеством, и, следовательно, опровергли, что Ω является множеством.

Решение парадокса

Современные аксиомы формальной теории множеств, такие как ZF и ZFC, обходят эту антиномию, не допуская построения множеств с использованием выражений вида "все множества, обладающие свойством", что возможно в наивной теории множеств и в аксиоматике Готлоба Фреге, в частности, в Основном законе V из "Grundgesetze der Arithmetik". Система Куайна "Новые основы" (NF) использует иное решение. Было показано, что в первоначальной версии системы Куайна "Математическая логика" (ML), являющейся расширением "Новых основ", можно вывести парадокс Бурали-Форти, что демонстрирует противоречивость этой системы. Пересмотр Куайном ML после открытия Россера не имеет этого недостатка и впоследствии был доказан эквивалентным по непротиворечивости NF Хао Вангом.